Памятка: решение текстовых задач

Универсальных методов решения текстовых задач не существует, но,  Решение текстовых задач решая такие задачи, можно придерживаться приведенной ниже схемы: 1. Выбрать неизвестные. В большинстве случаев удобно за неизвестное взять ту величину, которую  требуется определить в задаче. Такой вариант следует рассматривать в первую  очередь, но это правило не является жестким, иногда проще составить уравнения,  в которые входят другие величины, и лишь после их определения найти  окончательный ответ.  Важным моментом является число неизвестных; чем больше неизвестных, тем  легче составлять уравнения (или неравенства), но при этом усложняется само  решение; не надо вводить новые неизвестные, если какая­то величина элементарно выражается через уже введенные. 2. Составить уравнения (возможно неравенства). В процессе составления системы уравнений важно использовать все  условия задачи. Количество уравнений должно совпадать с количеством  неизвестных, за исключением случая, когда требуется найти не сами величины, а  лишь некоторое соотношение между ними. 3. Найти нужное неизвестное или нужную комбинацию неизвестных. Если приходится отбрасывать некоторые корни, полученные в ходе  решения, то это необходимо делать исходя из условий задачи, а не из  соображений здравого смысла. Текстовые задачи удобно классифицировать по следующим группам: • задачи на движение; • задачи на работу и производительность труда; • задачи на концентрацию и процентное содержание; • задачи на зависимость между компонентами арифметических действий; • задачи на проценты. Задачи на движение Основными компонентами этого типа задач являются: S ­ пройденный путь,  V ­ скорость, t ­ время: S = Vt; План решения: V =  S t ;  t =  S V .                        1. В качестве неизвестных обычно выбирают расстояние (если оно не задано) или  скорости движущихся объектов. 2. Для составления уравнений в таких задачах, как правило, пользуются  следующими соображениями: а) если, 2 объекта начинают движение одновременно на встречу друг S 1  другу, то до момента их встречи пройдет время, равное t =  VV 2 . б) если объекты начинают движение в разное время, то до момента встречи  больше времени затрачивает тот, который выходит раньше; в) если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого расстояния  удобно принять за общее неизвестное этой задачи; г) при движении объектов в одну сторону (v1 > v2) время, через которое первый догоняет второго, равно t =  * Равномерное движение по прямой * Движение по окружности Следует учитывать: S 1  VV . 2 а) если при одновременном движении двух объектов по окружности из одной  точки, один из них догоняет в первый раз другого, то разность пройденных ими к  этому моменту расстояний равна длине окружности: C = 2πR б) если 2 объекта движутся по окружности радиуса R с постоянными скоростями  V1 и V2 в разных направлениях, то время между их встречами вычисляется по  в) если 2 объекта движутся по окружности радиуса R с постоянными скоростями  V1 и V2 в одном направлении, то время между их встречами вычисляется по  формуле: t =   R 2 VV  1 2 формуле: t =   R 2 VV  * Движение по реке 1 Следует помнить: , (v1 > v2). 2 Vпо теч. = V+ = Vсоб. + Vтеч. Vпрот. теч. = V­ = Vсоб.. ­ Vтеч. VV   2 Vсоб. =   Vтеч. =  Vплота = Vтеч. VV   2  PS. При решении некоторых задач на движение по реке скоростью течения можно  пренебречь. Независимо от того, удаляется объект от плота или приближается к нему,  его скорость относительно плота равна скорости объекта в стоячей воде,  меняется только направление скорости. Задачи на работу и производительность труда Основными компонентами данного типа задач являются: А ­ работа,  t ­ время, N ­ производительность труда (работа, выполненная в единицу времени): А = N • t План решения более сложных задач на совместную работу: а) принимаем всю работу, которую необходимо выполнить 1 ­ единицу, б) находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е.  , где t ­ время, за которое указанный рабочий может выполнить всю 1 t работу, работая отдельно; в) находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно,  за то время, которое он работал; г) составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (т.е. 1) к сумме  слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненной отдельно  каждым из рабочих (если в условии сказано, что при совместной работе выполнен  весь объем). Существует ряд задач, которые рациональнее решать «арифметически»,  а не «алгебраически». Арифметические задачи 1. Различают арифметические задачи на вычисление, доказательство и  исследование. Рассмотрим несколько арифметических задач. I. У ученика было 12 тетрадей, 5 тетрадей он использовал.     Сколько тетрадей у него осталось? II. Доказать, что если к трехзначному числу приписать такое же число,  то полученное шестизначное число будет обязательно делиться на 7, 11 и 13. III. Существуют ли числа, которые при делении на 9 дают в остатке 5,  а при делении на 15 дают остаток 6? Первая из этих задач — на вычисление, вторая — на доказательство,  третья — на исследование. В каждой арифметической задаче даны некоторые числа, соотношения и т. д. и сформулированы некоторые требования. То, что дано в задаче, называется ее  условием* (* Иногда  условием задачи называют всю задачу, включая  и вопрос или требование),  что требуется сделать — требованием или вопросом. Решить задачу — значит  выполнить то, что требуется в ней. В результате решения задачи получают ответ  или решение.  Обычно арифметические задачи содержат лишь такие данные, которые  необходимы и достаточны для получения определенного единственного ответа.  Такие задачи называют определенными. Но иногда встречаются задачи, имеющие  несколько и даже бесконечное множество решений; их называют  неопределенными задачами. Бывают и такие задачи, которые не имеют ни одного  решения; их называют переопределенными задачами. Иногда к переопределенным  относят и такие задачи, которые имеют единственное решение, но все же  содержат лишние числовые данные. Арифметические задачи  на вычисление.  Арифметической задачей на вычисление называют требование определить  численное значение какой­либо величины по известным численным значениям  других величин, находящихся в определенной зависимости между собой и с  искомым. Необходимыми элементами арифметической задачи на вычисления  являются: 1) числовые данные; 2) словесные пояснения той зависимости, которая имеется между данными  числами и между данными и искомыми; 3) тот вопрос задачи, ответ на который требуется найти. Все арифметические задачи на вычисление принято делить на простые и  составные. Простыми называются задачи, которые можно решить одним  действием. Задачи, которые невозможно решить одним действием, называют  составными. Важнейшие типы составных арифметических задач. * Задачи на исключение одного неизвестного заменой его другим * Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.  Иногда искомые числа могут быть уравнены, если от большего отнять и  прибавить к меньшему их полуразность. * Задачи на уравнивание данных * Задачи на нахождение двух чисел по их сумме или разности и отношению. * Задачи на смешение Задача 1. Сплавили 180 г золота 920­й пробы со 100 г 752­й пробы. Какой пробы получился сплав? Решение.  В первом слитке чистого золота было 0,92 от 180 г, т. е. 180 •  0,92 = 165,6 (г). Во втором слитке чистого золота было 0,752 от 100 г, т. е. 100 •  0,752 = 75,2 (г). Следовательно, в полученном сплаве чистого золота содержится  165,6 + 75,2 = 240,8 (г). Общий вес сплава равен 180 + 100 == 280 (г). Его проба  равна:   860  1000 8,240 280 Ответ: Получен сплав 860­й пробы. Задача 2. К 2 кг воды прибавили 8 кг 70­процентного раствора серной  кислоты. Определить процентную концентрацию полученного раствора. Решение.   1) Сколько в растворе чистой (безводной) кислоты?    8 кг • 0,7 = 5,6 кг. 2) Чему равен вес раствора?                                             2 кг + 8 кг = 10 кг. 3) Чему равна процентная концентрация раствора?                                                                                  5,6 кг : 10 кг = 0,56 = 56%. Примечание. Если количество кислоты выражено не в килограммах, а в  литрах, то подобные задачи можно решать только с помощью таблиц удельных  весов растворов серной кислоты. Рассмотрим, например, такую задачу.  Задача 2.1. К 2 л воды прибавили 8 л 70­процентного раствора серной  кислоты. Определить процентную концентрацию полученного раствора. Решение. В таблице находим удельный вес 70­процентного раствора  серной кислоты. Он равен 1,6. Следовательно, 8 л этого раствора весят 1,6•8=  12,8 (кг). Безводной кислоты в нем содержится 12,8 • 0,7 = 8,96 (кг)  Концентрация раствора равна 8,96 : 14.8 = 0,6 = 60%. Рассмотренные задачи относятся к задачам на смешение первого рода.  Они сравнительно не трудны. Более сложными задачами являются задачи на смешение второго рода.   Формула концентрации из химии:               %100 в m  =ω m  рр Задача 3. В каком отношении нужно взять два сорта товара стоимостью по 7,5 тг. за 1 кг и по 7 тг. за 1 кг, чтобы получить смесь стоимостью по 7,2 тг. за 1 кг? Решение. Обозначив неизвестные количества товара ценой 7,5 тг. и  7 тг.  за 1 кг соответственно через х и y, составляем таблицу:     х ­ 7,5тг.                  на 0,3 тг. дороже                         7,2 тг.     y ­ 7 тг.                    на 0,2 тг. дешевле    Далее рассуждаем так.  При стоимости 1 кг смеси по 7,2 тг. каждый килограмм товара первого сорта  оценивался дешевле его стоимости на 0,3 тг., а каждый килограмм второго сорта,  вошедший в смесь, оценивался дороже на 0,2 тг. Для того чтобы уменьшение стоимости первого сорта могло быть покрыто  повышением стоимости второго сорта (стоимость всей покупки не изменилась),  необходимо, чтобы каждый раз, когда берут 0,2 кг товара первого сорта, брали  0,3 кг второго сорта, т. е. х : y =  0,2 : 0,3, или х : y = 2 : 3. Ответ. В отношении 2:3. Задача 4. Из двух сплавов с 60­процентным и 80­процентным  содержанием меди надо изготовить сплав весом 40 кг с 75­процентным  содержанием меди. Сколько килограммов каждого сплава надо взять для этого? Решение. Выражаем содержание меди в граммах на 1 кг сплава:        х – 600 г                     меньше на 150 г                               750 г        y – 800 г                     больше на 50 г x y 50 150      х : y = 1 : 3     1+3=4     х =     Или:   140  4 = 10     y =  40  3 4 = 30     х – 60%                        на 15%                                      х – 60%   5%                         40 кг ­ 75%                       или  40 кг – 75%                           4 части      y – 80%                         на 5%                                      y ­ 80%   15%     x y 5  15 1 3      х : y = 1 : 3     1+3=4     х =  Ответ. 10 кг и 30 кг. 140  4 = 10     y =  40  3 4 = 30 * Задачи на движение. К арифметическим задачам на движение принадлежат  такие, в которых на основании зависимости между временем, скоростью и  расстоянием при равномерном движении надо найти одну из этих величин. * Задачи на концентрацию и процентное содержание Задачи предоставленного раздела вызывают наибольшие затруднения.  В данном случае очень важно разобраться в условиях задачи и попытаться разбить задачу на простейшие. Введем основные понятия: Пусть даны три различных вещества А, В и С с массами: mА, mВ и mС Масса смеси, составленной из этих веществ, равна М = mА + mВ + mС Массовой концентрацией вещества в смеси (доля чистого вещества в смеси),  называется величина СА,  вычисляемая по формуле: m СА =  M Массовые концентрации СА, СВ и СС связаны равенством: A СА + СВ + СС = 1. m   A A mmm  B C Процентным содержанием вещества А в данной смеси называется величина РА%,  вычисляемая по формуле:  РА = СА•100%.  План решения задач: 1. Выбор неизвестных. В качестве неизвестных, чаще всего выбирают те величины, которые требуется найти. 2. Выбор чистого вещества. Из веществ, фигурирующих в условии задачи, выбирается одно в качестве  чистого вещества. Чаще всего это то вещество, о котором идет речь в требовании  задачи, или вещество, о доле которого в условии содержится больше всего  информации.  При этом, если СА ­ доля чистого вещества, то (1­СА) ­ доля примеси. 3. Переход к долям. Если в задаче имеются процентные содержания, их следует перевести в  доли, и в дальнейшем работать только с долями. 4. Отслеживание состояния смеси. На каждом этапе изменения смеси (добавление, изъятие) необходимо  описывать состояние смеси. 5. Составление уравнения. В результате преобразований, смесь приходит к итоговому состоянию.  Оно характеризуется величинами mА, M, СА, содержащими неизвестные.  Уравнением, связывающим эти неизвестные, будет:  6. Формирование ответа. mА = СА•М Если в задаче требовалось найти то или иное процентное содержание,  то следует полученные доли перевести в процентное содержание.  PS: удобно записывать все данные в таблицу. Проценты Процентом какого­либо числа называется сотая часть этого числа.  Вообще, определив, сколько в данной десятичной дроби сотых частей, ее легко  записать в процентах. Для этого пользуются правилом: чтобы записать  десятичную дробь в процентах, надо перенести в этой дроби запятую на два знака  вправо. Примеры. 0,33 = 33%; 0,002 = 0,2%; 1,25 = 125%; 21 = 2100%.  И наоборот: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 200% = 2. Иногда употребляют понятие промилле. Промилле числа называют  тысячную долю этого числа. Обозначают промилле знаком %0 Пример. 0,002 = 0,2% = 2°/00 В тысячных долях выражают концентрации растворов, отношения веса  чистого золота, серебра, платины к общему весу сплава и др. Однако в последнем  случае вместо промилле употребляют слово проба.  Пробой называют число граммов драгоценного металла в 1000 г сплава.  Например, золотом 920­й пробы называют сплав, в 1000 г которого содержится  920 г чистого золота. Основные типы задач на проценты 1. Нахождение процентов данного числа. р% числа а равны  pa  100 Чтобы найти несколько процентов данного числа, достаточно данное  число разделить на 100 и умножить результат на число процентов. 2. Нахождение числа по данной величине его процентов. если р% какого­то числа составляет а, то все число равно a 100  p Чтобы найти число по данной величине нескольких процентов его, достаточно эту величину разделить на число процентов и результат умножить на 100. 3. Нахождение процентного отношения двух чисел.  Чтобы вычислить процентное отношение числа а к числу b, нужно найти  отношение а к b и умножить его на 100. Задачи на пропорциональные величины 1. Простое тройное правило.  Из задач на пропорциональные величины наиболее часто встречаются  задачи на так называемое простое тройное, правило. В этих задачах даны три  числа и требуется определить четвертое, пропорциональное к ним. 2. Сложное тройное правило.    Задачи, в которых по данному ряду соответствующих друг другу значений нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение  одной из них, соответствующее другому ряду данных значений остальных  величин, называют задачами на сложное тройное правило. Например: а объектов за время T выполнили работу А.  Какую работу Х выполнят b объектов за время t?  Числовая формула: Х =   tbA Ta  3. Пропорциональное деление Задача. Разделить число Х на две части прямо пропорционально числам а  и b. Эту задачу следует понимать так: разделить Х на две части, чтобы первая  относилась ко второй, как а к b. Если искомые числа y и z, то:                        y + z = Х          y : z = а : b Правило:  Чтобы разделить число на части прямо пропорционально нескольким  данным числам, достаточно разделить его на сумму этих чисел и частное  умножить на каждое из этих чисел.                                                                y =                     z = bX ba   aX ba   Аналогично делят числа на три и более частей, пропорционально данным  числам. Чтобы разделить число на части обратно пропорционально данным  числам, надо разделить его прямо пропорционально числам, обратным данным. Сложный процентный рост   nS p 100 n    S 1  ­ формула сложных процентов.    Формула применима к любой ситуации, когда рассматриваемая величина  за каждый заданный промежуток времени увеличивается или уменьшается на р  процентов, считая от предыдущего ее значения.  Замечание: Вычислить 30% от 14 т быстрее умножением 14 ∙ 0,3.  Зато способ пропорции «унифицирует» решение задач на проценты, то есть является  стандартным методом решения.  Лучше знать оба способа, а каким воспользоваться при решении задач ­ пусть каждый  выбирает сам. Волошина Н.Н.