Последовательности

Числовые
последовательности

Определение. Функцию y = f(x), x€N,

Определение числовой последовательности

Обозначение членов последовательности

1, 2, 3, 4, 5, …, n-1, n, n+1,…


a1, a2, a3, a4, a5, …, an-1, an, an+1,…

Последовательностью называется
бесконечное
множество пронумерованных элементов.

Названия
месяцев

Классы
в школе

Номер
счёта
в банке

Дома
на улице

Последовательности составляюттакие элементы природы, которые можно пронумеровать

Способы задания последовательностей

Аналитический –
с помощью формулы n-ого члена – позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером

хn=3×n+2
x5=3 ×5+2=17;
Х45=3×45+2=137

Рекуррентный
(от слова recursio - возвращаться)

х1=1; хn+1=(n+1); xn
n=1; 2; 3; …
можно записать с многоточием
1; 2; 6; 24; 120; 720; …

Словесный

График состоит из отдельных точек.

…

Получим последовательность чисел
1, 4, 9, 16, 25, …, 𝒏 𝟐 𝒏𝒏 𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒏 𝟐 , …

𝒚 𝟏 𝒚𝒚 𝒚 𝟏 𝟏𝟏 𝒚 𝟏 =𝟏𝟏 – I член последовательности

𝒚 𝟐 𝒚𝒚 𝒚 𝟐 𝟐𝟐 𝒚 𝟐 =𝟒𝟒 – II член последовательности

𝒚 𝟑 𝒚𝒚 𝒚 𝟑 𝟑𝟑 𝒚 𝟑 =𝟗𝟗 – III член последовательности

𝒚 𝒏 𝒚𝒚 𝒚 𝒏 𝒏𝒏 𝒚 𝒏 = 𝒏 𝟐 𝒏𝒏 𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒏 𝟐 – n-ый член последовательности

Способы задания последовательности

Последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена 𝒚 𝒏 𝒚𝒚 𝒚 𝒏 𝒏𝒏 𝒚 𝒏 =𝒇𝒇(𝒏𝒏)

Пример 1:
yn=n2
последовательность 1,4,9,16,…, n2,…

Способы задания последовательности

Пример 2:
𝒚 𝒏 𝒚𝒚 𝒚 𝒏 𝒏𝒏 𝒚 𝒏 = (−𝟏) 𝒏 (−𝟏𝟏) (−𝟏) 𝒏 𝒏𝒏 (−𝟏) 𝒏 ∙ 𝟏 𝒏 𝟏𝟏 𝟏 𝒏 𝒏𝒏 𝟏 𝒏
Найти первый, третий и шестой члены последовательности

Способы задания последовательности

Пример 3:
Задать последовательность формулой n-го члена:
а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

1; 4; 7; 10; 13; …

10; 19; 37; 73; 145; …

6; 8; 16; 18; 36; …

½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;

Увеличение
на 3 раза

1; 3; 5; 7; 9; …

5; 10; 15; 20; 25; …

Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

П
Р
О
В
Е
Р
Ь

С
Е
Б
Я

Способы задания последовательности

Правило составления последовательности описывается словами

Пример :
последовательность простых чисел
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
последовательность кубов натуральных чисел
1, 8, 27, 64, 125, …

Способы задания последовательности

Указывается правило позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.
При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным ( от латинского recurrere – возвращаться)

Способы задания последовательности

Пример 1:
y1=3, yn= yn-1 + 4, если n = 2, 3, 4, …
Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4
y1 = 3 y2 = y1 + 4= 3 + 4 = 7
y3= y2+ 4= 7 + 4 = 11 y4 = y3 + 4= 11 + 4 = 15 и т.д.

Получаем последовательность
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Способы задания последовательности

Пример 2:
y1=1, y2=1, yn= yn-2 + yn-1
Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов
y1=1 y2=1 y3= y1 + y2 = 1 + 1 = 2
y4 = y2 + y3= 1 + 2 = 3 y5 = y3 + y4 = 2 + 3 = 5 и т.д.

Получаем последовательность
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Способы задания последовательности

Выделяют 2 особенно важные рекуррентно заданные последовательности:
1) Арифметическая прогрессия
у1 = а, уn = уn-1 + d, а и d – числа, n = 2, 3, …
2) Геометрическая прогрессия
у1 = b, уn = уn-1 · q, b и q – числа, n = 2, 3, …

Монотонные последовательности

Последовательность (уn ) – возрастающая, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т.е. у1 < у2 < у3 < у4 < … < уn < …
Пример:
2, 4, 6, 8, 10, …
Если а > 1, то последовательность уn = аn – возрастает.

Последовательность (уn ) – убывающая, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у1 > у2 > у3 > у4 > … > уn > …
Пример:
-1, -3, -5, -7, -9, …
Если 0 < а < 1, то последовательность уn = аn – убывает.

Монотонные последовательности

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Последовательности, которые не возрастают и не убывают, являются немонотонными.