Исследовательская работа "Построение графиков тригонометрических функции, содержащих знак модуля"

Районный конкурс творческих исследовательских работ школьников Исследовательская работа: «Построение графиков тригонометрических функций, содержащих знак модуля» Выполнила Ёрмина Алена Александровна ученица 10 класса МКОУ Новочановской СОШ Научный руководитель: Мухарева Татьяна Максимовна учитель математики МКОУ Новочановской СОШ высшая квалификационная категория г. Барабинск 2018 ОГЛАВЛЕНИЕ: Введение Основная часть 2.1. Из истории тригонометрических функций 2.2. Простейшие тригонометрические функции 2.3. График функции у = |f (x)| 2.4. График функции у = f (|x|) 2.5. График функции у = |f (|x|)| 2.6. График функции |у| = f (x) 2.7. Практическое применение Заключение Список литературы 1. 2. 3. 4. 3 4 4 5 7 8 8 10 11 12 12 3 Введение В прошлом году, занимаясь исследовательской работой «Построение  графиков квадратичных функций, содержащих модули», изучая историю  возникновения функциональных зависимостей и модуля, поведение графиков  функций, содержащих модули, я решила продолжить и в этом году выбрала тему  «Построение графиков тригонометрических функций, содержащих модули». В школьных учебниках о графиках, содержащих модули, довольно сжатая  информация, а современные требования к образованию предусматривают более  глубокие знания. А так же, учитывая значимость темы для математики в целом,  работа ориентирована и на подготовку к ЕГЭ и дальнейшему обучению в вузе, так  как она расширяет кругозор, развивает абстрактное и логическое мышление, и  просто дает возможность познакомиться с интереснейшими графиками  тригонометрических функций, содержащих модули. Цель моей работы – рассмотреть различные виды графиков  тригонометрических функций, содержащих знак модуля, изучить их  особенности и научиться строить. Задачи: 1. 2. Познакомиться с историей возникновения тригонометрических функций; Изучить поведение тригонометрических функций sin х, cos х, tg х, ctg х,  sec х, cosec х, содержащих модули; 3. Формировать навыки построения тригонометрических функций в Advanced  Grapher. Методы исследования: 1. 2. Изучение дополнительной литературы по данной теме; Изучение возможностей программы Advanced Grapher. 4 Построение графиков тригонометрических функций, содержащих модули, в  3. разных вариантах и изучение их свойств. 5 Основная часть 2.1. Из истории тригонометрических функций Хотя   название   науки   возникло   сравнительно   недавно,   многие   относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад. Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между   отношениями   сторон   треугольника   и   его   углами   начали   называть тригонометрическими функциями. Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль­ Батани   (850­929)   и   Абу­ль­Вафа,   Мухамед­бен   Мухамед   (940­998),   который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский  астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201­1274). Кроме   того,   Насиреддин   Туси   в   своей   работе   «Трактат   о   полном четырехстороннике»   изложил   плоскую   и  сферическую   тригонометрию  как самостоятельную дисциплину. Долгое   время   тригонометрия   носила   чисто  геометрический  характер,   т.   е. факты,   которые   мы   сейчас   формулируем   в   терминах   тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений.   Такою   она   была   еще   в   средние   века,   хотя   иногда   в   ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных   процессов,   движения   различных механизмов,   для   изучения   переменного   электрического   тока   и   т.   д.   Поэтому   распространения   волн, тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики. Аналитическая теория тригонометрических 6 функций   в   основном   была   создана   выдающимся   математиком   XVIII   веке Леонардом   Эйлером  (1707­1783)   членом   Петербургской   Академии   наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к   математическому   анализу,   геометрии,   теории   чисел,   механике   и   другим приложениям   математики.   Именно   Эйлер   первым   ввел   известные   определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил   формулы   приведения.  После   Эйлера   тригонометрия   приобрела   форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще. Таким образом,   тригонометрия,   возникшая   как   наука   о   решении   треугольников,   со временем  развилась   и в  науку  о  тригонометрических  функциях. Позднее  часть тригонометрии,   которая   изучает   свойства   тригонометрических   функций   и зависимости между ними, начали называть гониометрией. Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется. 2.2. Простейшие тригонометрические функции Синус ( sin x ) В   современной   математике  cинусом   острого   угла   прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. y = sin x Косинус ( cos x ) Косинус   –   это   сокращение   латинского   выражения   completely   sinus,   т.   е. “дополнительный   синус”   (или   иначе   “синус   дополнительной   дуги”).  Косинусом 7 острого   угла   прямоугольного   треугольника   называют   отношение   прилежащего катета к гипотенузе. y = cos x Тангенс ( tg x ) Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенс ( ctg x ) Котангенсом   острого   угла   прямоугольного   треугольника   называется отношение прилежащего катета к противолежащему. 8 Секанс (х) Секанс   –   тригонометрическая   функция,   обратно   пропорциональная косинусу. y = sec x = 1/cos x Косеканс (х) Косеканс   –   тригонометрическая   функция,   обратно   пропорциональная синусу. y  = cosec x = 1/sin x 2.3. График функции у = |f (x)| Для построения графика функции  y  = |f(x)| достаточно построить график функции  y  =  f(x)   для   всех  x  из   области   её   определения     и   ту   часть   графика функции  y  =  f(x),   которая   расположена   ниже   оси   абсцисс   (f(x)<0),   отразить симметрично этой оси, то есть, графики функций у = f(х) и у = ­ f(х) расположены симметрично оси абсцисс.  Таким   образом,  график   функции  y  =   |f(x)|  расположен   только   в   верхней полуплоскости. 9 Построим график функции  y  = |sin  x|. График будет находиться в верхней полуплоскости. Для начала строим график функции  y  =  sin  x, затем отражаем относительно оси абсцисс. Получаем график функции y = |sin x|. y = |sin x| 2.4.  График функции у = f (|x|) Функция  y  =  f(|x|) чётная, поэтому для построения её графика достаточно построить  график функции y = f (x) для всех  x ≥0 из области её определения и отразить полученную часть графика  симметрично оси ординат. Построим график функции y = cosec (|x|). Для начала строим график  функции y = sec x в промежутке [0;+∞). Затем отражаем график относительно оси  ординат. Получается график  функции y = cosec (|x|). 2.5. График функции у = |f (|x|)| Построим   график   функции   у   =   |sin(|2x­π/6)­3|.Для   этого   воспользуемся программой Advanced Grapher. Будем действовать по следующему плану: 1) построим «основной» график, т.е. график функции y = sin x. 10 2) Построим график функции y = sin 2x.  3)  Строим график функции y = sin(2x­π/6) 4)  Отражаем часть графика, находящуюся в I и IV четвертях относительно оси абсцисс. Получаем график функции y = sin(|2x­π/6|) 11 5) Опускаем график функции на 3 значения ниже по оси ординат. Получаем график функции y = sin(|2x­ /6|) ­ 3 π 6) Отражаем график функции y = sin(|2x­ /6|) – 3 относительно оси абсцисс. В π итоге, получаем график функции y = |sin(|2x­ /6|) – 3 π | 2.6. График функции |у| = f (x) Для построения графика зависимости |y| = f(x) достаточно построить график функции у =  f(x) для тех х из области ее определения, при которых  f(x)≥0, и отразить полученную часть графика симметрично оси абсцисс. Построим график функции |y|= ctg x.Сначала строим график функции y=ctg x. Отражаем часть графика, расположенную в верхней полуплоскости  относительно оси абсцисс, получаем график функции |y| = ctg x. 12 2.7. Практическое применение Задача 1: Решите уравнение |sin x| = sin x * cos x. Наиболее   удобным   решением   данного   уравнения   является   графический способ. Построим два графика функции y = |sin x| и y = sin x * cos x. Пересечение этих графиков и являться решением данного уравнения. π π , 2  и т.д.  Графики пересекаются в точках 0,  Ответ: x=± nπ , n € Z. Задача 2: Решите уравнение |sin x – cos x| = 1 – sin 2x Как   и   в   предыдущей   задаче,   мы   решим   данное   уравнение   графическим способом. Строим графики функции y = |sin x – cos x| и y = 1 – sin 2x.  13 Графики пересекаются в точках 0,  Ответ: x = ±π/2+ nπ , n € Z. Задача 3:при каких значениях параметра a уравнение  cos 2x + |sin x| = a , 3 /2 и т.д π π π /2,  имеет три корня? Построим график функции y = cos 2x + |sin x|.  По рисунку видно, что только при а = 1 данное уравнение имеет три корня. 14 Заключение Мною были исследованы различные тригонометрические функции,  содержащие знак модуля. Я узнала об истории тригонометрических функций,  познакомилась с новыми видами тригонометрических функций, о которых раньше  не знала, научилась строить графики тригонометрических функций со знаком  модуля, в различных программах. Данная работа помогает мне в подготовке к  ЕГЭ, развивает абстрактное и логическое мышление и просто дает возможность  познакомиться с различными графиками тригонометрических функций,  содержащих знак модуля. В дальнейшем я хочу заняться построением различных  пространственных кривых. Список литературы. 1. Виленкин Н. Я. « Функции в природе и технике » ­ М. Просвещение, 1985,  192 стр. 2. Гельфанд И. М. и др. « Функции и графики » ­ М. Наука, 1973, 302 стр. 3. Пичурин Л. Ф. « За страницами учебника алгебры » ­ М. Просвещение, 1999,  224 стр. 4. Прохоров Ю.В. «Большая энциклопедия по математике», ­М.Наука, 1998,  700 стр. 5. Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика» ­  М.:Педагогика, 1989, 350 стр. 6. Садыкина И. « Построение графиков функций и зависимостей, содержащих  знак модуля » ­ Математика №3, 2004, 236 стр. 15