Мир объёмных геометрических фигур

  • Исследовательские работы
  • doc
  • 06.06.2025
Публикация на сайте для учителей

Публикация педагогических разработок

Бесплатное участие. Свидетельство автора сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

творческий проект
Иконка файла материала мир объёмных геометрических фигур.doc

 Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Крутовская основная школа

Серафимовичского района

Волгоградской области

 

 

 

 

 

 

ИсследовательскИЙ ПрОЕКТ

«МИР ОБЪЁМНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР»

 

 

 

 

 

 

Выполнил проект:

ученик 6 класса

МКОУ Крутовской  ОШ,

Глазунов Аристарх Евгеньевич

 

 

Руководитель:

учитель математики и информатики

МКОУ Крутовской ОШ,

Урасова Наталья Николаевна

 

 

 

 

 

 

х. Крутовский

2024-2025 учебный год

 

 

 

Содержание:

 

Введение.

I. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры

1.1. Классификация пространственных (объёмных)

геометрических фигур

1.2. Составные элементы пространственных (объёмных) геометрических фигур

II. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в окружающем мире.

2.1. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в макромире.

2.2. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в микромире.

III. Изготовление коллекции моделей, изученных объёмных геометрических фигур в виде развёрток.

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Посмотрите вокруг - как разнообразен наш мир, какие разные предметы нас окружают. В нашем мире много необычного и прекрасного. Нас окружают предметы, формы которых нас удивляют. Таковыми, например, являются геометрические фигуры. Эти фигуры обладают и красотой, и совершенностью форм, и притягательностью.  

Наши дома, и египетские пирамиды, и кубики, которыми играют дети, и объекты архитектуры и дизайна, и предметы обихода состоят из знакомых нам геометрических фигур.

Они встречаются в природе в виде кристаллов, и в виде вирусов. Архитекторы, строители и дизайнеры воплощают свои оригинальные идеи, используя эти фигуры. И можно заметить, что все это – плоские и объемные геометрические фигуры.

Целью данной работы является изучение и описание части пространственных (объёмных) геометрических фигур, способы их определения и применения, а также сконструировать коллекцию, изученных пространственных фигур.

 

Задачи работы:

1.        Познакомиться с многообразием пространственных (объёмных) геометрических фигур.

2.        Изучить виды объёмных геометрических фигур.

3.        Показать связь полученной информации с окружающим миром.

4.        Изготовить коллекцию моделей, изученных пространственных геометрических фигур в виде развёрток.

 

Актуальность проекта:

В течение многих веков математики проявляли интерес к пространственным (объемным) геометрическим фигурам. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью.

Участвуя в данном проекте, попадаешь в удивительный мир этих фигур. Узнаешь много нового об их видах и свойствах.

Таким образом, объектом нашего исследования будут пространственные геометрические фигуры, окружающие нас. А предметом исследования станут многогранники и тела вращения.

Методы исследования:

- теоретический: библиографический анализ литературы и материалов сети Internet;

- эмпирический: анализ полученных данных и изготовление моделей многогранников.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры

 

Наш мир представляет собой трехмерное пространство, в котором

фигуры имеют объем. Объемные фигуры обладают дополнительными

свойствами по сравнению с плоскими. Эта работа поможет нам разобраться,

какими свойствами обладают объемные тела.

 

1.1. Классификация пространственных (объёмных)

геометрических фигур

По форме пространственные геометрические (объёмные) фигуры делятся

на многогранники и тела вращения.

         Многогранники можно условно разделить на:

1.     Правильные многогранники (Платоновы тела).

2.     Пирамиды.

3.     Призмы.

         А тела вращения делятся на:

                        1. Цилиндр.

                        2. Конус.

                        3. Шар и сфера.

         Оказывается, что правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше. (рис.1). Ведь для того, чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине, согласно его определению, должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.

 

рис.1

 

Пирамида — это многогранник, который формируется, когда несколько треугольников, сходящихся в одной точке (вершине), соединяются с многоугольником на плоскости (основанием). Эта уникальная структура делает пирамиду одним из наиболее интересных объектов в геометрии (рис. 2).

рис. 2

 

 

Призма — это многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Все рёбра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны между собой (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 


рис. 3

 

 

Цилиндр - это объёмная фигура, получена вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через центр прямоугольника. Цилиндр имеет два круга в основаниях и образующую (то, что соединяет основания) (рис. 4). 

Конус – это объёмная фигура получена путём вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов (рис. 4). 

Шар/сфера. Шар (заполненный внутри) — это геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой отстоят на равном расстоянии от центра. Сфера (пустая внутри) — поверхность, образованная вращением контура (рис. 4). 

(рис. 4)

 

Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Древнегреческий ученый Архимед обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники.

Нами были изучены только некоторые из них. Архимедовы тела получаются из Платоновых тел в результате их усечения.

Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр (рис. 5).

 

                            

 

рис. 5

 

 

 

 

1.2. Составные элементы пространственных (объёмных) геометрических фигур

Пространственные (объёмные) геометрические фигуры из части многогранников имеют три неотъемлемых компонента:

- грань (поверхность многоугольника),

- вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней),

- ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).

В стереометрии особое место занимают геометрические фигуры с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники.

Названия правильных многогранников пришли из Древней Греции, в них указывается число граней:

«эдра»

грань

«тетра»

4

«гекса»

6

«окта»

8

«икоса»

20

«додека»

12

 

 

Название

Внешний вид

Описание

Правильный

 тетраэдр

 

 

Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников.  

 

Правильный

октаэдр

Рисунок2

 

 

 

Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников.  

 

Правильный

 икосаэдр

 

 

Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.  

 

 

 

Куб(гексаэдр) 

 

Рисунок4

 

 

Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов.  

 

 

 

 

 

Правильный

додекаэдр

 

 

Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.  

 

 

 Боковые грани любой пирамиды представлены обязательно треугольниками, но в основании может быть как треугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании.

 

Название

Внешний вид

Описание

Четырехугольная пирамида

 

Составлена из четырехугольника (квадрата) в основании и четырех равнобедренных треугольников – боковых граней, сходящихся в вершине пирамиды.    

Пятиугольная пирамида

 

Составлена из пятиугольника (пентагона) в основании и пяти равнобедренных треугольников – боковых граней, сходящихся в вершине пирамиды.    

Шестиугольная пирамида

 

Составлена из шестиугольника (гексагона) в основании и шести равнобедренных треугольников – боковых граней, сходящихся в вершине пирамиды.    

 

Геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани в основании, лежащие в параллельных плоскостях, и различное число боковых граней в виде прямоугольников носит название призма. В свою очередь, призма имеет несколько разновидностей, в зависимости от вида многоугольников, лежащих в основаниях призмы.

Название

Внешний вид

Описание

Треугольная призма

 

       Picture background

 

 

Составлена из двух равных треугольников в основаниях и трех прямоугольников – боковых граней, расположенных под прямым углом к основаниям призмы.

Четырехугольная призма

(параллелепипед)

 

 Составлена из двух равных четырехугольников в основаниях и четырех прямоугольников – боковых граней, расположенных под прямым углом к основаниям призмы.

Пятиугольная призма

 

 

Составлена из двух равных пятиугольников в основаниях и пяти прямоугольников – боковых граней, расположенных под прямым углом к основаниям призмы.

Шестиугольная призма

 

 

Составлена из двух равных шестиугольников в основаниях и шести прямоугольников – боковых граней, расположенных под прямым углом к основаниям призмы.

 

Тела вращения — геометрические тела, которые представляют собой поверхность вращения.

Название

Внешний вид

Описание

 

 

 

Цилиндр

 

Составлен из двух кругов, не лежащих в одной плоскости, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Конус

 

Picture background

 

Составлен из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Шар\сфера

 

Picture background

 

Составлены из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара\сферы, а данное расстояние радиусом шара\сферы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в окружающем мире

 

Стоит только внимательно осмотреться, и мы сразу обнаружим вокруг нас всевозможные пространственные геометрические фигуры. Оказывается, их очень много. Просто мы их раньше не замечали.

 

2.1. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в макромире

Многогранники в архитектуре. Архитектурные шедевры находятся в разных уголках земного шара. Людские желания воплощаются в форме необыкновенных зданий и сооружений (Приложение № 1).

Многогранники в искусстве. Леонардо да Винчи, Сальвадор Дали,

Альбрехт Дюрер, Мориц Корнилис Эшер - с работами этих мастеров можно ознакомиться в нашей работе (Приложении № 2).

Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки. Закономерен его интерес к таким прекрасным, высоко симметричным объектам, как выпуклые многогранники (Приложение № 2).

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил многогранник (Приложение № 2).

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972) создал уникальные и очаровательные работы (Приложение № 2).

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во многих его работах многогранники являются главной фигурой, и часто они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники полупрозрачные, и сквозь любой из них можно увидеть остальные (Приложение № 2).

Очень интересная работа Эшера - гравюра "Звезды" (Приложение № 2), на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, наверное, она не была бы столь исключительна. Но он по какой-то причине, поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, обеспечив ее незаурядность и уникальность.

На картине великого художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного  додекаэдра. (Приложение № 2). Красота этой картины не требует комментариев.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Пространственные (объёмные) геометрические фигуры в микромире

  В микромире многогранники встречаются в виде кристаллов, вирусов и бактерий - простейших организмов.

Кристаллы. Мир кристаллов - красивый, разнообразный, не менее загадочный, чем мир живой природы. В естественной среде правильные многогранники можно встретить в виде кристаллов (минералов).

Форму тетраэдра передает  сернокислый натрий. (Приложение № 3).

 Алмаз отчетливо передает форму октаэдра. (Приложение № 3)

Куб - монокристалл объединяет в себе кристаллы поваренной соли. (Приложение № 3).

Кристалл пирита имеет форму додекаэдра. Размеры кристаллов пирита достигают нескольких сантиметров. (Приложение № 3).

Бор – имеет форму икосаэдра (Приложение № 3).

Вирусы и бактерии. Исключительностью икосаэдра вирусы воспользовались не случайно. Тут все дело в экономии — экономии генетической информации. Вот так «решают» вирусы сложнейшую задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме, и притом, состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур.  

Бактериофаги (греч. phagos — пожиратель; буквально — пожиратели бактерий) - бактериальные вирусы, вызывающие разрушение бактерий и других микроорганизмов также имеют форму икосаэдра (Приложение № 3).

Одноклеточные организмы. Икосаэдр точно передает форму одноклеточных организмов. Из многогранников именно он имеет наибольший объём и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму феодарии преодолевать давление воды (Приложение №3).

 

 

 

III. Изготовление коллекции объёмных геометрических фигур в виде развёрток

 

Раздел математики, который изучает фигуры в пространстве называется стереометрия. Существует мнение: изучение стереометрии затруднено тем, что многим людям мешает недостаточно развитое пространственное воображение.

На самом деле, это не совсем так, и способность представлять пространственные тела, мысленно перемещать их и трансформировать развита практически у любого человека, поскольку живет он в трехмерном пространстве.  

Если поверхность многогранника разрезать по некоторым рёбрам, а затем развернуть её на плоскости, то получится фигура, которую называют развёрткой многогранника.

Изучая развертки и склеивая из них модели многогранников, у Вас появятся навыки преобразования плоских форм в объемные.

Затем развивается еще более тонкая способность – раскладывать объемные формы на простые плоские. То есть, увидев предмет в реальном мире, Вы можете создать его развертку из бумаги, и, склеив, получить модель-копию любого объемного предмета.

Процесс создания пространственных геометрических фигур из бумаги настолько нас увлек, что мы создали свою небольшую коллекцию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, объёмные геометрические фигуры присутствуют в нашей жизни буквально во всём, и мы настолько к ним привыкли, что порой не замечаем этого. Благодаря этим фигурам в нашей жизни, и в искусстве, и в архитектуре и природе, нам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания гармонии и красоты.

Исследовательская работа была интересной и разнообразной, мы прикоснулись к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнали имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедились, что истоки математики – в природе, окружающей нас.

В рамках работы была изучена литература по теме, выявлены особенности и составные элементы пространственных геометрических фигур, изготовлены чертежи, развёртки, модели многогранников и составлена коллекция объёмных геометрических фигур в виде анимированной книги.  

Цель нашей работы достигнута, ведь мы не только познакомились с очередным математическим разделом, но и увлеклись миром объемных геометрических фигур.

В будущем наша анимированная книга будет пополнятся новыми объёмными моделями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М: Аванта плюс, 2002.

2. Энциклопедия для детей. Я познаю мир. Математика. – М: Издательство АСТ, 1999.

3. Ворошилов А.В. Математика и искусство. - М. просвещение, 1992. – 352

4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 495

5. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М: Баласс,1988.

6. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для VVI классов. – М: Мирос 2024.

7. https://multiurok.ru/blog/mnoghoghrannikivprirodie.html?ysclid=m8ct49919r4008

8.  https://zhurnalpedagog.ru/servisy/publik/publ?id=17620  

9.  https://mnogogranniki.ru/estestvennye-mnogogranniki-chast-2.html?ysclid=m8ct371w1d217119422

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

Многогранники в архитектуре

Picture background         

  Александрийский маяк                                                    Храм Артемиды Эфесской

 

Picture background            

        Спасская башня                                             Дворец мира и согласия» в Астане

     Казанского Кремля

  Picture background                          Picture background

     Гостиничные номера в                                   Национальная библиотека в Минске

        Краснодарском крае                 

                                                                                                                                         Приложение 2

                                                        Многогранники в искусстве

 

 

 

Picture background

Иллюстрации Леонардо да Винчи для книги

«Божественная пропорция»

 

 

 

 

Picture background

      Picture background

                     Мауриц Корнелис  Эшер  

Альбрехт Дюрер гравюра «Меланхолия»                             картина  "Четыре тела"

 

 

 

 

продолжение

 

Picture background

 

Мауриц Корнелис Эшер гравюра "Звезды»

 

 

Picture background

 

 Сальвадор Дали «Тайная Вечеря»

 

 

 

 

Приложение 3

Кристаллы

 

Picture background                  Picture background

            Кристалл двууглекислого натрия                                     Кристалл алмаза

Picture background                  Picture background

                      Кристалл поваренной соли                                        Кристалл пирита

 

Кристалл бора

                                                                  

Вирусы и бактерии

 

Picture background

 Бактериофаги

 

 

Picture background

Вирус ветряной оспы

Picture background

Морская Феодария


Скачано с www.znanio.ru