ОСР. Вычисление неопределенных интегралов.

ОСР. Вычисление неопределенных  интегралов. 1.Опорный конспект. Неопределенный интеграл имеет вид: – значок интеграла.   – значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный   – подынтегральная функция. значок.   – подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.  – первообразная функция.  – множество первообразных функций.  , пользуясь некоторыми  Решить интеграл – это значит найти определенную функцию  правилами, приемами и таблицей. Методы решения неопределенных интегралов: 1) Метод непосредственного интегрирования (по таблице). 2) Внесение под знак дифференциала. 3)Метод замены переменной. 4)Интегрирование по частям. Основные формулы:  udv  uv  duv 2. Решение типовых заданий: 1)Метод непосредственного интегрирования. Пример№1. Вычислить неопределенный интеграл  .    5 x 12  dx Решение.   5 x  12  dx   5 xdx   12 dx  5  11 x  11  12 Cx  2 5 x 2  12 Cx  . Пример№2. Вычислить неопределенный интеграл  5 dx х . Решение: Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных  интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:  х n dx  x n  1 n  1  C . В нашем случае n = 5 , тогда искомый интеграл равен:  х 5 dx   15 x  15  C 6 x 6 C . Ответ:   х 5 dx  6 x 6 C . Пример№3. Вычислить неопределенный интеграл  . dx   81 x 2 Решение.  Для   вычисления   этого   неопределенного   интеграла   используется   табличный интеграл (Формула №11). В нашем случае  . Тогда искомый интеграл равен 2 a  9 81 a  dx  81 2 x   dx  2 9 2 x  arcsin x 9  C . Ответ.   dx  81 2 x  arcsin x 9  C . 2)Внесение под знак дифференциала. Пример№4. Вычислить неопределенный интеграл   2 xdx 2 x . 1 Решение.  Внесем под знак интеграла  совпадал со знаменателем  xd  2 x   так, чтобы полученный многочлен под знаком интеграла . 2   1  1 xdx 2   2 1 x В результате, получили табличный интеграл №4, который в свою очередь равен 2 xdx     2 x 1  xd 2 x 2   1  1 .  ln 2 x  1 C Ответ.     2 xdx  2 1 x  ln 2 x  1 C . Пример№5.Вычислить неопределенный интеграл    2 2 x  3 x  3 x  dx  4 . Решение. Так как  2 x  3 x  4  x 2  3  , то числитель можно внести под знак интеграла так, чтобы под дифференциалом образовался многочлен точно такой же, что и в знаменателе:  2 2 x  xd  2 x   3 x   3 x  3 dx  4 x  x  3 4 4 .  2 Полученный   интеграл   можно   вычислить,   используя табличный   интеграл Тогда dx  x ln Cx  . искомый интеграл равен  2 2 x  3 x  x 3  dx  4  xd  2 x  2   3 x   x 3 4 4   ln 2 x  3 x  4  C . 3)Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Пример№6. Найти неопределенный интеграл.   sin   x 1  dx 3 Решение.  sin   x 1  dx 3 . Проведем замену: t = 3x+1 , dt  3 dx  dx  dt 3 .  sin  3 x  1  dx  1 3  sin tdt  1 3 cos  Ct cos  3 x  C 1  1 3 .  Пример№7. Найти неопределенный интеграл.  3 dx  243  x  Решение. Проведем замену: t = 3 ­ 4x, dt  4 dx  dx  dt 4 .  3 dx  43  2  x  1 4  3 dt 2 t   2 3  t 1 4 dt  1 3  3 t 1 4  C 3 4  3 43 Cx  . Пример№8. Найти неопределенный интеграл.  Решение. Замена:t = 3x + 2 . dt  3 dx  dx  dt 3 7 . xdx  x  2 3 . Время от времени в ходе решения интегралов   . встречается следующий трюк: x мы выразим из той же замены, t = 3x + 2,   3 x  t x 2 t 1 3 2 3 t  1 3      2 3 7 t    dt 3  .  t   1 9  5 t 2    1 6   6 t    C 1 9    t  7    3 1 9   xdx  x 2  1  5     dt 2 7  1 9     1 6 t  1 x  35  5  2   33 x   t 6   7 2 t  dt  2 7 t   dt  1  1 9    2  6 C . Пример №9.Найти неопределенный интеграл   12  sin 3  x  cos . xdx Решение: Введем замену 1 + sinx = t и полученный интеграл находим как интеграл от степенной  функции:   12   cos xdx  t sin   dt C C  2 2 x  . 3 3  1 cos sin x xdx  t  dt 4 t 2 4 t 4 Сделаем обратную замену   12 sin 3  x  cos xdx  C 4 t 2  1  4  x sin 2  C . Ответ:   12 sin 3  x  cos xdx   1  4  x sin 2  C . Пример 10. Проинтегрировать подходящей заменой переменной. cos4 ; xdx б ) 9 x e dx 1 ; в ) x (2  2 5 ) x dx   а ) Решение:  а )  cos 4 xdx  dt  4 dx  4формула 7 x t    (4 ) x dt 4   dx cos t dt 4  1 4  cosтаблицы tdt   интегралов  1 4 sin  t C  1 4 sin 4 x C  . б )  9 x  1 dx  e dt   t (9 x dx  9 x   1) dt 9   1 9 t e C   1 9 9 x  1 e  C . 1формула 6 t  9таблицы e dx   dt 9  1 9  t e dt   интегралов в )  x (2  x 2 5 ) dx  dt  t (2 2   x 2 2     ) x dt  2  xdx   6 1 t 2 6  C   1 12 (2  2 6 ) x  C .  5 2таблицы xdx t   dt  2   1 2  5 t dt  формула 3 интегралов  4)Интегрирование по частям.  udv Пример№11. Найти неопределенный интеграл.  duv  uv  – формула интегрирования по частям.  x 2 ln xdx Решение.  x 2 ln xdx   udv  x ln  uv xdx 2 x   ln 2 x 2 u  ln 2 x  du   2 ln x   dx  ln2 x   ln xdx  v  xdx   dv  duv  dx  ln2 xdx x  ln 2 x 2 2 x      2 x 2 xdx ln2  x    x 2 x 2                                    Под интегралом у нас снова многочлен на логарифм! Поэтому решение опять прерывается и  правило интегрирования по частям применяется второй раз. Не забываем, что за u в похожих  ситуациях всегда обозначается логарифм.  x 2 ln xdx  ln 2 x 2 2 x   x ln xdx  u  ln x  xdx  dv  udv  uv  du dx x 2 x  v 2  duv  ln 2 x 2 2 x     2 x 2  ln x      2 x 2 dx  x        ln 2 x 2 2 x  2 x 2  ln x  1 2  xdx  ln 2 x 2 2 x  2 x 2  ln x 2 x  2 1 2   2 x 2 ln2  C ln2 x   1  C .  x 4 Пример№12. Найти неопределенный интеграл.    x  x22 e dx Решение:   x   e 2 2 x dx  u x 2 e  2 x  v dx  duv  C x  uv  dv  udv 1 2 1  2  x dx dx  du  2 e 2 x e 1 2  1 2 2 x e   x  2  1  2 2 x e dx  2 x   e 2  1 2   x 1 4 Пример№13. Найти неопределенный интеграл.   x 1 2 2 e e   2 x 2 e 2 x  C 1 4 2 x e   2 x   5  C .  x cos 6 xdx Решение. Интегрируем по частям: x v  u  xdx  duv    C 6 x cos 6  uv 1 6 cos  dv  udv   1  6   x cos 6 xdx   1 6 x 6sin x   dx du  cos 6 xdx  1 6 6sin x  1 6 x 6sin x  1 6  6sin dxx  1 6 x 6sin x  1 36 cos 6 Cx  . Пример№14. Найти неопределенный интеграл xdx sin 2 x . Решение. Интегрируем по частям:  ctgx  x ctgx   ctgxdx  . x ctgx  cos  sin xdx x  xdx  2 sin x   x ctgx  dv  udv d    x  v  dx du dx  2 sin x  duv  x ctgx u dx 2 sin x  uv   sin x x sin  ln sin CCx  ,  const . Пример№15. Проинтегрировать по частям. (3 x  1)sin 2 ; xdx б )  (1 2 )ln x . xdx  а ) Решение. à )  (3 x  1)sin 2 xdx  U  3 x    1 dU 3 dx dV  sin 2 xdx    V x cos2 2  (3 x  1)(  x cos2 2 )  x  cos2 2 dx    1 2 (3 x  1)cos2 x  3 2  cos2 xdx   1 2 (3 x  1)cos2 x  3 4 sin 2  x C . U x    dU ln б )  (1 2 )ln x  xdx  dV  V (1 2 ) (1 2 )     x dx x dx  ln ( x x  2 x )  ( x  2 x )  dx x  2 x dx x    x  ln ( x x  2 x )   (1  ) x dx  ln ( x x  2 x )   x 2 x 2  C . 3.Задание: № 1.Найти неопределённый интеграл, использую таблицу интегралов. 1) 2) ,                    3) ,                             4) ,  5)   ∫ 2x2+3x−2 x+2 dx №2.Найти неопределённый интеграл  методом подстановки. 1) ,      2)   ∫ 5 2x−7 dx   , 3)   4)             , 5)        № 3. Найти определённый интеграл, использую таблицу интегралов. ; б) а)  dx4   x 26 dx ; в)     x 34  dxx ; г)    dxx26  ;д)  xdx sin4 ; е) .    8 3 x  dxx 2 №4.Найти неопределенные интегралы: 1)     7 8 x  4 x 3  6 , 2)   5 x dx 34 x   6 3 x x  2 dx ,3)   x 4 x 3 2  3  x dx ,4)   6  5  1x dx  ,5)  , dx  x x ln 6)    xdx 232 x ; 7)    6 9 x  3 2 x  5 x  ,8)   1 dx 7    2 x x 5 2 4 x dx ,9)   35   2 x x x dx ,10)  . 2 3x   4 dx   №5.Проинтегрировать функции заменой переменной:  dx 2 sin 3 x (2 x  1)cos( x 2  x dx ) 2 10 x dx  1                    10)  2 x (3  3 10 ) x dx 1)  2)  3)  4)  5)  6)       dx ln x x xdx x 1 2             7)   8) xdx x 2 2 5x  2 x dx            9) sin  x 2 dx         11) cos2x dx sin 2x dx                      12) sin(2 3 )x dx   13) 14) 15) 16) 17) 18)  1 3x e dx  5xe 6 dx dx x  5 3 x sin cos e x dx  1 3 x dx 7     dx e 3x №6. Найти интеграл интегрированием по частям: 1) 2) 3) 4) 7 x   1 cos x dx 6 5  x  x e dx     x cos x dx  5) 6) 7) 8 x   1 sin5 x dx   9) xxe dx                     10) (7 x  5)ln x dx                           11) arcctg x dx   (3 x  2)ln x dx (6 5 )lnx  xdx     1 2 cos x  xdx            8) arcsin x dx  12)  arctg x dx №7.Найти интегралы: 1)  4)  7)   4 2dx ; x    21  ; dxx dx  ; x 2)  5)  8)    3 2 x  2 x   1 dx ;   x   1 x   2 dx ;     2 x 2  4 x  3 3 2 x ; dx    3)  6)  9)  4 3 x  4 x   3 ; dx   dx  ; 2 3x  2 x  x 3 2 x  3 dx ; 10)   2 x   3 dx ; 3 x x 11)  3 2   x x 2 2 3 x ; dx 12)   4   2 x x ; dx 13)  16)    3 2 x  2 cos  ; dxx 2  2 cos cos  x x 2 1 ; dx 14)  17)  20)  2 x e  1   e x 2  x 1 e ; dx 2 sin2  sin  x x 2 3 ; dx     2 cos 2  x 3 sin 2    x . dx 19)      22) 25) 1  2 x cos 2  sin x ; dx      x cos xdx x  dx 2 ex 23) 26) 2  x sin xdx xLnxdx 15)  18)  2sin x  x sin ; dx x 2   e x sin x e e x ; dx 21) 24) 27)  xdx x sin  dx xe x  Lnxdx x2