План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"
Оценка 4.7

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

Оценка 4.7
Работа в классе +1
doc
математика
10 кл
14.01.2018
План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"
Решение простейших тригонометрических уравнений для старших классов Задачи урока: усвоить формулы для решения простейших тригонометрических уравнений; формировать навыки решения простейших тригонометрических уравнений; способствовать осуществлению самоконтроля, взаимоконтроля; повторить свойства тригонометрических функций, значения обратных тригонометрических функций; развивать внимание, память, логическое мышление, навыки работы с тестовыми заданиями.
Решение простейших тригонометрических уравнений.doc
УРОК  № 1 Тема урока:    Решение простейших тригонометрических уравнений            Задачи   урока:   усвоить   формулы   для   решения   простейших тригонометрических уравнений; формировать навыки решения простейших тригонометрических уравнений;                                                             способствовать  осуществлению самоконтроля, взаимоконтроля;                               повторить свойства тригонометрических функций,  значения обратных тригонометрических функций; развивать   внимание,   память,   логическое   мышление,   навыки работы с тестовыми заданиями.    Ход урока:  І.  Организационный момент.  ІІ. Проверка домашнего задания с помощью математического диктанта.       Вычислите: 1 ;   2  1) arcsin 4) arcsin      2 ;    2   7) arcctg (­1);   10) arccos (cos   6  2) arсcos   3) arctg  3 ;      2 ;  5) arcos   2    6) arctg   1 ;  2   3 ;     3   8) cos (arcos 1);      9) sin (arccos 2 ); 2 );     11) arcsin (Sin 12) arccos (sin   4  3 );  ).      Взаимопроверка: 1. 2. 3. 4.  6  4  3  4       5. 6. 7. 8. ІІІ. Изучение темы урока.  2 3  6 3 4 1  9.      10. 11.      12. 2 2  6  4  6 1. Мотивация учебной деятельности.       Сообщение темы и постановка задач урока. 2. Объяснение учителя, опираясь на знания учащихся. Из  презентаций  одноклассников   на  предыдущих уроках  вы  узнали,  что тригонометрические   вычисления   применяются   в   различных   областях.   С помощью   тригонометрических   уравнений   можно   решить   целый   спектр вопросов   в   физике,   астрономии,   медицине.   Задача   сегодняшнего   урока познакомиться   с   выводом   формул   для   решения   простейших тригонометрических уравнений вида Cosx = a, Sinx = a.   Найдем   корни   уравнения   Cosx 3 2 .   Необходимо   найти   все   числа, косинус которых равен  3 .  2 Одно из таких чисел  3  мы нашли на отрезке  ;0 . Сколько корней на данном интервале имеет данная функция? Почему? Найдите корень этого уравнения на отрезке  Значит,   на   отрезке   ;  0; ! ,   который   равен   положительному   наименьшему периоду   функции   у=   Cosx,   имеем   корни    .   А   в   силу   периодичности  3 получим:  x   3  ,2 Znn  . Всегда ли существуют решения уравнения Cosx = a? При  а >1 уравнение решений не имеет. При  а   1корни уравнения Cosx = a записываются следующим образом: х =   arcos a + 2n,   n Z. Частные случаи для решения уравнения Cos x = a  приведены в следующей таблице. Вид тригонометрического уравнения Cos x = – 1 Cos x =  0 Cos x =  1 Корни уравнения x =  Zтт 2  ,                     x =    2                     x = 2   Zтт  , , к Zк  Проводя   аналогичные   рассуждения,   получим   формулу    1 n x arcsin a   n , Zn  для нахождения корней уравнения Sin x = a , при 1a .  При   1a  уравнение решений не имеет. При  a  ,1 a  ,0 a  1   корни уравнения  Sinx    можно найти по формулам: a Вид тригонометрического уравнения Sin x = –1 Sin x =  0 Sin x =  1 ІV. Закрепление изучаемого материала.  Корни уравнения x =   Zтт 2    ,                   x = n,   nZ                   x =    Zтт 2  ,  2  2 1. Осмысление изученного материала. 2. Выполнение тренировочных упражнений. Работа с учебником стр.109­115 ­ определение тригонометрических уравнений;           ­   графическое изображение решений уравнений Cosx = a, Sinx = a.   ­ Разбор примера 1. Решение № 57 (7, 9, 13) Каждый   ряд  (или   группа)   решает   одно   из   уравнений.  Представители каждого   ряда   записывают   решение   на   доске,   комментируя   его.  Остальные записывают решение в тетради, задают вопросы, если они возникли. Sinx 2 2 ;    n  1 x   arcsin   2 2        1 1 n x  4   Znn ,  .  Znn  , Ответ:  x     1 1 n  4   Znn ,  . Cosx  3 2 ;    arccos   3 2     ,2 Znn  x x ; Cosx 1 2 ; x  arccos  1 2  ,2 Znn  x   3 Ответ:  x  ,2 Znn  .   3  ,2 Znn  ; . Дополнительное задание № 57(6) ; Sin 2 x 1 ;   5 6  ,2 Znn  . 2 x Ответ:  x   5 6  ,2 Znn    2  4  x    ,2 Znn  ;  Znn ,  . Ответ:  x   4   Znn ,  . i. Итог урока Тестовые задания: 1. Какое из уравнений не имеет корней: А)   5Sinx 3 ;   Б)  Cosx  ;      В)     4Sinx 13 ;        Г)  Cosx ,0 6598 . 2. Решением простейшего уравнения является (найдите соответствие) 1. 2. 3. 4. Cos x = –1 Sin x =  0 Sin x =  1 Cos x =  0 А. Б. В. Г. ,   Zтт 2 x =   x = n,   nZ x =    Zтт  ,  2  2 x =  2  Zтт  , 1Г 2Б 3А 4В VІ.  Домашнее задание. П.12 изучить, выучить формулы для решения простейших  тригонометрических уравнений. Решить № 57(1,2,5,8,14). Повторить основные тригонометрические тождества, формулы сложения. x = n,   nZ Sinx = 0 1 Cosx = – 0,4827 x =  arссos (– 0,4827) +2n,   nZ 2 5 8 Cos x = 0 Sin ( х – 30º) + 1= 0  2  Zтт   2 (   x =  , х  – 30º)= 2 х = – 2 +2n, nZ;   2   n ,2 Zn  ;  6  3  6  14 2 Sin (  6  –  х) –1 = 0  x=  Sin (  ,4 Znn  1 ;  2  – х ) =   6  x   n  1  6   Znn ,  ;  х=     1 1 n  6 6    Znn ,  ; Учащимся, которые проявляют интерес к изучению математики, предлагается творческое задание. Подготовить проектную работу по теме: «Однородные  уравнения. Способы их решения» УРОК  №  2 Тема урока:    Решение простейших тригонометрических уравнений  Задачи   урока:   усвоить   формулы   для   решения   простейших тригонометрических                          уравнений;                                                       формировать навыки решения простейших тригонометрических                                                        развивать  логическое мышление;  уравнений     вида tgx = a; ctgx = a;                        воспитывать трудолюбие, настойчивость, умение                        работать в  коллективе.   Ход урока:  І.  Организационный момент.  ІІ. Проверка домашнего задания Два ученика у доски решают № 57 (8,14), остальные проверяют решение   (1,2,5)   и  сверяют свое решение с образцами на доске.  ІІІ. Изучение темы урока. 2. Сообщение темы и постановка задач урока. 3. Актуализация опорных знаний. 4. Решение устных упражнений. 5. Алгоритм решения уравнений вида tgx = a; ctgx = a.      (Работа с учебником стр. 114)      «Микрофон»: ­ какие уравнения называются тригонометрическими? ­ всегда ли уравнения Sinx = a, Cosx = a имеют решение? ­ формула корней уравнения Sinx = a, если  ­ формула корней уравнения Cosx = a, если  1a если arcsin(­) = ­ arcsin, то arcos (­) = …. ; ­ ­ частные случаи уравнения Sinx = a; 1a ; ; ­ частные случаи уравнения Cosx = a.    Найдите решение уравнений (устно):    1) 5 Sinx = 0; 2) Cos(2x) = 1; 3) Sin(x   4 ) = 1;  4) 3 Cosx = ­ 3;  5) Sinx = 5.    Вычислите:  tg(   4 );  ctg   2 ;  tg (  3 );   ctg  0 ;  arctg(­1);   arctg 0. Известно,   что   тангенс   может   принимать   любое   действительное значение. Поэтому уравнение  tg x = a  имеет корни при любом значении   a . Все они выражаются формулой  х = arctg a + n, n Z. Особый случай  tg x = 0,  Корнями тригонометрического уравнения c  tg x = a   являются  Zкк  ,  х .  х =  arcctg a +  , Zкк . Особый случай ctg x = 0,  х   2  Znn ,  . ІV. Закрепление изучаемого материала.  Выполнение тренировочных упражнений. Работа в группах, «Мозговой штурм» Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3. Коэффициент сложности 1. 2. 3. 4. 5. 6. 3tgx 1ctgx tg    сtg tg  x 3 4 4 x 2 x 3 6 3   1  3 3 tg    2 x   6    0 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1сtgx 3 1 tg 0tgx x 2 2 x ctg  ) 6  x 1 3(  3 tg tg x 3             13. 14. 15. 16. 17. 18. 1 3  0 3 8  ctg 3 ctg 4 x 3 3 tgx 48 x  3  3 4  1tgx 3 x 2  ) 3 2( tg  tg 0 x  2 1 3 1 2 3   1  3 Учащиеся   выполняют   задания,   распределив   обязанности.   Учитель помогает   ребятам   с   низким   уровнем   реальных   возможностей.   Проверяет полученные   результаты.   Выставляет   оценки,   которые   учащиеся   поставили себе (или руководитель группы) в ходе самостоятельной работы. V.  Итог урока    VІ.  Домашнее задание. Знать   формулы   для   нахождения   корней   простейших   тригонометрических   ребята уравнений.   Решить   задания   параллельного   варианта   (уровень   определяют   самостоятельно!)   Повторить   формулы  для   нахождения  корней квадратного уравнения, теорему Виета.  Ответы   на   самостоятельную работу Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3. k 1. 2. 3. 4. 5. 6.      Znn ,  Znn ,  3  4  4 2 3 3 5  n 12 2 ,6  Znn      , Zn Znn ,  x x x x x x   n 12 2  , Zn  7. 8. 9. 10. 11. 12. x x x x x x  Znn ,    3 Znn   , , Zn  Zn  ,     n 2 2  n 12 12  n  ,  3  6  1 Zn  Znn ,  13. 14. 15. 16. 17. 18. x x x x x x  ,  n 12 4 6  arctg   Zn  Znn  , , Zn   Znn ,  4    8 n 9 3  4 2 n 3   n 3 2  , , Zn  Zn  2 1 3 1 2 3 УРОК  №  3 Тема урока:        Решение тригонометрических уравнений способом  приведения  к одной тригонометрической функции.                  Задачи   урока:           формировать   навыки   решения   тригонометрических уравнений                         способом   приведения   к   одной тригонометрической функции (алгебраический способ); повторить тригонометрических     формулы   для   решения   простейших   уравнений;   формулы   для           нахождения корней квадратного уравнения; развивать   вычислительные   навыки;   умение   определять уровень самоподготовки; воспитывать настойчивость в достижении поставленной цели.   Ход урока:  І.  Организационный момент.  ІІ. Проверка домашнего задания. Письменный опрос по формулам для решения простейших  тригонометрических уравнений. (Опрос проводится три последующих урока. Ребята меняются вариантами,  максимальная оценка за каждую из работ – 3 балла. После трех уроков ­  баллы суммируются, и выставляется оценка в журнал.)      Вариант 1     tgx = a     Sin x = 0     Cos x = a     ctg x = 0    Вариант 2 Sin x = a Cos x = 0 ctg x = a tg x = 0     Вариант 3 Cos x = – 1 tgx = a Sin x = 1 Sin x = a    Вариант 4 Cos x = 1 tg x = 0 Sin x = a Ctg x = a Cos x = –1     tg x = 1     ІІІ. Изучение темы урока. Sin x = –1 Ctg x = 1 ctg x = 0 Cos x = a Sin x = –1 Ctg x = –1    1.Сообщение темы и постановка задач урока.    2. Объяснение учителя, разбор примеров.        (Примеры демонстрируются на слайдах. См. приложение 1)    Некоторые   тригонометрические   уравнения   можно   привести   к   уравнению   с одной   из   тригонометрической   функцией   путем   тождественных преобразований,   а   потом   ввести   замену   и   свести   уравнение   к алгебраическому. Первый вид, с которым мы познакомимся – это уравнения, приводимые к квадратным. 1. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Пример 1.          Решить уравнение  2 Sin² x + 3 Sin x =2. Решение: Введем замену  Sin x=у. Тогда данное уравнение становится квадратным :     2у² + 3у –2 =0. Корни этого квадратного уравнения у = 0,5 , у = – 2, так как 2у² + 3у –2 =0; Д= в ² – 4ас; Д= 9+16; Д=25, Д >0, два корня в  у =     Д ; 2 а у =   в  2 а Д ; у =  53  4 ; у =   53  4 ; у = 0,5;                                               у = – 2. Возвращаясь к замене, получим: Sin x =0,5;               или                    Sin x = – 2. Второе уравнение решения не имеет, т.к. ( )1( решением первого являются     = к   6 2  1 ),  ,  Zкк  .  Ответ: х = )1( к  6  ,  Zкк  . Пример 2.  Решить уравнение 2 Sin ² x –  Cos x – 1 = 0.  Решение: Используя основное тригонометрическое тождество   Sin ²x + Cos ²x = 1, получим  2 (1–  Cos ²x) –  Cos x –1 = 0, или     2 Cos ²x +  Cos x –1 = 0. Если Cos x = у, то     2у ²–   у – 1 = 0,        у 1  ,1 у 2  1 2 . Возвращаясь к замене, получим: 1)  Cos x = 1,      х  ,2 Znn  ; 2) Cosx= 1 2 ,   x     arccos  1 2     2 Zmm  , ;   x  (   arccos 1 2 )   2 Zmm  , ; x  (    3 )   Zmm 2  , ;             x   2 3   Zmm 2  , . Ответ:  х  ,2 Znn  ;     x   2 3   Zmm 2  , . Пример 3.  Решить уравнение tg x – 2 ctg x  + 1 = 0. Решение: Так как    ctgx 1 tgx , то уравнение можно записать в виде   tgx  2 tgx  1  0 . Умножая обе части уравнения на tg x, получаем: tg ²x +  tg x – 2 = 0. Замена tg x  = у, приводит к квадратному уравнению у ² +  у – 2 = 0, корнями которого   являются   Возвращаясь к замене:  у 1     ,1 у 2  2 .   (Проверьте,   используя   теорему   Виета!). 1) tg x  = 1,  х   4   Znn ,  ; 2) tg x  = – 2,    х  arctg  )2(   Zкк ,  ;   х  arctg Ответ:  х   4   Znn ,  ;    х  arctg 2   Zкк ,  . 2   Zкк ,  . ІV. Формирование навыков и умений учащихся. Выполнение упражнений. Пример 4.  Решить уравнение 2 Cos ² x – 5 Sin x + 1 = 0. Решение: Заменим Cos ² x на 1­ Sin ² x, получим:      2(1–  Sin ² x) –  5 Sin x + 1 = 0;   2 Sin ² x + 5 Sin x – 3 = 0. Обозначим Sin x = у, имеем 2у ² + 5у – 3 = 0, откуда  у 1  ,3 у 2  1 2 . 1) 2) Sin x = ­ 3. Это уравнение решений не имеет корней, т.к.  3  1 , Sin   x   =   1 . 2   Решением   этого   уравнения   является   n  1 х arcsin  1 2  Znn ,  . Ответ:  х   n  1 arcsin  1 2  Znn ,  . Далее ребятам предлагаются задания из С­2, 1вариант – а), б),V вариант – а). Самостоятельная работа № 2 І вариант Решить уравнения: а)   Cosx б)   Sinx Cos 2 2 Cos x x 2 2 ;         01  5,2 ;      ІІ вариант  Решить уравнения: а)  б)   Sinx  Cosx Sin Sin 2 2 2 x x 2 2  01 5  2 ;         ;          ІІI вариант IV вариант Решить уравнения: ; а)  б)  41 x 01  2 x Cos Sin 4 4  2 Sinx ; в)  2 Sin 2 x  51 Cosx ; V вариант  Решить уравнения: а) б)   3 4 Cos ;  4 Cos ctgx  3 x tgx 2 2 x  01 ; 4 Sin 2 x 1 Решить уравнения: а)  ;        б)  в)  5 2  Cosx Sin Sin  4 1 4 x x 2 2  1 2 Sinx 0 ;    ;        VI вариант Решить уравнения: а)  tgx б)  2 x сtgx 4  x 3 Sin 4  5 Sin  4 ;  01 . V.  Итог урока    VІ.  Домашнее задание.  Учащимся предлагаются разноуровневые задания  (1­«4»­«6», 2­ «7»­«9», 3­ «10»­ «12») 1 уровень – 2 вариант (а, б),  2 уровень – 3 вариант (а, б, в) 3 уровень  – 6 вариант (а, б) + 4 вариант  – (б, в)

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"

План-конспект урока по математике на тему "Решение простейших тригонометрических уравнений"
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
14.01.2018