Подготовка к ЕГЭ. Решение неравенств

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ Задание 15 Аннотация Данное пособие содержит подробный разбор решения различных видов неравенств (рациональные, показательные и логарифмические). Первая часть пособия «Решение рациональных неравенств (метод интервалов)» будет полезна для изучения и учащимся 9-х классов. Александра Шапошникова alex311822961@gmail.com Решение рациональных неравенств (метод интервалов) План решения  1. Найти ОДЗ 2. Найти нули функции 3. Отметить нули функции  f(x)  на каждом полученном промежутке, на которые  разбивается ОДЗ 4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства Замечания  Метод интервалов используется тогда и только тогда, когда многочлен или дробное  выражение сравнивается с нулём.  Дробное неравенство – это НЕ ПРОПОРЦИЯ, поэтому отбрасывать знаменатель  нельзя.  Во вторую очередь раскладывают на множители многочлен или числитель и  знаменатель дробного выражения.  Знак неравенства «нестрогий», значит, на числовой прямой корни многочлена или  числителя – «закрашенные кружки».  Корни знаменателя для «строгих» или «нестрогих» неравенств – «пустые» кружки.  Надо штриховать промежутки. Штриховка соответствует знаку неравенства.  При записи ответа внимательно отнеситесь к закрашенным точкам числовой прямой. Это решения неравенства. ПРИМЕР: Решите неравенство:  . 2  x 2  1  x 3 2  x 2  1  x 3  0 2 x x (     6 2  2)( 3) x  x 0  x 2)( 8 x  3)  0 ( x  Пусть  ( ) f x   x 2)( 8 x  3) ( x  1 1. D( f ):  ( x  2)( x  3) 0    x    x 2 0, 3 0. ; x x   2,  3. 2. Нули функции f(x) = 0:   x 2)( 8 x  3) ( x  , если  x   8 0  0                                                                                       8x  f   ( 3)    3 8     3 2   3 3  ( )    ( ) ( )  0 3. ; 2)   (  ( 2;3) (3;8) (8; ) f (0)    0 2 0 3   0 8    5 8     5 2 5 3     (5)   f f (9)     ( )    ( ) ( )  0  ( )    ( ) ( )  0  9 8     9 2 9 3     ( )    ( ) ( )  0 Ответ   U ; 2 :    3;8  Канонический вид неравенства – это произведение различных двучленов и «не  раскладываемых» многочленов, в которых старший коэффициент положительный. Замечание  Если неравенство приведено к каноническому виду, то на крайнем правом  промежутке знак «+». ПРИМЕР: 1. Решите неравенство:   x x  4   x 2 3  x x    1 x 0 .  4   0  Ответ  : 1;0  U  4;  2   4 0  3   4 2 x  3 x  x x 2 1  x x 1 2  4 x 1   1 x 2      2. Решите неравенство:  . 12 2 x   x x  0 2 x 12   x x  0  x  4   x x  3   0 2    x x 12 0   1 x x 2 1    x x 12 1 2  x 4 1   3 x 2  Ответ  : 3;0  U  4;   Замечание  Если «не раскладываемый» многочлен положительный при всех значениях  переменных, то его опускают в неравенстве.  ПРИМЕР: Решите неравенство:      4 7 x     x 3  x x 2  2   2 .  0 Так как для любого х, то  2 0 x   2    4 7 x     x 3  2 0  x     4 x  7    x 3 7 x  2  x x  3  4  7    x 2   0  0 Ответ :    ; 2 U  4 7 ;   Замечания  Если корни нечётной кратности, то знаки на промежутках чередуются при переходе через корень. 3               Если корни чётной кратности, то знаки на промежутках сохраняются при переходе  через корень. ПРИМЕР: Решите неравенство:   5   3 x  6  0 x 5  2  3  x  .  5   0 x  6 5  3 x    2  x  3 Ответ :   U   3;   5; 3 2 3 Замечания  В дробном неравенстве «совпадающие» множители в числителе и знаменателе  переносятся в знаменатель. 2    x 2 x 3 0    x x 2 2 1    x x 3 2 1   3 x 1  1 x 2 ПРИМЕР: Решите неравенство:     x x     3   1 x x   2 x    1   1 .  0   x 2 2 x    16  9 x x    4  3  0  x 2 x  2 x x    3   1   4   3   x x     4   1 x x    4   3  0 x  3 2   x  2  1 Ответ   ; 4 :   U    1;1 U  1;3  U  4;   1. Решите неравенство:  x  2 5 4 x   2 x  x . x 6  9   x 1 5  10 x 15 5  5 x 4           x   24 5 x x     x 3 2   x  9  x 5( 3)  5 x x 5(   1 2)  0 2    6 0 x x   1 x x 1 2    x x 6 1 2  3 x 1   x 2 2   3 3  x 2 x  3 x       x x   2 2 x x x   x   2 2 2 3 2 x x x 3 x   3   3 x    2 3    1       1 1 x     x 1   3 0   3    2 x    1 3    1 3    2 x 1    1  2 3 x x      9 4 1 3 0 D x  x   3 3 x 2 3 5 x  2 5 x  30 x  20 2 x 5   x  9 x 25 x     x 3   18 5  2 2 x  15 x    x 3 0 x x x   3  22 x    3 x    1   x x   3 2   3 2   0  3  x  x 3   2  0 для любого х, то Так как  x x 2 3   3 0  x   3 1 x  2   x   0 Ответ   U ; 2 :    1;3  2. Решите неравенство:   2 x  3   x    4 4  2 x 2   x   5 3 2 x  . 4 x   1  0   4  x    2 x  3 2 x  3 x  x x  4     4 4  2 x       4  2 x x  1 ( x 2   2 2     4 x x     5 3 2 x     4 x 4 x     3 x 5 2   x   x 3  2 2)  5 x 2 2  4 x  4 x   1  1  0  0   1 2 x   1  0   4 0 x  3   4 2  3 x  x x 1 2  x x 1 2  x 4 1   x 2 1 2 x  4 x   4 ( x  2 2) 5      Так как   и  x   2 1 0 x  4   x  2   x 2) 1 (  1,5 x x   2 5 0    1  x x для любого х, то    1  0         x  4   x   2 1 (  x  x 1,5 2 2)  x   1  0   Ответ  1 : U  1;1,5  U   2 U  4;   3. Решите неравенство:  .  2  5 x x   3 2  2   9 30 x 25   x 14 9 x x 2  2  2 2  x 5 x   3 2 5 x x   3 2 5 x x   3 2    2   9 30 x 25   14 9 x x x 2  0 2   9 25 x 2 x  5 x  2 x      30 x  14 x   3 x 7 2 9  0  0  5 x  x   5 x  2 2 3 2     3   2 2 x    x 7   7 x     x 7    2 x   x   5  7  5 x  2 2   3 x 7   0     2 x  3  0 5 x   3  x    x x    7 1   7  0 x 23   5    2 x   x x   7 8    0 Ответ   : 0,6 U  2;7  U  8;   6 2 25 x  30 x   9  5 x  3  2   14 0  9  14 2  9 x x  x x 1 2  x x 2 1  x 7  2 x     4. Решите неравенство:  . 2 2 x x   3 3 x x   2 2  2 x 16   3 x  2 3 x x  0 Пусть  x t t  t t  2  0 , t t R  2 3   x  16 t t   2  2  2  2     t   t t t . Тогда,  16   0 2 t  2 t 2   18 t t    t t 2  32  0 22 t   t t  16 t   2 32  0 t  2 8 t   t t  2 16   0   24  t    t t 2  0   t 2,   t 0. Вернёмся к переменной х  ;   2 2 x x   3 3 x x   2,  0. 2 2 x x   3 3 x x   2 0,  0.  ;     x  x x   1  3  x    2 0.  0, x   2 0  3  2 2  3 x  x x 1 2  x x 2 1  x 1 1  2 x 2 Ответ  : ;0   U  1;2  U  3;   Показательные неравенства 7            1. Решите неравенство:   22 Пусть  3 2 t    1 0 4 t .   1 0 3 2 2  x 2   1  2 4 x 2 2  2  1 . Тогда, , t t  0 2    x 1 2  t  3 4 t 2 t  0 t  3   t    1 t 2  0  t 0   t 0,   t 3. 1, 2 t t 1 t 1 t 1 t 2 2    4 t 3 0   t 4   3 t 2  1  3 Вернёмся к переменной х: 2 x   1 0 22 0 2 1) 2 x  2 2 2 1 2   2 0 x   2 2 0 x    2  x    ; x x 2 U     2  0 2;   2) 2 2  x 2 2  x 2 2   1 0,   1 1. 8        2 2  x 2 2  x 2 2   0 2 , 2. 2 1 2 2   2 2 x x   0, 1. x 2 2 x x     2 0,   1 0.   x    x 1 U 2   1   2; 1      x x  0, 2  0. 1; 2  3) 2 x   1 3 22 2 2 2 x  2 2 2 1 x 2 2  2 x  2 0 0 x  2 x  0 Ответ :    ;  U  2   2; 1 U   0 U 1; 2  U  2;   2. Решите неравенство:  . x 10   25 2  x 5 x x x   2 5  2 4   50 0  x 2 5 x  x 2 5 x   25 2  x 2 5 x   2 5  4 5 x  x  4 2  x 2 5 2    x    2 5     x x 1 2 x  5    x 2 5  4    2 25 0 x  2 5   0  0 9   x 4 0  5  4 2  5 x  x x 1 2  x x 2 1  x 1 1  4 x 2                           Решим неравенство методом интервалов.  Пусть  1. D(f):  ( x  4) 0   1)( x ; x x   1 0,   4 0. x x   1, 4. 2. Нули функции f(x) = 0:   5  x 2    5    x 1 , если   x 5  2 5   x 2  2   0    x 2  x  4 2   0   ;     ;     2 5 , 2. x x   2, 1. x x 5 2  f (0)  0 2   5  0 1 0 4 2      0 5   2        ( )    ( ) ( )  0 5 2 x x 2   5 0,   2 0. 3. (  ;1) (1;2) f  (1,5) (2;4) (4; )        1,5 2  2 5    1,5 5 2    1,5 1 1,5 4      (3) 3 5   3 2 2    5 2   3 1 3 4       5  5 1 5 4 2  5 5  2 5 f (5)  f  0      ( )    ( ) ( )        ( )    ( ) ( )  0  2        ( )    ( ) ( )  0 Ответ  : 2;4  3. Решите неравенство:  x 25  x 5  x 5 2  26 1 x 25  x   7 5  x 5 7  1   2 5 x  24 .  x 5 2  2   x 5 5  x 5 1  26   x 5 2  5 x   7 5  x 7  1   2 5 x  24 10                Пусть  x 5  , t t  1 и  t  7 . Тогда,  2 t   25 t  1 t 26 2 t  2 t     t 24 2 25  1 t  t  t 1 7   t 7  2 t  24  1 2  7 t  7  t  2 t  24 t  24  2  1 t   t 1  7 t  2 t  24  1  0 0 2   t 2 2 t  t  t  t 1 t 7 0   1       1 7 t      t t 7 1    t 1   t 7 t   14    1  15 3 t     1 t  t   1 5  t   0  0 7  7   t 1,    5 t 7. Вернёмся к переменной х 1)     x  0 5 5 5 1 0x  2) x x 5 5   5, 7. ; x x 5 5   5, 7. ; x x 5 5   5, log 7 5 . 5 5 1 11 24 0   25 24 2 t t 1 t 1 t 1 t 2 2  25 t   t   t 2  24  1 a b logb a  1 log 5 5  log 5 log 7 5 5                 x x   1, log 7. 5 1 x  log 7 5 Ответ  U ;0 :    1;log 7 5  4. Решите неравенство:  . x 125  x 25   4 25 x 5 x   20 5  4  x 5 3    x 5 2     4 5 5 x x  2   20 5   4 0 Пусть  . Тогда,  Корни многочлена  будем искать  3 t  26 t  9 t  4 3 t 2   t 2 t 4 t  20  5   4 0 среди делителей свободного  коэффициента  . Это 4  . Так как при  1t  3 t  t  5  2  t  t   5 t  4 t  5 2  20 4   t  5   0  1;   2;  4   4 t 3  5 t 3   t 2 5 t t   4 t 5 2  20 4 t   20  0 , то 1 –  2 6 1       9 1 4 0 3 1 корень многочлена. Значит,  4 t 3  6 t t 2  4 t  0   9 t 5  t t 3   t t   t t  2 26 t  t   1 t   t 1 t t  9 t  4   5  0  4 5 t   5  0 t  4   0    1  5  t t   4   21  t  t 5  0 12 2 t t 1 t 1 t 1 t 2 2    4 0 5 t   5 t   4 t 2  4  1     t 0,   1, t   4 t 5. logb a a b  1 log 5 5 Вернёмся к переменной х ; x x  0, 5  5 1,  x 4 5  5.   ,  0, x  log 4 5 5 x 5  5. ;  ,  0, x log 4 5   x 1. Ответ   : 0 U   log 4;1 5 5. Решите неравенство:  x 2  x 2 3  x 2 x 2   1 2  5   5 2 x x 4  0  6 . Пусть  . Тогда,  2 t t 1 t 1 t 1 t 2 2    5 t 6 0   5 t   6 t 2  2  3  0  0 2  5  0 0 2  6 3  5  5 t 5     t    t 3 1   2 t    3 5  2 t   t    1 t  2 t  1 t  2 t     2     t   2 t     t  2   2 t 3 t 3 2  0 t t  t   t t t 3 3  2 t 22 t  t  2 t  t  4 t   3 t  2 2 t t    3 t t    1  2   0 13 logb a b a  1 log 5 5                   21  t    t 3 2   t  0  t 2 1,   t 3. Вернёмся к переменной х ; x  2 1,  x 2 2  3. x  0,  x 2 2  2 log 3 . 2 ;  0, x    1 x log 3. 2 Ответ   : 0 U  1;log 3 2  6. Решите неравенство:  x  1 9  1 x 3  81  2 x   2 81 x  0 .  x   1   81 3 x  1 2 x  1  3 2  81 x 2 3  2 3  x   1   81 3 x  1 x  1 3  x  1 3   81  x  0  2  0  x     2 2 x x  1  3  81 x x  1 3   81  0  x  1 3  2 x   x  1 3   81  0 Так как   x 3   1 2 x  0 для любого х, то  x  13 81 0  3 x  1 4 3 3 1 x   1 4 5x  Ответ  : 5;   14           7. Решите неравенство:   6 13 x  15 x 2  1  4 x 5 .  1  6 13 x  15 x 2 4 x 5  1   0 4 x 5  1  2)  4 x 5  6 13   1 1, x  15 x 2  0.  0, 2  13 x   6 0. 2 15 D x  x 1  x 2  2 15 x  15 6 0     169 360 529  13 23 6 5   13 x   30   13 23 30 x 13 6  5   x x  1  3  1 3   6 Рассмотрим два случая: 1)  0  4 x 5  6 13 x    1 4 x 5  15 13     x x 2 5 4   1 1,  15 x 2  0.  0, x   6 0. 0, x  6  5 x  1  3  0. 4 x 5 15 x x  0, 6  5 x  x   ;  5 4 6 5 x  0; 1 3 Ответ  :  5 4 ;  6 5 U 0; 1 3 x  1  3  0. 15                                                                                              Логарифмические неравенства 1. Решите неравенство:  .  log 5 2  x   log 1  1 8x   6 16 x    lg 5 lg 2  lg 1 8  lg  x  1   6 x    lg 5 lg 2   6  3lg 2    lg x 1     x 3lg 5   1 x lg    6 : ( 3)  lg 5  x lg    x  1  2 log x  1 log x  1   5  x 5  x    2  log x  1  x   2 1 Рассмотрим два случая: 1)  0 5    1 1, x     x x  2 1 .    1 x   x 5 x 0,  2 2 x  1.    x 1 2 3 x x  0,   4 0.    x 1    x 4  0,    1 x 0.  x   1;0 log a b  log log c c b a log log c c b a  log a b m m   log a a  log a m a 2    4 0 3 x x    3 x x 1 2   4 x x 2 1   x 4 1  1 x 2 2)  x 5 5   1 1,    x x   0. x x 5 5  0,   x   x 2 x 0.   2 1 ,  2 x  1, x x x  0,  2 3  5.  0, x   x 4  x 5. x   4 0,   x    1 0,  Ответ  : 1;0  U  1;5  x  1;5 17                                     2. Решите неравенство:  log x x  1  3  log 2 x  3 x  1  3 . lg x  lg x lg x  1  3 1  3 lg x  1  3 lg lg x  lg 2 x 1  3  3   0  lg 2 x   3 lg x lg x  lg 2 x  3 1   3  lg x  0 log a b  log log c c b a x   3 lg x lg 2    lg 2 x x  3   0 Решим неравенство методом интервалов.  Пусть  x   3 lg x   1  3 lg lg 2    lg 2 x x  3 lg x ( ) f x  1. ( D f ) : x 0,   1 3   x 2 3 0,  0, x  0, lg x   x lg 2 3 0. 1 3 3 2 ; x   x   ; x   x   , , ; x   x   , , ; , , x   x   ; x  0,    x  1. , , 1 3 3 2 1 3 3 2 1 3 3 2  0, x  lg lg1, x   x 3 lg 2 x x lg1.  0,  1,   2 x 3 1. x x 2  0,  1,   x 3 1. x x x  0,  1,   1. 2. Нули функции  : f x  ( ) 0 lg x  1  3 lg lg 2    lg 2 x x   3 lg x x  3 , если    0 lg x  1  3   lg 2 x   3 lg x   0 18                                                                                                              ; lg x ; lg1, x   1  3   3 x x  0. lg 2 lg . x 2 ; x  , 2 3   3 ; x  , 2 3  2 . x 2 x 2 x . 2 x x   3 0. ;   1, 1 3   x 3 lg x lg 2  0,  1  3   3 lg x ,  2 3  3,   1. x x x )D f (   1 3. 0; 2  3 2 3 ;1  (1;3) (3; ) f 1   3  f 5   6  lg  1 1  3 3  lg 2 lg 1 3  lg 2 lg 5 6  1  3  lg 2 lg 5 6  lg 2 1  3 1    3 lg 3 1   3 3 5  6 5    3 lg 6 5   3 6       ( )    ( ) ( )  0       ( )    ( ) ( )  0 lg 2  f (2) lg 11 f (11)  lg 2 2 3 lg 2     1  3   lg 2 lg 2 2 3           ( )    ( ) ( )  lg 2 11 3 lg11     1  3   lg11 lg 2 11 3     0       ( )    ( ) ( )  0 Сложность определения знаков полученной функции можно (нужно) проиллюстрировать: Например:  lg lg  2 3 1 3 lg1 0  lg 2 1 3  lg 11 1   3 3 :  lg 33 1    3 lg 3  lg1 0  lg 33 11 3 lg  lg1 0  19                                                                                           Ответ  : ;1 U   3;   2 3 3. Решите неравенство:   log 2 7 2 x  12   log 7  2 x   x 12   log 7 2  . 1  x ОДЗ:  2   1 x x 0 ; ;   x R ,  x R ,  2 x 1 x  0. x 2 2 x 2  12 0,  12 0,    x 1 x   2 0.  0 x  1 2 x  x x  0, 1 2 . 2 2 x 2  x 12    x 12  log 7 2  x x 1  log 7 7 1 2 x D    x 12 0    1 48 0 log a b  log где a    bи c 0     0, a   log a b c , c a  0 1, 2  1  x x  x x 1  0 2  12 x   12 x  2 x 12   12 x  2 x 2 12 2 2 x 2 2 x  x 2      x x 2 2   x x   x 12 2 2 3   2 x x    2 x x x   12 2  24 12 x   x   1  0 3 2 x  12 x  2 x   x 12  0 2 3 x  x x   13 12 x    2 12 x  0 Так как  2 x x  12 0  для любого х, то  20                                    x  3  x   4  3 x  0 С учётом ОДЗ получим: 2 x 3 D x 1 x 2 3 x  3 3  12 0 25      x 13    169 144  13 5 4 3 6  13 5 6 x 13 4  3 12  x  x   3  2    Ответ  : 1 4 2 3 ; U  3;   4. Решите неравенство:  log 5  x  2 2   log 1 2 2 x  4log 5  x  2   4log 2     4 0 x  . ; ОДЗ:  2 0,   x    x 0. x x   2,  0. 2log 5 x   2 2log 1 2 ;    2 0x x  4log 5  x  2   4log 2     4 0 x  4log 5 x   2 log log 5 x   2 log 1 2 1 2 x x  4log 5  x  2   4log 2     4 0 x   log 5  x  2   log 2      x 1 0 На ОДЗ мы можем раскрыть модули 21 log b a   где a 0, b  b , a n 2  2 log n   0, 1, a  n Z                   