Physical pressure

Course of lectures «Contemporary Contemporary Physics: Part1» Physics: Part1 Lecture №9  №9 Lecture Fluid Mechanics. Fluid Mechanics. Pressure. Variation of Pressure with Pressure. Variation of Pressure with Depth. Pressure Measurements. Depth. Pressure Measurements. Buoyant Forces and Archimedes's Buoyant Forces and Archimedes's Principle. Fluid Dynamics. Bernoulli's Fluid Dynamics. Bernoulli's Principle. Equation. Equation.

Fluid Mechanics A  fluid  is  a  collection  of  molecules  that  are  randomly  arranged and held together by weak cohesive forces and by  forces exerted by the walls of a container. Both liquids and  gases are fluids. In our treatment of the mechanics of fluids, we do not need to learn  any new physical principles to explain such effects as the buoyant  force acting on a submerged object and the dynamic lift acting on  an airplane wing. First, we consider the mechanics of a fluid at rest —that  is,  fluid  statics.  We  then  treat  the  mechanics  of  fluids  in  motion— that is, fluid dynamics. We can describe a fluid in motion  by  using  a  model  that  is  based  upon  certain  simplifying  assumptions.

Pressure Figure 7.1 At any point on  the  surface  of  a  submerged  object, the force exerted by  the fluid is perpendicular to  the  surface  of  the  object.  The  force  exerted  by  the  fluid  on  the  walls  of  the  container  is  perpendicular  to the walls at all points.

Pressure If  F  is  the  magnitude  of  the  force  exerted  on  the  piston  and  A  is  the  surface area of the piston, then the  pressure P of the fluid at the level  to  which  the  device  has  been  submerged  is  defined  as  the  ratio  F/A: (7.1) Figure  7.2  A  simple  device  for  measuring  the  pressure  exerted by a fluid. Note  that  pressure  is  a  scalar  quantity  because it is proportional to the magnitude  of the force on the piston.

If the pressure varies over an area, we can evaluate the infinitesimal  force dF on an infinitesimal surface element of area dA as (7.2) where P is the pressure at the location of the area dA. The pressure  exerted by a fluid varies with depth. Therefore, to calculate the total  force exerted on a flat vertical wall of a container, we must integrate  Equation 7.2 over the surface area of the wall. Because  pressure  is  force  per  unit  area,  it  has  units  of  newtons  per  square  meter  (N/m2)  in  the  SI  system.  Another  name  for  the  SI  unit of pressure is pascal (Pa): (7.3)

Snowshoes  keep  you  from  sinking  into  soft  snow because they spread the downward force  you  exert  on  the  snow  over  a  large  area,  reducing the pressure on the snow surface.

Variation of Pressure with Depth Table 7.1

Variation of Pressure with Depth Figure 7.3 A parcel of fluid (darker  region) in a larger volume of fluid  is singled out. The net force exerted  on the parcel of fluid must be zero  because it is in equilibrium.

Variation of Pressure with Depth (7.4) That is, the pressure P at a depth  h  below  a  point  in  the  liquid  at  which  is  greater by an amount  ghρ . the  pressure  is  P0

If the liquid is open to the atmosphere and P0 is the pressure at the  surface  of  the  liquid,  then  P0  is  atmospheric  pressure.  In  our  calculations  and  working  of  end­of­chapter  problems,  we  usually  take atmospheric pressure to be In  view  of  the  fact that  the  pressure in  a  fluid depends  on  depth  and on the value of P0, any increase in pressure at the surface must  be transmitted to every other point in the fluid. This concept was  first recognized by the French scientist Blaise Pascal (1623–1662)  and is called Pascal’s law: a change in the pressure applied to a  fluid  is  transmitted  undiminished  to  every  point  of  the  fluid  and to the walls of the container.

Figure  7.4  (a)  Diagram  of  a  hydraulic  press.  Because  the  increase  in  pressure  is  the  same  on  the  two  sides,  a  small  force  Fl  at  the  left  produces a much greater force F2 at the right.

(b) Figure  7.4  (a)  Diagram  of  a  hydraulic  press.  Because  the  increase  in  pressure  is  the  same  on  the  two  sides,  a  small  force  Fl  at  the  left  produces a much greater force F2 at the right. (b) A vehicle undergoing  repair is supported by a hydraulic lift in a garage.

Pressure Measurements (a) Figure 7.5 (a) a mercury barometer.

Pressure Measurements (b) The difference in pressure  P ­ P0 is equal to ρgh. The  pressure  P  is  called  the  absolute  pressure,  while  the  difference  P  ­  P0  is  gauge  called  pressure.  For  example,  the  pressure  you  measure  in  your  bicycle  tire  is  gauge pressure. the  Figure  7.5  (b)  an  open­tube  manometer.

Buoyant Forces and Archimedes’s Principle (a) (b) Figure 7.6 (a) A swimmer attempts to push a beach ball underwater. (b) The forces  on  a  beach  ball–sized  parcel  of  water.  The  buoyant  force  B  on  a  beach  ball  that  replaces this parcel is exactly the same as the buoyant force on the parcel.

Buoyant Forces and Archimedes’s Principle The  upward  force  exerted  by  a  fluid  on  any  immersed object is called a buoyant force. The  magnitude  of  the  buoyant  force  always  equals  the  weight  of  the  fluid  displaced  by  the  object.  as  This  Archimedes’s principle. statement  is  known

Buoyant Forces and Archimedes’s Principle (7.5) Figure  7.7  The  external  forces  acting  on  the  cube  of  liquid  are  the gravitational force Fg and the  B.  Under  buoyant  equilibrium conditions, B = Fg . force

Case 1: Totally Submerged Object (a) (b) Figure  7.8  The  external  forces  acting  on  the  cube  of  liquid  are  the  gravitational  force  Fg  and  the  buoyant  force  B.  Under  equilibrium conditions, B = Fg .

Case 1: Totally Submerged Object Thus,  the  direction  of  motion  of  an  object  submerged  is  determined  only  by  the  densities  of  the object and the fluid. in  a  fluid

Case 2: Floating Object Figure 7.9 An object floating on the surface of a fluid experiences  two  forces,  the  gravitational  force  Fg  and  the  buoyant  force  B.  Because the object floats in equilibrium, B = Fg .

Case 2: Floating Object (7.6) This equation tells us that the fraction of the volume of a  floating object that is below the fluid surface is equal to  the ratio of the density of the object to that of the fluid.

Fluid Dynamics When fluid is in motion, its flow can be characterized as being one of  two main types. The flow is said to be  steady, or laminar, if each  particle  of  the  fluid  follows  a  smooth  path,  such  that  the  paths  of  different particles never cross each other. In steady flow, the velocity  of fluid particles passing any point remains constant in time. Figure 7.10  Laminar flow  around an  automobile in a  test wind tunnel.

Fluid Dynamics Above  a  certain  critical  speed,  fluid  flow  becomes  turbulent;  turbulent  flow  irregular  flow  characterized  by  small  whirlpool­like regions, as shown in Figure 7.11. is  Figure 7.11 Hot gases from  a  cigarette  made  visible  by  smoke  particles.  The  smoke  first  moves  in  laminar  flow  at  the  bottom  and  then  in  turbulent flow above.

Fluid Dynamics The  term  viscosity  is  commonly  used  in  the  description of fluid flow to characterize the degree  of  internal  friction  in  the  fluid.  This  internal  friction,  or  viscous  force,  is  associated  with  the  resistance that two adjacent layers of fluid have to  moving  relative  to  each  other.  Viscosity  causes  part  of  the  kinetic  energy  of  a  fluid  to  be  converted  to  internal  energy.  This  mechanism  is  similar to the one by which an object sliding on a  rough horizontal surface loses kinetic energy.

Fluid Dynamics Because  the  motion  of  real  fluids  is  very  complex  and  not  fully  understood,  we  make  some  simplifying  assumptions  in  our  approach. In our model of ideal fluid flow, we make the following  four assumptions: 1. The fluid is nonviscous. In a nonviscous fluid, internal friction  is  neglected.  An  object  moving  through  the  fluid  experiences  no  viscous force. 2. The flow is steady. In steady (laminar) flow, the velocity of the  fluid at each point remains constant. 3. The fluid is incompressible. The density of an incompressible  fluid is constant. 4.  The  flow  is  irrotational.  In  irrotational  flow,  the  fluid  has  no  angular momentum about any point. If a small paddle wheel placed  anywhere  in the  fluid  does  not  rotate  about  the  wheel’s  center  of  mass, then the flow is irrotational.

Fluid Dynamics The  path  taken  by  a  fluid  particle  under  steady  flow  is  called  a  streamline.  The  velocity  of  the  particle  is  always  tangent  to  the  streamline,  as  shown  in  Figure  7.12.  A  set  of  streamlines  like  the  ones  shown  in  Figure  7.12  form  a  that  fluid  tube  of  particles cannot flow into or out of  the sides of this tube; if they could,  then  the  streamlines  would  cross  each other. flow.  Note  flow  Figure  7.12  A  particle  in  laminar  follows  a  streamline, and at each point  along  its  path  the  particle’s  velocity  is  tangent  to  the  streamline.

Fluid Dynamics Figure 7.13 A fluid moving with steady flow through a  pipe  of  varying  cross­sectional  area.  The  volume  of  fluid flowing through area A1 in a time interval ∆t must  equal  the  volume  flowing  through  are  A2  in  the  same  time interval. Therefore, A1v1 = A2v2.

Fluid Dynamics This expression is called the equation of continuity for fluids.  It states that (7.7) the product of the area and the fluid speed at all  points  along  a  pipe  for  an  incompressible fluid. is  constant

Bernoulli’s Equation Figure  7.14  A  fluid  in  laminar  flow  through  a  constricted pipe. The volume of the shaded portion on  the left is equal to the volume of the shaded portion on  the right.

Bernoulli’s Equation

Bernoulli’s Equation (7.8) This is Bernoulli’s equation as applied to an ideal fluid. It is  often expressed as (7.9)

Bernoulli’s Equation This Bernoulli effect explains the experience with the truck on the  highway at the opening of this section. As air passes between you  and  the  truck,  it  must  pass  through  a  relatively  narrow  channel.  According  to  the  continuity  equation,  the  speed  of  the  air  is  higher.  According  to  the  Bernoulli  effect,  this  higher  speed  air  exerts less pressure on your car than the slower moving air on the  other  side  of  your  car.  Thus,  there  is  a  net  force  pushing  you  toward the truck!

Other Applications of Fluid Dynamics airplane  wing.  The  Figure  7.15  Streamline  flow  around  a  moving  air  approaching  from  the  right  is  deflected  downward  by  the  wing.  By  Newton’s  third  law,  this  must  coincide  with  an  upward force on the wing from the air— lift. Because of air resistance, there is also  a force opposite the velocity of the wing — drag.

Other Applications of Fluid Dynamics Figure 7.16 Because of the deflection of  air,  a  spinning  golf  ball  experiences  a  lifting force that allows it to travel much  farther  than  it  would  if  it  were  not  spinning.

Other Applications of Fluid Dynamics Figure 7.17 A stream of air passing over a tube dipped  into a liquid causes the liquid to rise in the tube.

Quick Quiz 7.1  Suppose  you  are  standing  directly  behind  someone  who  steps  back  and  accidentally stomps on your foot with  the  heel  of  one  shoe.  Would  you  be  better  off  if  that  person  were  (a)  a  large  professional  basketball  player  wearing sneakers (b) a petite woman  wearing spike­heeled shoes?

Quick Quiz 7.2  The  pressure  at  the  bottom  of  a  filled  glass of water (ρ=1 000 kg/m3) is P. The  water  is  poured  out  and  the  glass  is  filled  with  ethyl  alcohol ρ=806  kg/m3).  The pressure at the bottom of the glass  is  (a)  smaller  than  P  (b)  equal  to  P  (c)  larger than P (d) indeterminate.

Quick Quiz 7.3  Several common barometers are built,  with a variety of fluids. For which of  the following fluids will the column of  fluid in the barometer be the highest?  (a) mercury (b) water (c) ethyl alcohol  (d) benzene

Quick Quiz 7.4  An  apple  is  held  completely  submerged  just  below  the  surface  of  a  container  of  water.  The  apple  is  then  moved  to  a  deeper  point  in  the  water.  Compared  to  the  force  needed  to  hold  the  apple  just  below  the  surface,  the  force  needed  to  hold it at a deeper point is (a) larger (b)  the  same  (c)  smaller  (d)  impossible  to  determine.

Quick Quiz 7.5  You  observe  two  helium  balloons  floating  next  to  each  other  at  the  ends  of  strings  secured  to  a  table.  The facing surfaces of the  balloons  are  separated  by  1–2  cm.  You  blow  through the small space between the balloons.  What happens to the balloons? (a) They move  toward each other. (b) They move away from  each other. (c) They are unaffected.

Quick Quiz 7.6  You  tape  two  different  soda  straws  together  end­to­end  to  make  a  longer  straw  with  no  leaks. The two straws have radii of 3 mm and  5  mm.  You  drink  a  soda  through  your  combination straw. In which straw is the speed  of the liquid the highest? (a) whichever one is  nearest your mouth (b) the one of radius 3 mm  (c)  the  one  of  radius  5  mm  (d)  Neither—the  speed is the same in both straws.