Комбинаторика (комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются: Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества. Перестановкой из n элементов (например чисел 1, 2, … n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n. Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел. Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел. В данной методической работе приведены примеры по решению комбинаторных задач.Комбинаторика (комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются: Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества. Перестановкой из n элементов (например чисел 1, 2, … n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n. Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел. Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел. В данной методической работе приведены примеры по решению комбинаторных задач.

ПОДГОТОВКА К ТИА:

РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

Сочетания

Задача. Сколькими способам можно вывезти со склаДа 10 ящиков на двух автомашинах, если на ка:усДую автомашину грузят по 5 ящиков?

Решение.

По схеме получаем: п = 1 0,1' = 5 , порядок не важен, повторений нет.

Нужна формула: Сочетания С:

Выбрать 5 ящиков, которые будут погружены на первую машину, из 10 ящиков,

Ш! 6-7-8-9.lO можно= 252 способами (сочетания из 10 объектов по 5).

1-2-3-4-5

Тогда остальные 5 ящиков автоматически погружаем и везем во второй машине.

Итого получаем = 252 способа.

Ответ: 252.

Сочетания с повторениями

Задача. В почтовом опп)елении проДаются открытки 10 видов. способами мо.)јсно купить 12 открыток для позДраюений?

Решение.

По схеме получаем: п = 1 0,1' = 12 , порядок не важен, покгорения есть. (n+r-l)!

Нужна формула: Сочетания с повторениями = с^г

СКОЛЬКИМИ

Число способов купить 12 открыток равно числу выборок 12 (т) элементов (видов открыток) без учета порядка с повторениями.

из 10 (п)

13-5-17-2-19-7

= 293930.

Ответ. 293930.

Размещения

Задача. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. ОпреДелить число вариантов расписания при выборе из 11 Дисциплин.

Решение.

По схеме получаем: п = 1 1,1' = 5 , порядок важен (уроки идут по порядку), повторений нет.

Нужна формула: Размещения Щ =

Будем считать, что уроки в течение дня не повторяются. Тогда количество вариантов расписания при выборе из 1 дисциплин определим по формуле размещений

(11-5)! - 6! вариантов.

Ответ: 55440.

Размещения с повторениями

Задача. Шифр сейфа состоит только из 6 цифр, которые ()о.гуспы набираться послеДокате_тьпо и могут повторяться. Чему к этом случае ракпо общее чист всех «олиоэкиы.к комбинаций шифра?

Решение.

По схеме получаем: п = 10, r б , порядок важен (шифр набирается в строгом порядке), повторения есть (цифры могут повторяться).

Нужна формула: Размещения с повторепилии 4' = .

Считаем, что в шифр может входить любая из 10 цифр, всего 6 возможных позиций (длина шифра равна б цифрам). Подсчитаем общее число всех возможных комбинаций шифра.

Первую цифру можно выбрать 10 способами, њгоруло — также 10 (цифры могут поморяться), и так далее для всех шести цифр шифра, то есть N-10-10.lO.lO.10-10=lO'.

В терминах комбинаторики это размещения с поугорениями из 10 объектов по б: лт 4'c =lO'

Отвеет: 10' .

Перестановки

Задача. Сколькими способами 4 человека могут разместиться 6 четырехместном купе ?

Решение.

По схеме получаем: п = 4, r = 4 , порядок важен (места в купе различны), нужно выбрать все объекты, повторений нет. Нужна формула: Перестановки РП = п!

Значит, число различных размещений 4 человек в четырехместном купе это число всех перестановок из 4 элементов: У = 4!= 2 • З • 4 = 24 способа.

Ответ: 24.

Перестановки с повторениями

Задача. Сктпьки.ии способами мом:до рисстикипи, белые фигуры (Короля, ферзя, 2 ,тДьи. 2 и 2 копей) перкой линии umx.wmnmou Доски?

Решение.

По схеме получаем: п — 1 + 1+2+ 2 +2 — S , порядок важен (места на доске различны), нужно выбрать все объекты, погтгорения есть (есть одинаковые фигуры).

п! Нужна формула: Перестановки с повторениями Р (к .

Всего мест на первой линии 8, фиг» расстањляегся также S, из них 2 ОДИНЕАКОВЫ.Х встречаются три раза. По формуле числа перестановок с погуторениями получаем:

1-2-3-4-5-6-7.s * (1,1,

Отвеет: 5040 способов.

ПОДГОТОВКА К ТИА: РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ

Ответ. 293930. Размещения Задача

В терминах комбинаторики это размещения с поугорениями из 10 объектов по б: лт 4'c =lO'

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

17.02.2018

Подготовка к ГИА: Решение комбинаторных задач

РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

Размещения

Размещения с повторениями

Перестановки

Перестановки с повторениями

ПОДГОТОВКА К ТИА: РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ

Ответ. 293930. Размещения Задача

В терминах комбинаторики это размещения с поугорениями из 10 объектов по б: лт 4'c =lO'