План-конспект урока "Алгебра логики. Логические операции"

Этапы урока

Содержание этапов урока

1. Организационный момент.

Цели для преподавателя:

- создать условия для возникновения у обучающихся внутренней потребности включения в учебную деятельность;

- способствовать повышению мотивации учения.

Цели для обучающихся:

- включиться в учебную деятельность;

- подготовиться к восприятию нового учебного материала.

Цели этапа занятия достигаются посредством:

-объявления темы занятия и постановки общих целей;

- разъяснения роли изучаемого содержания в процессе формирования конкретных общих и профессиональных компетенций;

- раскрытия значения изучаемого содержания для будущей профессиональной деятельности;

1. Вводный инструктаж

1.1. Проверка наличия обучающихся. Повторение техники безопасности в кабинете информатики.

Начинаем занятие. Отметим отсутствующих на занятие и проверим вашу готовность к занятию на наличие тетрадей.

1.2. Целевая установка на урок.

Сегодня у нас тема «Алгебра логики. Логические операции», запишите тему занятия в тетради.

2. Изучение нового учебного материала (способов действий).

Цели для преподавателя:

-ознакомить с понятием логика, логические высказывания, 

-рассмотреть основные логические операции,

-рассмотреть алгоритм построения логических схем,

-рассмотреть логические законы и правила преобразования логических выражений.

Цели для обучающихся:

-познакомиться с понятием логика, логические высказывания, 

-рассмотреть основные логические операции,

-рассмотреть алгоритм построения логических схем,

-рассмотреть логические законы и правила преобразования логических выражений.

Цели этапа занятия достигаются посредством:

- обеспечения понимания планируемого результата деятельности, основных путей его достижения;

- определения критериев, позволяющих обучающимся самостоятельно определять степень достижения запланированного результата;

- организации активной самостоятельной деятельности обучающихся по написанию лекции во время занятия.

2. Теоретическая часть.

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Пример 1. «3 – простое число» является высказыванием, поскольку оно истинно.

Не всякое предложение является логическим высказыванием.

Пример 2.  Предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием.

Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Пример 3. «x+2>5» - высказывательная форма, которая при x>3 является истинной, иначе ложной. 

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками. 

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (таблица1.1).

Таблица 1.1 - Основные логические операции

Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ¬). Высказывание ¬А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умножением и обозначается точкой « • » (может также обозначаться знаками   или &). Высказывание А • В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. 

Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сложением и обозначается знаком  (или плюсом). Высказывание АВ ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Операция, выражаемая связками «если …, то», «из … следует», «... влечет …», называется импликацией(лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «... равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~ . Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Операция, выражаемая связками «Либо … либо», называется исключающее ИЛИ или сложением по модулю 2 и обозначается XOR или . Высказывание АВ истинно тогда и только тогда, когда значения А и В не совпадают.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание: .

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: .

Исключающее ИЛИ можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: .

Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Приоритет выполнения: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающее или, импликация и эквиваленция.

Логическая формула - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Логическая функция - это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

Пример 4.  – логическая функция двух переменных A и B.

Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных – или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности.

Приведем таблицу истинности основных логических операций (таблица 1.2)

Таблица 1.2

Пример 5. Составить таблицу истинности для формулы И–НЕ, которую можно записать так: .

1. Определить количество строк: 

    На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк =2²+1=5.

2. Определить количество столбцов:

    Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и двух логических операций (1 инверсия, 1 конъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 4.

3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (таблица 1.3).

Таблица 1.3. Таблица истинности для логической операции

Логические формулы можно также представлять с помощью языка логических схем. 

Существует три базовых логических элемента, которые реализуют три основные логические операции :

• логический элемент «И» – логическое умножение – конъюнктор;
• логический элемент «ИЛИ» – логическое сложение – дизъюнктор;
• логический элемент «НЕ» – инверсию – инвертор.

1.1.Алгоритм построения логических схем.

1.     Определить число логических переменных.

2.     Определить количество логических операций и их порядок.

3.     Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей логический элемент.

4.     Соединить логические элементы в порядке выполнения логических операций.

Пример 6. По заданной логической функции  построить логическую схему.

1.     Число логических переменных = 2 (A и B).

2.     Количество операций = 5 (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция). Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.

3.     Схема будет содержать 2 инвертора, 2 конъюнктора и 1 дизъюнктор.

4.     Построение надо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые, в свою очередь, подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).

3.2. Логические законы и правила преобразования логических выражений

Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений.

1. Закон двойного отрицания: ;

2. Переместительный (коммутативный) закон:

·       для логического сложения:  ;

·       для логического умножения: ;

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

·       для логического сложения:  ;

·       для логического умножения:   ;

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

·       для логического сложения:  ;

·       для логического умножения:  ;

5. Законы де Моргана:

·       для логического сложения:  ;

·       для логического умножения:  ;

6. Закон идемпотентности:

·       для логического сложения:  ;

·       для логического умножения:  ;

7. Законы исключения констант:

·       для логического сложения: ;

·       для логического умножения: ;

8. Закон противоречия:;

9. Закон исключения третьего:  ;

10. Закон поглощения:

·       для логического сложения: ;

·       для логического умножения: ;

11. Правило исключения импликации: ;

12. Правило исключения эквиваленции: .

Справедливость этих законов можно доказать составив таблицу истинности выражений в правой и левой части и сравнив соответствующие значения.

Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Пример 7. Упростить логическое выражение .

Согласно закону де Моргана: .

Согласно сочетательному закону: .

Согласно закону противоречия и закону идемпотентности: .

Согласно закону исключения 0:  

Окончательно получаем /

4. Задание на дом.

Цели для преподавателя:

- провести анализ и оценку успешности достижения цели урока, перспектив последующей работы;

- мобилизовать  обучающихся на рефлексию результатов учебной деятельности;

- поставить цели самостоятельной работы для обучающихся  (что должны  сделать обучающиеся в ходе выполнения домашнего задания).

Цели для обучающихся:

- уяснить цели и содержание домашнего задания.

Цели этапа урока достигаются посредством:

- достижения открытости обучающихся в осмыслении своих действий и самооценки;

- определения для обучающихся содержания и объема домашнего задания.

4.Заключительная часть. Подведение итогов, выставление отметок.

4.1. Определение задания на дом.

Задание. Выполнить задания по методической разработке Практикум по теме  «Информационно-логические основы ЭВМ» согласно инд. заданиям: Выполнение расчётных работ - алгебра логики