Знания и умения по математике способствуют развитию логического мышления, критичности мышления обучающихся на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования. В карточке собран материал от простого к сложному: от заполнить пропуски до самостоятельного решения ,примеры решения неопределенных интегралов разными методами .
ОСР. Вычисление неопределенных интегралов.
1.Опорный конспект.
Неопределенный интеграл имеет вид:
– значок интеграла.
– значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный
– подынтегральная функция.
значок.
– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.
– первообразная функция.
– множество первообразных функций.
, пользуясь некоторыми
Решить интеграл – это значит найти определенную функцию
правилами, приемами и таблицей.
Методы решения неопределенных интегралов:
1) Метод непосредственного интегрирования (по таблице).
2) Внесение под знак дифференциала.
3)Метод замены переменной.
4)Интегрирование по частям.
Основные формулы:
udv
uv
duv
2. Решение типовых заданий:
1)Метод непосредственного интегрирования.
Пример№1. Вычислить неопределенный интеграл
.
5
x 12
dx
Решение.
5
x
12
dx
5
xdx
12
dx
5
11
x
11
12
Cx
2
5
x
2
12
Cx
.
Пример№2. Вычислить неопределенный интеграл
5 dx
х
.
Решение: Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных
интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:
х
n
dx
x
n
1
n
1
C
.В нашем случае n = 5 , тогда искомый интеграл равен:
х
5
dx
15
x
15
C
6
x
6
C
.
Ответ:
х
5
dx
6
x
6
C
.
Пример№3. Вычислить неопределенный интеграл
.
dx
81 x
2
Решение. Для вычисления этого неопределенного интеграла используется табличный
интеграл (Формула №11). В нашем случае
. Тогда искомый интеграл равен
2
a
9
81
a
dx
81
2
x
dx
2
9
2
x
arcsin
x
9
C
.
Ответ.
dx
81
2
x
arcsin
x
9
C
.
2)Внесение под знак дифференциала.
Пример№4. Вычислить неопределенный интеграл
2
xdx
2 x
.
1
Решение. Внесем под знак интеграла
совпадал со знаменателем
xd
2
x
так, чтобы полученный многочлен под знаком интеграла
.
2
1
1
xdx
2
2
1
x
В результате, получили табличный интеграл №4, который в свою очередь равен
2
xdx
2
x
1
xd
2
x
2
1
1
.
ln
2
x
1
C
Ответ.
2
xdx
2
1
x
ln
2
x
1
C
.
Пример№5.Вычислить неопределенный интеграл
2
2
x
3
x
3
x
dx
4
.
Решение. Так как
2
x
3
x
4
x
2
3
, то числитель можно внести под знак интеграла так, чтобы
под дифференциалом образовался многочлен точно такой же, что и в знаменателе:
2
2
x
xd
2
x
3
x
3
x
3
dx
4
x
x
3
4
4
.
2
Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл
Тогда
dx
x
ln
Cx
.
искомый интеграл равен
2
2
x
3
x
x
3
dx
4
xd
2
x
2
3
x
x
3
4
4
ln
2
x
3
x
4
C
.
3)Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Пример№6. Найти неопределенный интеграл.
sin
x 1
dx
3
Решение.
sin
x 1
dx
3
. Проведем замену: t = 3x+1 ,
dt
3
dx
dx
dt
3
.
sin
3
x
1
dx
1
3
sin
tdt
1
3
cos
Ct
cos
3
x
C
1
1
3
.
Пример№7. Найти неопределенный интеграл.
3
dx
243
x
Решение. Проведем замену: t = 3 4x,
dt
4
dx
dx
dt
4
.
3
dx
43
2
x
1
4
3
dt
2
t
2
3
t
1
4
dt
1
3
3
t
1
4
C
3
4
3
43
Cx
.
Пример№8. Найти неопределенный интеграл.
Решение. Замена:t = 3x + 2 .
dt
3
dx
dx
dt
3
7
.
xdx
x
2
3
. Время от времени в ходе решения интегралов
.
встречается следующий трюк: x мы выразим из той же замены,
t = 3x + 2,
3
x
t
x
2
t
1
3
2
3
t
1
3
2
3
7
t
dt
3
.
t
1
9
5
t
2
1
6
6
t
C
1
9
t
7
3
1
9
xdx
x
2
1
5
dt
2
7
1
9
1
6
t
1
x
35
5
2
33
x
t
6
7
2
t
dt
2
7
t
dt
1
1
9
2
6
C
.
Пример №9.Найти неопределенный интеграл
12
sin
3
x
cos
.
xdx
Решение: Введем замену 1 + sinx = t и полученный интеграл находим как интеграл от степенной
функции:
12
cos
xdx
t
sin
dt
C
C
2
2
x
.
3
3
1
cos
sin
x
xdx
t
dt
4
t
2
4
t
4
Сделаем обратную замену
12
sin
3
x
cos
xdx
C
4
t
2
1
4
x
sin
2
C
.
Ответ:
12
sin
3
x
cos
xdx
1
4
x
sin
2
C
.
Пример 10. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.
cos4
;
xdx
б
)
9
x
e
dx
1
;
в
)
x
(2
2 5
)
x
dx
а
)
Решение:
а
)
cos 4
xdx
dt
4
dx
4формула 7
x
t
(4 )
x
dt
4
dx
cos
t
dt
4
1
4
cosтаблицы
tdt
интегралов
1
4
sin
t C
1
4
sin 4
x C
.
б
)
9
x
1
dx
e
dt
t
(9
x
dx
9
x
1)
dt
9
1
9
t
e C
1
9
9
x
1
e
C
.
1формула 6
t
9таблицы
e
dx
dt
9
1
9
t
e dt
интегралов
в
)
x
(2
x
2 5
)
dx
dt
t
(2
2
x
2
2
)
x
dt
2
xdx
6
1
t
2 6
C
1
12
(2
2 6
)
x
C
.
5
2таблицы
xdx
t
dt
2
1
2
5
t dt
формула 3
интегралов
4)Интегрирование по частям.
udv
Пример№11. Найти неопределенный интеграл.
duv
uv
– формула интегрирования по частям.
x
2
ln
xdx
Решение.
x
2
ln
xdx
udv
x
ln
uv
xdx
2
x
ln
2
x
2
u
ln
2
x
du
2
ln
x
dx
ln2
x
ln
xdx
v
xdx
dv
duv
dx
ln2
xdx
x
ln
2
x
2
2
x
2
x
2
xdx
ln2
x
x
2
x
2
Под интегралом у нас снова многочлен на логарифм! Поэтому решение опять прерывается и
правило интегрирования по частям применяется второй раз. Не забываем, что за u в похожих
ситуациях всегда обозначается логарифм.
x
2
ln
xdx
ln
2
x
2
2
x
x
ln
xdx
u
ln
x
xdx
dv
udv
uv
du
dx
x
2
x
v
2
duv
ln
2
x
2
2
x
2
x
2
ln
x
2
x
2
dx
x
ln
2
x
2
2
x
2
x
2
ln
x
1
2
xdx
ln
2
x
2
2
x
2
x
2
ln
x
2
x
2
1
2
2
x
2
ln2
C
ln2
x
1
C
.
x
4
Пример№12. Найти неопределенный интеграл.
x
x22
e
dx
Решение:
x
e
2
2
x
dx
u
x
2
e
2
x
v
dx
duv
C
x
uv
dv
udv
1
2
1
2
x
dx
dx
du
2
e
2
x
e
1
2
1
2
2
x
e
x
2
1
2
2
x
e
dx
2
x
e
2
1
2
x
1
4
Пример№13. Найти неопределенный интеграл.
x
1
2
2
e
e
2
x
2
e
2
x
C
1
4
2
x
e
2
x
5
C
.
x
cos
6
xdx
Решение. Интегрируем по частям:
x
v
u
xdx
duv
C
6
x
cos
6
uv
1
6
cos
dv
udv
1
6
x
cos
6
xdx
1
6
x
6sin
x
dx
du
cos
6
xdx
1
6
6sin
x
1
6
x
6sin
x
1
6
6sin
dxx
1
6
x
6sin
x
1
36
cos
6
Cx
.
Пример№14. Найти неопределенный интеграл
xdx
sin 2 x
.
Решение. Интегрируем по частям:
ctgx
x
ctgx
ctgxdx
.
x
ctgx
cos
sin
xdx
x
xdx
2
sin
x
x
ctgx
dv
udv
d
x
v
dx
du
dx
2
sin
x
duv
x
ctgx
u
dx
2
sin
x
uv
sin
x
x
sin
ln
sin
CCx
,
const
.
Пример№15. Проинтегрировать по частям.
(3
x
1)sin 2
;
xdx
б
)
(1 2 )ln
x
.
xdx
а
)
Решение.à
)
(3
x
1)sin 2
xdx
U
3
x
1
dU
3
dx
dV
sin 2
xdx
V
x
cos2
2
(3
x
1)(
x
cos2
2
)
x
cos2
2
dx
1
2
(3
x
1)cos2
x
3
2
cos2
xdx
1
2
(3
x
1)cos2
x
3
4
sin 2
x C
.
U
x
dU
ln
б
)
(1 2 )ln
x
xdx
dV
V
(1 2 )
(1 2 )
x dx
x dx
ln (
x x
2
x
)
(
x
2
x
)
dx
x
2
x
dx
x
x
ln (
x x
2
x
)
(1
)
x dx
ln (
x x
2
x
)
x
2
x
2
C
.
3.Задание:
№ 1.Найти неопределённый интеграл, использую таблицу интегралов.
1)
2)
, 3)
, 4)
, 5) ∫ 2x2+3x−2
x+2
dx
№2.Найти неопределённый интеграл методом подстановки.
1)
, 2) ∫ 5
2x−7
dx ,
3)
4) ,
5)
№ 3. Найти определённый интеграл, использую таблицу интегралов.
; б)
а)
dx4
x 26
dx
; в)
x 34
dxx
; г)
dxx26
;д)
xdx
sin4
; е)
.
8 3
x
dxx
2
№4.Найти неопределенные интегралы:
1)
7 8
x
4
x
3
6
, 2)
5
x dx
34
x
6
3
x
x
2
dx
,3)
x
4
x
3
2
3
x
dx
,4)
6
5
1x
dx
,5)
,
dx
x
x
ln
6)
xdx
232
x
; 7)
6
9
x
3
2
x
5
x
,8)
1
dx
7
2
x
x
5
2
4
x
dx
,9)
35
2
x
x
x
dx
,10)
.
2 3x
4
dx
№5.Проинтегрировать функции заменой переменной:
dx
2
sin 3
x
(2
x
1)cos(
x
2
x dx
)
2
10 x dx
1
10)
2
x
(3
3 10
)
x
dx
1)
2)
3)
4)
5)
6)
dx
ln
x
x
xdx
x
1
2
7)
8)
xdx
x
2
2
5x
2
x dx
9)
sin
x
2
dx
11)
cos2x dx
sin 2x dx
12)
sin(2 3 )x dx
13)
14)
15)
16)
17)
18)
1 3x
e
dx
5xe
6
dx
dx
x
5
3
x
sin cos
e
x dx
1
3 x dx
7
dx
e
3x
№6. Найти интеграл интегрированием по частям:
1)
2)
3)
4)
7
x
1 cos
x dx
6 5
x
x e dx
x
cos
x dx
5)
6)
7)
8
x
1 sin5
x dx
9)
xxe dx
10)
(7
x
5)ln
x dx
11)
arcctg x dx
(3
x
2)ln
x dx
(6 5 )lnx
xdx
1 2 cos
x
xdx
8)
arcsin x dx
12)
arctg x dx
№7.Найти интегралы:
1)
4)
7)
4 2dx
;
x
21
;
dxx
dx
;
x
2)
5)
8)
3 2
x
2
x
1
dx
;
x
1
x
2
dx
;
2
x
2
4
x
3
3
2
x
;
dx
3)
6)
9)
4 3
x
4
x
3
;
dx
dx
;
2 3x
2
x
x
3
2
x
3
dx
;
10)
2
x
3
dx
;
3
x
x
11)
3
2
x
x
2
2
3
x
;
dx
12)
4
2
x
x
;
dx13)
16)
3 2
x
2
cos
;
dxx
2
2
cos
cos
x
x
2
1
;
dx
14)
17)
20)
2
x
e
1
e
x
2
x
1
e
;
dx
2
sin2
sin
x
x
2
3
;
dx
2
cos
2
x
3
sin
2
x
.
dx
19)
22)
25)
1
2
x
cos
2
sin
x
;
dx
x cos
xdx
x
dx
2
ex
23)
26)
2
x
sin
xdx
xLnxdx
15)
18)
2sin
x
x
sin
;
dx
x
2
e
x
sin
x
e
e
x
;
dx
21)
24)
27)
xdx
x sin
dx
xe x
Lnxdx
x2
ОСР. Вычисление неопределенных интегралов..docx
