Пример 1

Решите уравнение 2cos² x 21cos x 100.

Решение:

2cos² x 21cos x 100                                                          

Пусть cos x t, где 1t 1,тогда                                      

2t² 21t 100                                                                       

               1                                                                                

t₁   ; t₂  10 не удовлетворяет условию1t 1 2

Вернемся к замене                                                               

                         1                                                                          

cos x 

2

x   2^  2k,k Z                                                       

3

Ответ: 2^  2k,k Z.                                                

3

Пример 2

Решите уравнение cos2x 3sinx 20.

Решение:

cos2x 3sinx 20 

12sin² x 3sinx 20 cos2x 12sin² x

2sin² x 3sinx 10 

2sin² x 3sinx 10 

Пусть sin x t, где 1t 1,тогда 

2t² 3t 10 

1

t₁ 1; t₂ 

2

Вернемся к замене 

1

sinx 1         или        sinx 

2

^x ^

x ^  2k,k Z     _  6  2n,nZ,  

            2                   ^x  ^5  2m,mZ

                                                       6

                        ^{                     }                     5^

Ответ:   2k,k Z;  2n,nZ,  2m,mZ.

                         2                      6                      6

3

                                                           ²                       2

sin x sin x 0.

2 Решение:

²         2Вынесемзаскобкиобщий множительsin x. sin x       sin x 0

2Делить наsin xнельзя!   2Будут потеряны корни. sin x_sin x  2 _0  

2Произведение равнонулю,

sin x 0 или sin x 0

                                                                             2если хотябыодинизмножителей                      

равеннулю, а другойприэтомопределен.

^x ^  2n,nZ,

x k,k Z          4

^x  ^3  2m,mZ

                                      4

Ответ:k,kZ;^2n,nZ;2m,mZ.

                                                 4                      4

Пример 4

Решите уравнение 3sin2xtgx 4cos² x 7sinx 1.

Решение:

ОДЗ:cos x 0

3sin2xtgx 4cos² x 7sinx 1                                                                  

x  k,kZ

2 sin2x 2sin xcos x

                                       sin x            ₂

32sin xcos x    4cos x  7sin x 1 sin x cos x   tg x 

cos x

6sin² x  4cos² x  7sinx 1 

6sin² x 41 sin² x7sin x 1 cos² x 1 sin² x

6sin² x 44sin² x 7sinx 1 

2sin² x 7sinx 30 

Пусть sin x t, где 1t 1,тогда 

2t² 7t 30 

1 t₁  ; t₂ 3не удовлетворяет условию1t 1 2

Вернемся к замене  sin x  

x ^  2k,k Z илиx  ^5  2n,nZ 

           6                                6

Ответ:^  2k,k Z, ^5  2n,nZ.

                          6                      6

Пример 5

Решите уравнение 1 cos x sin^^  x^  0.

 2 2_

Решение:

1 cos x sin^_^  ^x_  0 По формулам приведения

 2 2^{ x} cos ^x cos xcos x; sin_  _    

                                                                                                     x 2                                           2         2

1 cos x  cos 0

2

² x        x² x 2cos  cos 0      1 cos x 2cos    

2       22 cos x^_2cos ^x 1^_  0         Вынесем за скобкиcos x.

          2                                                2 2

           x                                             xПроизведение равнонулю,

cos 0 или 2cos 10 2 2если хотя бы одинизмножителей

равен нулю, а другой при этом определен. x    x 1 cos 0 cos 

           2                                2 2

x  x   k,k Z    2n,nZ

2 2                             2       3

2^ x  2k,k Z    x         4n,nZ

3

2^ Ответ: 2k,k Z;        4n,nZ.

3

6

cos² x  cos x

  0.

sin x

Решение:

cos² x  cos x

  0

sin x

cos² x  cos x 0,

                          

_sin x 0

Дробь равна нулю,

если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит, уравнение равносильно системе.

cos xcos x 1 0,

                                              Вынесем за скобкиcos x.

_sin x  0

Произведение равнонулю,

cos x 0 или cos x 10,если хотя бы одинизмножителей

                                                             , а другой при этом                           

_sinx 0равен нулю

определен.

^x ^k,k Z;x  2n,nZ,

      2                                               

_x m,mZ

x ^k,kZ 

2

Ответ:^k,kZ. 2

Пример 7

1

Решите уравнение ctg x  ctg x  . sin x

Решение:

                                           1                                        ОДЗ :sin x  0

ctg x  ctg x   sin xx k,k Z

^ctg x  ctg x _ ^{sin1 x} ,если ctg x  0 Раскроемa,еслимодульa  0 по определению.

^ctg x  ctg x  sin¹ x ,если ctg x  0  ^{a } _^ a,если a  0

^sin1 x  0,если ctg x  0  решений нет

^2ctg x  ¹ ,если ctg x  0

          sin x

Т.к. первое уравнение совокупности решений не имеет, то

совокупность равносильна

второму уравнению.

1

2ctg x  ,если ctg x  0 

sin x

2cos x       1

                           ,если ctg x  0 

sin x       sin x

Дроби равны, знаменатели дробей

2cos x 1,если ctg x 0 

равны, значит, равны и числители.

x  ^  2k,k Z,если ctg x  0 

3

x  ^  2k,k Z Учтем,что ctg x 0

3

Ответ: ^  2k,k Z. 3

Пример 8

Решите уравнение tg xtg2x1.

Решение:

cos x  0,    ^x ^2 k,k Z



tg xtg2x1 ОДЗ :_                                                                                 

                                                                                                                    cos2x 0     _x _^ _n ,n_Z

                                                                                                                                                             ^       4 2

2tg x2tg x

tg x        ₂                                                       1 tg 2x                             ₂

1 tg x1 tg x

2tg² x 1 tg²x,1 tg²x 0 

3tg² x 1,1 tg²x  0 

                         3          ²

tg x ,1tg x 0 

3

x  ^ k,k Z 

6

Ответ: ^ k,k Z.

6

9

ctg^_^cos2x_^_  3.

                                                            3             

Решение:

ctg^_^cos2x_^_  3             ОДЗ:sin^_^cos2x_^_  0

         3                                       3                                      



Пусть   cos2x t, тогда 

ctgt  

t ^ k,k Z Удовлетворяет ОДЗ.

6

Вернемся к замене 

               

cos2x k,k Z                      

3                   6

cos2x3k,kZ                          Учтем,что 1 cos2x1

cos2x                                         

2x  ^  2n,nZ                           

3

x    n,nZ                                       

Ответ:    n,nZ.