Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
Крутовская основная школа
Серафимовичского района
Волгоградской области
ИсследовательскИЙ ПрОЕКТ
«МИР ОБЪЁМНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР»
Выполнил проект:
ученик 6 класса
МКОУ Крутовской ОШ,
Глазунов Аристарх Евгеньевич
Руководитель:
учитель математики и информатики
МКОУ Крутовской ОШ,
Урасова Наталья Николаевна
х. Крутовский
2024-2025 учебный год
Содержание:
Введение.
I. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры
1.1. Классификация пространственных (объёмных)
геометрических фигур
1.2. Составные элементы пространственных (объёмных) геометрических фигур
II. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в окружающем мире.
2.1. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в макромире.
2.2. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в микромире.
III. Изготовление коллекции моделей, изученных объёмных геометрических фигур в виде развёрток.
Заключение
Список литературы
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Введение
Посмотрите вокруг - как разнообразен наш мир, какие разные предметы нас окружают. В нашем мире много необычного и прекрасного. Нас окружают предметы, формы которых нас удивляют. Таковыми, например, являются геометрические фигуры. Эти фигуры обладают и красотой, и совершенностью форм, и притягательностью.
Наши дома, и египетские пирамиды, и кубики, которыми играют дети, и объекты архитектуры и дизайна, и предметы обихода состоят из знакомых нам геометрических фигур.
Они встречаются в природе в виде кристаллов, и в виде вирусов. Архитекторы, строители и дизайнеры воплощают свои оригинальные идеи, используя эти фигуры. И можно заметить, что все это – плоские и объемные геометрические фигуры.
Целью данной работы является изучение и описание части пространственных (объёмных) геометрических фигур, способы их определения и применения, а также сконструировать коллекцию, изученных пространственных фигур.
Задачи работы:
1. Познакомиться с многообразием пространственных (объёмных) геометрических фигур.
2. Изучить виды объёмных геометрических фигур.
3. Показать связь полученной информации с окружающим миром.
4. Изготовить коллекцию моделей, изученных пространственных геометрических фигур в виде развёрток.
Актуальность проекта:
В течение многих веков математики проявляли интерес к пространственным (объемным) геометрическим фигурам. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью.
Участвуя в данном проекте, попадаешь в удивительный мир этих фигур. Узнаешь много нового об их видах и свойствах.
Таким образом, объектом нашего исследования будут пространственные геометрические фигуры, окружающие нас. А предметом исследования станут многогранники и тела вращения.
Методы исследования:
- теоретический: библиографический анализ литературы и материалов сети Internet;
- эмпирический: анализ полученных данных и изготовление моделей многогранников.
I. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры
Наш мир представляет собой трехмерное пространство, в котором
фигуры имеют объем. Объемные фигуры обладают дополнительными
свойствами по сравнению с плоскими. Эта работа поможет нам разобраться,
какими свойствами обладают объемные тела.
1.1. Классификация пространственных (объёмных)
геометрических фигур
По форме пространственные геометрические (объёмные) фигуры делятся
на многогранники и тела вращения.
Многогранники можно условно разделить на:
1. Правильные многогранники (Платоновы тела).
2. Пирамиды.
3. Призмы.
А тела вращения делятся на:
1. Цилиндр.
2. Конус.
3. Шар и сфера.
Оказывается, что правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше. (рис.1).
Ведь для того, чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой
вершине, согласно его определению, должно сходиться одинаковое количество
граней, каждая из которых является правильным многоугольником.
рис.1
Пирамида — это многогранник, который формируется, когда несколько треугольников, сходящихся в одной точке (вершине), соединяются с многоугольником на плоскости (основанием). Эта уникальная структура делает пирамиду одним из наиболее интересных объектов в геометрии (рис. 2).
рис. 2
Призма — это многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Все рёбра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны между собой (рис. 3).
рис. 3
Цилиндр - это объёмная фигура, получена вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через центр прямоугольника. Цилиндр имеет два круга в основаниях и образующую (то, что соединяет основания) (рис. 4).
Конус – это объёмная фигура получена путём вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов (рис. 4).
Шар/сфера. Шар (заполненный внутри) — это геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой отстоят на равном расстоянии от центра. Сфера (пустая внутри) — поверхность, образованная вращением контура (рис. 4).
(рис. 4)
Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.
Древнегреческий ученый Архимед обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники.
Нами были изучены только некоторые из них. Архимедовы тела получаются из Платоновых тел в результате их усечения.
Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр (рис. 5).
рис. 5
1.2. Составные элементы пространственных (объёмных) геометрических фигур
Пространственные (объёмные) геометрические фигуры из части многогранников имеют три неотъемлемых компонента:
- грань (поверхность многоугольника),
- вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней),
- ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
В стереометрии особое место занимают геометрические фигуры с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники.
Названия правильных многогранников пришли из Древней Греции, в них указывается число граней:
«эдра» |
грань |
«тетра» |
4 |
«гекса» |
6 |
«окта» |
8 |
«икоса» |
20 |
«додека» |
12 |
Название |
Внешний вид |
Описание |
Правильный тетраэдр |
|
Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников.
|
Правильный октаэдр |
|
Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников.
|
Правильный икосаэдр |
|
Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.
|
Куб(гексаэдр) |
|
Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов.
|
Правильный додекаэдр |
|
Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.
|
Боковые грани любой пирамиды представлены обязательно треугольниками, но в основании может быть как треугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании.
Название |
Внешний вид |
Описание |
Четырехугольная пирамида |
|
Составлена из четырехугольника (квадрата) в основании и четырех равнобедренных треугольников – боковых граней, сходящихся в вершине пирамиды. |
Пятиугольная пирамида |
|
Составлена из пятиугольника (пентагона) в основании и пяти равнобедренных треугольников – боковых граней, сходящихся в вершине пирамиды. |
Шестиугольная пирамида |
|
Составлена из шестиугольника (гексагона) в основании и шести равнобедренных треугольников – боковых граней, сходящихся в вершине пирамиды. |
Геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани в основании, лежащие в параллельных плоскостях, и различное число боковых граней в виде прямоугольников носит название призма. В свою очередь, призма имеет несколько разновидностей, в зависимости от вида многоугольников, лежащих в основаниях призмы.
Название |
Внешний вид |
Описание |
Треугольная призма |
|
Составлена из двух равных треугольников в основаниях и трех прямоугольников – боковых граней, расположенных под прямым углом к основаниям призмы. |
Четырехугольная призма (параллелепипед) |
|
Составлена из двух равных четырехугольников в основаниях и четырех прямоугольников – боковых граней, расположенных под прямым углом к основаниям призмы. |
Пятиугольная призма |
|
Составлена из двух равных пятиугольников в основаниях и пяти прямоугольников – боковых граней, расположенных под прямым углом к основаниям призмы. |
Шестиугольная призма |
|
Составлена из двух равных шестиугольников в основаниях и шести прямоугольников – боковых граней, расположенных под прямым углом к основаниям призмы. |
Тела вращения — геометрические тела, которые представляют собой поверхность вращения.
Название |
Внешний вид |
Описание |
Цилиндр |
|
Составлен из двух кругов, не лежащих в одной плоскости, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. |
Конус |
|
Составлен из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. |
Шар\сфера |
|
Составлены из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара\сферы, а данное расстояние радиусом шара\сферы. |
II. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в окружающем мире
Стоит только внимательно осмотреться, и мы сразу обнаружим вокруг нас всевозможные пространственные геометрические фигуры. Оказывается, их очень много. Просто мы их раньше не замечали.
2.1. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в макромире
Многогранники в архитектуре. Архитектурные шедевры находятся в разных уголках земного шара. Людские желания воплощаются в форме необыкновенных зданий и сооружений (Приложение № 1).
Многогранники в искусстве. Леонардо да Винчи, Сальвадор Дали,
Альбрехт Дюрер, Мориц Корнилис Эшер - с работами этих мастеров можно ознакомиться в нашей работе (Приложении № 2).
Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки. Закономерен его интерес к таким прекрасным, высоко симметричным объектам, как выпуклые многогранники (Приложение № 2).
Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил многогранник (Приложение № 2).
Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972) создал уникальные и очаровательные работы (Приложение № 2).
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во многих его работах многогранники являются главной фигурой, и часто они встречаются в качестве вспомогательных элементов.
На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники полупрозрачные, и сквозь любой из них можно увидеть остальные (Приложение № 2).
Очень интересная работа Эшера - гравюра "Звезды" (Приложение № 2), на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, наверное, она не была бы столь исключительна. Но он по какой-то причине, поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, обеспечив ее незаурядность и уникальность.
На картине великого художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра. (Приложение № 2). Красота этой картины не требует комментариев.
2.2. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в микромире
В микромире многогранники встречаются в виде кристаллов, вирусов и бактерий - простейших организмов.
Кристаллы. Мир кристаллов - красивый, разнообразный, не менее загадочный, чем мир живой природы. В естественной среде правильные многогранники можно встретить в виде кристаллов (минералов).
Форму тетраэдра передает сернокислый натрий. (Приложение № 3).
Алмаз отчетливо передает форму октаэдра. (Приложение № 3)
Куб - монокристалл объединяет в себе кристаллы поваренной соли. (Приложение № 3).
Кристалл пирита имеет форму додекаэдра. Размеры кристаллов пирита достигают нескольких сантиметров. (Приложение № 3).
Бор – имеет форму икосаэдра (Приложение № 3).
Вирусы и бактерии. Исключительностью икосаэдра вирусы воспользовались не случайно. Тут все дело в экономии — экономии генетической информации. Вот так «решают» вирусы сложнейшую задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме, и притом, состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур.
Бактериофаги (греч. phagos — пожиратель; буквально — пожиратели бактерий) - бактериальные вирусы, вызывающие разрушение бактерий и других микроорганизмов также имеют форму икосаэдра (Приложение № 3).
Одноклеточные организмы. Икосаэдр точно передает форму одноклеточных организмов. Из многогранников именно он имеет наибольший объём и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму феодарии преодолевать давление воды (Приложение №3).
III. Изготовление коллекции объёмных геометрических фигур в виде развёрток
Раздел математики, который изучает фигуры в пространстве называется стереометрия. Существует мнение: изучение стереометрии затруднено тем, что многим людям мешает недостаточно развитое пространственное воображение.
На самом деле, это не совсем так, и способность представлять пространственные тела, мысленно перемещать их и трансформировать развита практически у любого человека, поскольку живет он в трехмерном пространстве.
Если поверхность многогранника разрезать по некоторым рёбрам, а затем развернуть её на плоскости, то получится фигура, которую называют развёрткой многогранника.
Изучая развертки и склеивая из них модели многогранников, у Вас появятся навыки преобразования плоских форм в объемные.
Затем развивается еще более тонкая способность – раскладывать объемные формы на простые плоские. То есть, увидев предмет в реальном мире, Вы можете создать его развертку из бумаги, и, склеив, получить модель-копию любого объемного предмета.
Процесс создания пространственных геометрических фигур из бумаги настолько нас увлек, что мы создали свою небольшую коллекцию.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, объёмные геометрические фигуры присутствуют в нашей жизни буквально во всём, и мы настолько к ним привыкли, что порой не замечаем этого. Благодаря этим фигурам в нашей жизни, и в искусстве, и в архитектуре и природе, нам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания гармонии и красоты.
Исследовательская работа была интересной и разнообразной, мы прикоснулись к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнали имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедились, что истоки математики – в природе, окружающей нас.
В рамках работы была изучена литература по теме, выявлены особенности и составные элементы пространственных геометрических фигур, изготовлены чертежи, развёртки, модели многогранников и составлена коллекция объёмных геометрических фигур в виде анимированной книги.
Цель нашей работы достигнута, ведь мы не только познакомились с очередным математическим разделом, но и увлеклись миром объемных геометрических фигур.
В будущем наша анимированная книга будет пополнятся новыми объёмными моделями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М: Аванта плюс, 2002.
2. Энциклопедия для детей. Я познаю мир. Математика. – М: Издательство АСТ, 1999.
3. Ворошилов А.В. Математика и искусство. - М. просвещение, 1992. – 352
4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 495
5. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М: Баласс,1988.
6. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М: Мирос 2024.
7. https://multiurok.ru/blog/mnoghoghrannikivprirodie.html?ysclid=m8ct49919r4008
8. https://zhurnalpedagog.ru/servisy/publik/publ?id=17620
9. https://mnogogranniki.ru/estestvennye-mnogogranniki-chast-2.html?ysclid=m8ct371w1d217119422
Приложение 1
Многогранники в архитектуре
Александрийский маяк Храм Артемиды Эфесской
Спасская башня Дворец мира и согласия» в Астане
Казанского Кремля
Гостиничные номера в Национальная библиотека в Минске
Краснодарском крае
Приложение 2
Многогранники в искусстве
Иллюстрации Леонардо да Винчи для книги
«Божественная пропорция»
Мауриц Корнелис Эшер
Альбрехт Дюрер гравюра «Меланхолия» картина "Четыре тела"
продолжение
Мауриц Корнелис Эшер гравюра "Звезды»
Сальвадор Дали «Тайная Вечеря»
Приложение 3
Кристаллы
Кристалл двууглекислого натрия Кристалл алмаза
Кристалл поваренной соли Кристалл пирита
Кристалл бора
Вирусы и бактерии
Бактериофаги
Вирус ветряной оспы
Морская Феодария
Скачано с www.znanio.ru
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.