Подготовка к ЕГЭ по математике (профиль). Тип 4-5 "Теория вероятностей", часть 2

Тип 4-5 (часть 2)Теория вероятностей

1. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение
А = 0,3 – закончится кофе в первом автомате
В = 0,3 – закончится кофе во втором автомате
А ∙ В = 0,12 – кофе закончится в обоих автоматах
А + В = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48 – кофе закончится хотя бы в одном автомате
1 – 0,48 = 0,52 – кофе останется в обоих автоматах

2. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

3. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

4. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение
А = 0,02 ∙ 0,99 = 0,0198 – батарейка неисправна и она бракуется системой
В = (1 – 0,02) ∙ 0,01 = 0,98 ∙ 0,01 = 0,0098 – батарейка исправна и она бракуется системой
А и В несовместимые события
0,0198 + 0,0098 = 0,0296

5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того,
что система забракует неисправную батарейку, равна 0,93. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

6. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение
А = 0,1 ∙ 0,1 = 0,01 – оба автомата неисправны
1 – 0,01 = 0,99 – хотя бы один автомат исправен

7. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

8. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,09 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

9. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

Решение
А = 0,96– масса меньше 810 г
В = 0,93 – масса больше 790 г
Р(вес буханки меньше 790 г) = 1 – 0,93 = 0,07
Р(вес буханки больше 810 г) = 1 – 0,96 = 0,04
Р( вес буханки больше 790 г, но меньше 810 г) = 1 – 0,07 – 0,04 = 0,89

10. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение
А = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,512 – вероятность перегорания трёх ламп
В = 1 – 0,512 = 0,488 – вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит

11. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

12. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

13. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая — 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая — 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение
1 фабрика
70% = 0,7
Вероятность купить бракованное 1% = 0,01
Вероятность, что куплен брак 0,7 ∙ 0,01 = 0,007
2 фабрика
30% = 0,3
Вероятность купить бракованное 3% = 0,03
Вероятность, что куплен брак 0,3 ∙ 0,03 = 0,009
Р = 0,007 + 0,009 = 0,016

14. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая — 75%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая — 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

15. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая –– 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

16. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение
1 фабрика
25% = 0,25
Вероятность купить бракованное 4% = 0,04
Вероятность, что куплен брак 0,25 ∙ 0,04 = 0,01
2 фабрика
75% = 0,75
Вероятность купить бракованное 2% = 0,02
Вероятность, что куплен брак 0,75 ∙ 0,02 = 0,015
Р = 0,01 + 0,015 = 0,025

17. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35% этих стекол, вторая – 65%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

18. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства  — яйца высшей категории, а из второго хозяйства  — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение
1) Пусть х – вероятность того, что яйцо из 1 хозяйства.
(0,4х) – вероятность того, что яйца высшей категории из 1 хозяйства.
2) Тогда (1 – х) – вероятность того, что яйцо из 2 хозяйства.
0,2(1 – х) – вероятность того, что яйца высшей категории из 2 хозяйства.
3) По формуле полной вероятности составим и решим уравнение
0,4х + 0,2(1 – х) = 0,35
Х = 0,75

19. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 70% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 65% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

20. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

21. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение
Всего 10 револьверов
1) 4 револьвера пристреляны, 6 – не пристрелянные
0,4 – вероятность пристрелянных
1-0,4 = 0,6 – вероятность не пристрелянных
2) 0,9 – попадает из пристрелянного
1–0,9=0,1–не попадает из пристрелянного
3) 0,2 – попадает из не пристрелянного
1-0,2=0,8 – не попадает из не пристрелянного
4) Р = 0,4 ∙ 0,1 + 0,6 ∙ 0,8 = 0,52

22. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

23. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение
10% брак
0,1 – с браком, 0,9 – без брака
2) Выявляется 80% дефектных тарелок
0,8 ∙ 0,1 = 0,08
3) В продажу поступило
1-0,08 = 0,92 всех произведённых тарелок
Из них 0,9 – без брака
4) Р = 0,9 ÷ 0,92 = 0,98 – вероятность покупки тарелки без брака

24.На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефекта. Ответ округлите до сотых.

25. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 75% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефекта. Ответ округлите до сотых.