"Перпендикуляр к прямой"

Отрезок ОВ называется перпендикуляром, проведённым из точки О к прямой а, если отрезок ОВ и прямая а перпендикулярны.

Точка В – основание перпендикуляра.

Доказательство.
1. Существование.

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

∠ AOD = ∠ COD,

OA = OC.

Следовательно, ∠ CDO = ∠ ADO

(смежные углы).

АD ⊥ p, т. е. перпендикуляр существует.

(по первому признаку),

AD = CD,

Так как по предположению ∠ AD1D = 90°,
то ∠ СD1D = 90°,

D1А и D1С составляют прямую,

что невозможно.

Предположение неверно.

Задача. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой q. Перпендикуляры МО и NP, проведённые к прямой q равны. Найдите градусную меру угла NPM, если угол NOP равен 35°.

Задача. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой q. Перпендикуляры МО и NP, проведённые к прямой q равны. Найдите градусную меру угла NPM, если угол NOP равен 35°.

35°

Задача. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой q. Перпендикуляры МО и NP, проведённые к прямой q равны. Найдите градусную меру угла NPM, если угол NOP равен 35°.

Рассмотрим ∆ MOP и ∆ NPO.

OP – общая сторона,

МO = NP,

∠ MOP = ∠ NPО = 90°.

Следовательно, ∆ MOP = ∆ NPO

(по первому признаку)

35°

Задача. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой q. Перпендикуляры МО и NP, проведённые к прямой q равны. Найдите градусную меру угла NPM, если угол NOP равен 35°.

Рассмотрим ∆ MOP и ∆ NPO.

OP – общая сторона,

МO = NP,

∠ MOP = ∠ NPО = 90°.

Следовательно, ∆ MOP = ∆ NPO

(по первому признаку)

Тогда ∠ NOP = ∠ MPO = 35°.

∠ NPО = ∠ NPM + ∠ MPO,

∠ NPM = ∠ NPО  ∠ MPO.

35°

∠ NPM = 90°  35°,

∠ NPM = 55°.

Ответ: 55°.

стр 32-33, теория, №104