Подготовка к ЕГЭ по математике (профиль). Тип 4-5 "Теория вероятностей", часть 5

Тип 4-5 (часть 5)Теория вероятностей

1. Стрелок при каждом выстреле поражает мишень с вероятностью 0,3, независимо от результатов предыдущих выстрелов. Какова вероятность того, что он поразит мишень, сделав не более 3 выстрелов?

Решение
Р = 1 – 0,3 = 0,7 – вероятность промаха
0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 = 0,343 – промахнётся при трёх выстрелах
1 – 0,343 = 0,657 – вероятность, что стрелок поразит мишень

2. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение
Р = 0,3– занят первый
Р = 0,3– занят второй
Р = 0,3– занят третий
Р(А) = 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 = 0,027 – вероятность того, что все три продавца заняты

3. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение
m = 5 – благоприятные исходы (всего 5 чётных цифр)
n = 10 – все исходы
Р = 0,5

4. Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

Решение
m = 3 – благоприятные исходы (кол-во чисел, кратных 3)
n = 10 – все исходы
Р = 0,3

5. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет больше 2, но меньше 7?

Решение
m = 4 – благоприятные исходы (всего цифр, которые больше 2, но меньше 7)
n = 10 – все исходы
Р = 0,4

6. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет 4?

Решение
m = 1 – благоприятные исходы (кол-во 4)
n = 10 – все исходы
Р = 0,1

7. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение
m = 4 – благоприятные исходы (кол-во карточек с номером 2)
n = 16 – все исходы
Р = 0,25

8. В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в четвёртой группе?

Решение
m = 4 – благоприятные исходы (кол-во карточек с номером 4)
n = 20 – все исходы
Р = 0,2

9. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение
1 – 0,8 = 0,2 – первый магазин не доставит товар
1 – 0,9 = 0,1 – второй магазин не доставит товар
0,2 ∙ 0,1 = 0,02 – ни один магазин не доставит товар

10. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение
Всего монет 6 (5; 5; 10; 10; 10; 10)
2) Рассмотрим все случаи, чтобы пятирублёвые монеты лежали в разных карманах:
а) 5; 10; 10
б) 10; 5; 10
в) 10; 10; 5
2 6 2 2 6 6 2 6 ∙ 4 5 4 4 5 5 4 5 ∙ 3 4 3 3 4 4 3 4 + 4 6 4 4 6 6 4 6 ∙ 2 5 2 2 5 5 2 5 ∙ 3 4 3 3 4 4 3 4 + 4 6 4 4 6 6 4 6 ∙ 3 5 3 3 5 5 3 5 ∙ 2 4 2 2 4 4 2 4 = 0,6

11. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Решение
Всего монет 6 (1; 1; 1; 1; 2; 2)
Существует 2 варианта:
А – Петя возьмёт три рублёвых и тогда в первом кармане останутся две двухрублёвые Р(А) = 4 6 4 4 6 6 4 6 ∙ 3 5 3 3 5 5 3 5 ∙ 2 4 2 2 4 4 2 4 = 0,2
В – Петя среди трёх монет возьмёт обе двухрублёвые
Рассмотрим все случаи, в каком порядке это может происходить
а) 1; 2; 2
б) 2; 2; 1
в) 2; 1; 2
4 6 4 4 6 6 4 6 ∙ 2 5 2 2 5 5 2 5 ∙ 1 4 1 1 4 4 1 4 + 2 6 2 2 6 6 2 6 ∙ 1 5 1 1 5 5 1 5 ∙ 4 4 4 4 4 4 4 4 + 2 6 2 2 6 6 2 6 ∙ 4 5 4 4 5 5 4 5 ∙ 1 4 1 1 4 4 1 4 = 0,2
3) Р = Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,2 = 0,4

12. В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение
1) Всего фломастеров 25 (8с; 6к; 11з)
2) Рассмотрим 2 случая: СК или КС
8 25 8 8 25 25 8 25 ∙ 6 24 6 6 24 24 6 24 + 6 25 6 6 25 25 6 25 ∙ 8 24 8 8 24 24 8 24 = 0,16

13. В коробке 9 синих, 4 красных и 12 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

14. В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?