План-конспект урока по математике на тему «Тригонометрические тождества»

Деятельность преподавателя

Деятельность учащихся

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1. Актуализация.

Слово преподавателя:

- Мы продолжаем изучать главу «Тригонометрические формулы». На прошлых уроках мы познакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса, котангенса и формулами зависимости между ними.

Преподаватель предлагает двум учащимся на доске выполнить № 590 (2) и № 590 (8) из домашнего задания. Во время работы учащихся на доске преподаватель проводит фронтальную работу с группой по повторению пройденного материала.

Слово преподавателя:

- Повторим основные понятия тригонометрии с помощью «Математического лото». Перед вами таблица, содержащая ответы на вопросы, которые будут вам заданы. Ваша задача - найти правильный ответ и назвать квадрат, в котором он находится.

                          Слайд 1: «Математическое лото».

1.      Переведите в градусную меру угол:

а) π;        б) ;        в) ;        г) ;        д)

            2.  Переведите в радианную меру угол:

                 а) 90º

                 б) – 180º

                 в) 360º

                 г) – 270º

                 д) 720º

            3.  Дайте определение sin α, cos α, tg α, ctg α.

            4.  Вычислите:

                 а)

                 б)

                 в) 4сos 90º – 8sin 30º

                 г) ctg²60º + 2

            5.  Какое из чисел больше 0?

                 а) sin 340º

                 б) cos (–120º)

                 в) sin 50º

                 г) tg 170º

            6.  Какие из выражений не имеют смысла?

                 а) sin 90º

                 б) cos 0º

                 в) tg 90º

                 г)  ctg 0º

Преподаватель предлагает проверить домашнее задание, выполненное на доске.

Выполняют на доске упражнения.

Устно выполняют задания и называют правильный ответ, находящийся в таблице.

Проверяют решения.

2. Мотивация.

Слово преподавателя:

- Итак, вы вспомнили изученный ранее материал. Эти знания вам пригодятся при дальнейшем изучении тригонометрии уже на этом уроке.

Отвечают и проверяют правильность своих ответов с помощью слайда 2.

3.      Постановка учебной задачи.

Слово преподавателя:

- Кроме упражнений на дом вам было дано задание: вспомнить понятие тождества, тождественного выражения и тождественного преобразования. Сформулируйте определения этих понятий.

                                            Слайд 2:

Тождеством называется равенство, справедливое при всех

допустимых значениях входящих в него букв.

Допустимые значения букв – это значения, которые могут принимать

буквы в данном выражении.

Выражения, находящиеся в левой и правой частях тождества,

называются тождественными.

Замена некоторого выражения другим, ему тождественным,

называется тождественным преобразованием данного выражения.

- Как вы думаете, как связаны эти понятия с изучаемым материалом?

(Предполагаемый ответ: тождества и тождественные выражения будут содержать тригонометрические функции, и мы будем преобразовывать такие выражения и доказывать тождества).

Преподаватель объявляет тему урока: «Тригонометрические тождества».

4.      Планирование решения учебной задачи.

Слово преподавателя:

- При изучении темы «Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента мы уже встретились с тождествами. Например, это все формулы зависимости межу синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Сегодня мы выясним, как можно использовать эти формулы при упрощении тригонометрических выражений и доказательстве тригонометрических тожеств.

Предлагают варианты ответа.

Записывают тему урока в тетрадях.

II. Операционно-познавательная часть

Слово преподавателя:

- Напомните формулы зависимости между синусом и косинусом, тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом, тангенсом и котангенсом.

                                                 Слайд 3:

sin² α + cos² α = 1                  

                 cos α ≠ 0,

                sin α ≠ 0, α ≠ πn,

tg α ∙ ctg α = 1                         ,

Преподаватель задаёт вопрос группе:

- При каких допустимых значениях α справедливы эти тождества?

Слово преподавателя:

- Для выполнения тождественных преобразований тригонометрических выражений можно использовать не только данные тригонометрические тождества, но и другие формулы тригонометрии, а также алгебраические преобразования, например, действия с дробями, вынесение за скобки общего множителя, формулы сокращённого умножения и т. д.

- Выполните следующие задания с помощью тождественных преобразований.

                                                Слайд 4:

1.      Упростите выражение:

      а) 1 – sin² x = cos² x

      б) cos² β – 1 = – sin² β

      в) tg x ∙ ctg x + 4 = 5

      г) cos α ∙ tg α = sin α

      д) (1 – cos x)(1 + cos x) = 1 – cos² x = sin² x

               е) sin² α + 2sin α ∙ cos α + cos² α = (sin α + cos α)²

 2.  Выразите через sin²α:

      a) (1 – cos² α) + sin² α = 2sin² α

      б)

 3)  Выразите через tg α:

     a)  

     б)

Слово преподавателя:

- Тождественные преобразования используются при доказательстве тождеств. Какие вы знаете способы доказательства тождеств?

                                                 Слайд 5:

Способы доказательства тождеств:

- преобразование правой части к левой;

- преобразование левой части к правой;

- установление того, что разность между правой и левой частями

равна нулю;

- преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.

Слово преподавателя:

- Рассмотрим задачи.

                                                  Слайд 6:

Задача 1. Доказать, что при α ≠ πn, , справедливо равенство

sin² α + ctg² α + cos² α =

Доказательство:

sin² α + ctg² α + cos² α = 1 + ctg² α =

 =

    Что и требовалось доказать.

Называют формулы, при необходимости обращаются к упражнениям из домашнего задания.

При этом постепенно появляются формулы из левой части

слайда 3.

Называют допустимые значения α, при этом постепенно появляется правая часть слайда.

Отвечают. Правая часть равенства появляется при ответе учащихся.

Отвечают, проверяют ответы с помощью слайда 5.

Доказывают равенство с помощью преподавателя, записывают в тетрадь.

                                                   Слайд 7:

Задача 2.  Доказать тождество cos² α = (1 – sin α)(1 + sin α).

Доказательство:

(1 – sin α)(1 + sin α) = 1 – sin² α = cos² α

cos²α = cos²α

              Что и требовалось доказать.

Преподаватель вызывает к доске двух учащихся.

Задача 3.  Доказать тождество:

Доказательство:

==

=

0=0. Что и требовалось доказать.

Задача 4.  Доказать тождество:

Доказательство:

Что и требовалось доказать.

Устно проводят доказательство, затем записывают его в тетрадь.

Выполняют задачи 3 и 4 на закрытой части доски. Остальные самостоятельно решают эти задачи в тетрадях.

Проверяют решенные на доске и в тетрадях задачи.

III. Рефлексивно-оценочная часть

Слово преподавателя:

- Пришло время подвести итоги работы. Продолжите фразу:

«Сегодня на уроке я повторил…»

«Сегодня на уроке я узнал…»

«Сегодня на уроке я научился…»

«Сегодня на уроке я закрепил…»

Преподаватель отмечает положительные и отрицательные моменты работы учащихся на уроке, типичные ошибки; выставляет и комментирует оценки.

Вариант 1

Вариант 2

1.Упростите выражение:

tgcos

а) sin б)ctg в)cos г)tg

2.Вычислите:

а)0 б) в)1 г)

3.Решите уравнение:

sinx=1

а) б) в) г) .

4.Упростите выражение:

а)sin б)cos в)sin-cos г) cos-sin

5.Запишите решение.

Вычислите:

1.Упростите выражение:

ctgsin

а) sin б)ctg в)cos г)tg

2.Вычислите:

а)0 б) в)1 г)

3.Решите уравнение:

cosx=1

а) б) в) г) .

4.Упростите выражение:

а)sin б)cos в)sin-cos г) cos-sin

5.Запишите решение.

Вычислите: