Потенциальная энергия в гравитационном поле. Закон сохранения полной механической энергии.

Потенциальная энергия в гравитационном поле. Закон сохранения полной механической энергии.

Мы живем на дне глубокого гравитационного «колодца». Изучением этого дна – поверхности Земного шара – заполнена вся история человечества. Но всегда находились отчаянные мечтатели – легенда об Икаре тому свидетельство – которым хотелось шагнуть не за горизонт, а ввысь. Трудами многочисленных ученых, начиная с безвестных халдейских звездочетов, через Птолемея и Коперника, Галилея и Кеплера, и, наконец, великого Ньютона, люди пришли к пониманию закономерностей движения в поле сил тяжести. А. Штернфельд, один из пионеров космонавтики, размышляя о возможности полета в космическом пространстве, ввел, независимо от К. Э. Циолковского, понятие первой космической скорости и предложил ее «в качестве единицы для сравнения космических скоростей, характеризующих данную планету». Далее он выстроил целую систему космических скоростей – своеобразную космическую лестницу. Давайте пройдем по нескольким ступеням этой лестницы.

Предварительно получим простое, но очень важное соотношение для потенциальной энергии тела в центрально-симметричном гравитационном поле, т. е. таком поле, в котором величина силы тяжести зависит только от расстояния до центра тяготения. Именно таким является поле всех космических тел, которые приближенно можно считать сферическими, – планет, звезд и т. п.

Элементарная работа перемещения тела массой  в поле тяготения небесного тела массой  равна

,

где  – расстояние между центрами масс обоих тел,  – гравитационная постоянная. Изменение потенциальной энергии тела, когда его расстояние до центра тяготения меняется от  до , равно работе, совершаемой над телом при таком перемещении:

.

Это единственное место в конспекте, которое вам пока придется принять на веру, поскольку вы пока не обладаете достаточными математическими знаниями.

Подсчитаем минимальную энергию, требующуюся для выведения космического корабля на круговую орбиту радиусом  с поверхности планеты радиусом . В этом случае нам необходимо не только изменить потенциальную энергию корабля в поле тяготения, но и сообщить ему некоторую кинетическую энергию для обращения по круговой орбите. Скорость обращения находится из условия равенства ускорения свободного падения и центростремительного ускорения:

и составляет

.

Тогда минимальная кинетическая энергия, которую должны сообщить кораблю двигатели при взлете, равна

,

откуда находим взлетную скорость, позволяющую вывести корабль на круговую орбиту радиусом :

Возьмем вначале радиус орбиты . Тогда

,

где  – первая космическая скорость для рассматриваемой планеты.

Для Земли, которая, естественно, интересует нас прежде всего, .

Пусть теперь , т. е. корабль, стартуя с поверхности планеты, имеет такую скорость, что способен преодолеть узы тяготения планеты и удалиться от нее на произвольно большое расстояние. При этом корабль будет двигаться по параболической траектории. По этой причине такая скорость носит название параболической относительно данной планеты, или второй космической. Она равна

.

Для Земли .

Все эти рассуждения справедливы для изолированной планеты. Однако если планета входит в планетную систему, имеющую центральное светило – Солнце, то, освободившись от тяготения планеты, корабль отнюдь не избавится от притяжения Солнца. Теперь он станет обращаться по замкнутой траектории вокруг Солнца.

Рис. 1. Движение тела вокруг Солнца

Чтобы разорвать путы солнечного притяжения, мы должны сообщить кораблю параболическую скорость относительно Солнца (см. Рис. 1):

,

где  – масса Солнца,  – радиус орбиты планеты, которую мы для простоты считаем круговой,  – скорость орбитального движения планеты.

Для Земли  и .

Означает ли это, что мы обязаны разогнать корабль до скорости 42,1 км/с для того, чтобы он ушел произвольно далеко от Солнца? Конечно, нет, ведь мы можем использовать грандиозную катапульту, которой снабдила нас природа, – Землю, несущуюся по своей орбите со скоростью . Легко понять, что для Земли скорость, позволяющая, хотя бы в принципе, долететь до любого космического объекта, расположенного в плоскости орбиты Земли за пределами Солнечной системы, – третья космическая скорость – равна   .

Итак, сообщив кораблю скорость  у поверхности Земли, мы можем послать его к любой звезде, лежащей в плоскости обращения Земли. К любой, кроме ближайшей – Солнца! Это – один из парадоксов, отмеченных А. Штернфельдом.

Можно показать, что для того, чтобы корабль мог двигаться по направлению к центру Солнца, нужно полностью компенсировать орбитальное движение Земли. Тем самым, четвертая космическая скорость относительно Земли равна   .

Далее, следуя Штернфельду, можно ввести понятия пятой и шестой космических скоростей. Пятая позволяет достичь любого космического объекта, двигаясь в плоскости, перпендикулярной к плоскости орбиты Земли. Она определяется выражением

.

При шестой космической скорости так же, как и в случае третьей, полет происходит по параболе в плоскости орбиты Земли, но стартовать можно против направления орбитального движения, что позволяет лететь к избранному космическому объекту в произвольный момент времени. Эта скорость равна

.

А. Штернфельд считал, что эти скорости могут быть полезны при изучении комет.

И наконец, вернемся еще раз к выражению для параболической скорости относительно какого-либо гравитирующего тела сферической формы    .

Как мы видим, величина этой скорости зависит от массы тела  и от его радиуса , причем с уменьшением радиуса скорость увеличивается. В ньютоновской механике нет никаких ограничений для величины скорости, однако мы знаем, что такие ограничения возникают в специальной теории относительности: никакой материальный объект не может иметь скорость, большую скорости света в вакууме .

Для гравитирующего тела можно поставить вопрос: какой радиус должно иметь это тело для того, чтобы никакой материальный объект не мог удалиться от него на произвольно большое расстояние? Такой радиус называется гравитационным радиусом данного тела и определяется выражением    .

Оказывается, если по тем или иным причинам размер какого-либо тела становится меньше гравитационного радиуса, тело превращается в черную дыру.

Закон сохранения механической энергии

Мы ранее говорили о потенциальной и кинетической энергии, а также о том, что тело может обладать вместе и потенциальной, и кинетической энергией. Прежде чем говорить о законе сохранения механической энергии вспомним, что такое полная энергия. Полной механической энергией называют сумму потенциальной и кинетической энергий тела.

Также вспомним, что называют замкнутой системой. Замкнутая система – это такая система, в которой находится строго определенное количество взаимодействующих между собой тел и никакие другие тела извне на эту систему не действуют.

Закон сохранения механической энергии

Когда мы определились с понятием полной энергии и замкнутой системы, можно говорить о законе сохранения механической энергии. Итак, полная механическая энергия в замкнутой системе тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил тяготения или сил упругости (консервативных сил), остается неизменной при любом движении этих тел.

Мы уже изучали закон сохранения импульса (ЗСИ):

Очень часто случается так, что поставленные задачи можно решить только с помощью законов сохранения энергии и импульса.

Рассмотреть сохранение энергии удобно на примере свободного падения тела с некоторой высоты. Если некоторое тело находится в состоянии покоя на некоторой высоте относительно земли, то это тело обладает потенциальной энергией. Как только тело начинает свое движение, высота тела уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия. При этом начинает нарастать скорость, появляется энергия кинетическая. Когда тело приблизилось к земле, то высота тела равна 0, потенциальная энергия тоже равна 0, а максимальной будет являться кинетическая энергия тела. Вот здесь и просматривается превращение потенциальной энергии в кинетическую (рис. 1). То же самое можно сказать о движении тела наоборот, снизу вверх, когда тело бросают вертикально вверх.

Рис. 1. Свободное падение тела с некоторой высоты

Задача 1. «О падении тела с некоторой высоты»

Условие

Тело находится на высоте  от поверхности Земли и начинает свободно падать. Определите скорость тела в момент соприкосновения с землей.

Решение 1: Начальная скорость тела . Нужно найти .

Рассмотрим закон сохранения энергии.

В верхней точке тело обладает только потенциальной энергией: . Когда тело приблизится к земле, то высота тела над землей будет равна 0, а это означает, что потенциальная энергия у тела исчезла, она превратилась в кинетическую:             Рис. 2. Движение тела (задача 1)

Согласно закону сохранения энергии можем записать:

Масса тела сокращается. Преобразуя указанное уравнение, получаем: .

Окончательный ответ будет: . Если подставить все значение, то получим:.

Ответ: .

Рис. 3. Пример оформления решения задачи № 1

Данную задачу можно решить еще одним способом, как движение по вертикали с ускорением свободного падения.

Решение 2:

Запишем уравнение движения тела в проекции на ось :   

Когда тело приблизится к поверхности Земли, его координата будет равна 0:

Перед ускорением свободного падения стоит знак «-», поскольку оно направлено против выбранной оси .  Подставив известные величины, получаем, что тело падало на протяжении времени . Теперь запишем уравнение для скорости:  

Полагая ускорение свободного падения равным  получаем: 

Знак минус означает, что тело движется против направления выбранной оси.

Ответ: .

Также для решения данной задачи можно было воспользоваться формулой, которая не зависит от времени:

Конечно, нужно отметить, что данный пример мы рассмотрели с учетом отсутствия сил трения, которые в реальности действуют в любой системе. Обратимся к формулам и посмотрим, как записывается закон сохранения механической энергии:

Рис. 4. Пример оформления решения задачи № 1 (способ 2)

 Дополнительная задача 2

Тело свободно падает с высоты . Определите, на какой высоте  кинетическая энергия равна трети потенциальной ().

Рис. 5. Иллюстрация к задаче № 2

Решение:

Когда тело находится на высоте , оно обладает потенциальной энергией, и только потенциальной. Эта энергия определяется формулой: . Это и будет полная энергия тела.

Когда тело начинает двигаться вниз, уменьшается потенциальная энергия, но вместе с тем нарастает кинетическая. На высоте, которую нужно определить, у тела уже будет некоторая скорость V. Для точки, соответствующей высоте h, кинетическая энергия имеет вид:  

Потенциальная энергия на этой высоте будет обозначена следующим образом: .

По закону сохранения энергии, у нас полная энергия сохраняется. Эта энергия  остается величиной постоянной. Для точки  мы можем записать следующее соотношение:  (по З.С.Э.).

Вспоминая, что кинетическая энергия по условию задачи составляет , можем записать следующее: .

Обратите внимание: масса и ускорение свободного падения сокращается, после несложных преобразований мы получаем, что высота, на которой такое соотношение выполняется, составляет .

Ответ: 

Рис. 6. Оформление решения задачи № 2

Закон сохранения энергии в случае наличия силы трения

Представьте себе, что тело в некоторой системе отсчета обладает кинетической и потенциальной энергией. Если система замкнутая, то при каком-либо изменении произошло перераспределение, превращение одного вида энергии в другой, но полная энергия остается по своему значению той же самой (рис. 7).

Представьте себе ситуацию, когда по горизонтальной дороге движется автомобиль. Водитель выключает мотор и продолжает движение уже с выключенным мотором.

Что в этом случае происходит (рис. 8)?                                         Рис. 7. Закон сохранения энергии

В данном случае автомобиль обладает кинетической энергией. Но вы прекрасно знаете, что с течением времени автомобиль остановится. Куда девалась в этом случае энергия? Ведь потенциальная энергия тела в данном случае тоже не изменилась, она была какой-то постоянной величиной относительно Земли. Как произошло изменение энергии? В данном случае энергия пошла на преодоление сил трения. Если в системе встречается трение, то оно также влияет на энергию этой системы. Посмотрим, как записывается в данном случае изменение энергии.                   Рис. 8. Движение автомобиля

Изменяется энергия, и это изменение энергии определяется работой против силы трения. Определить работу силы трения мы можем с помощью формулы, которая известна из 7 класса (сила и перемещение направлены противоположно):                   

Итак, когда мы говорим об энергии и работе, то должны понимать, что каждый раз мы должны учитывать и то, что часть энергии расходуется на преодоление сил трения. Совершается работа по преодолению сил трения. Работа является величиной, которая характеризует изменение энергии тела.

В заключение урока хотелось бы сказать, что работа и энергия по сути своей связанные величины через действующие силы.

Дополнительная задача 3

Два тела – брусок массой  и пластилиновый шарик массой  – движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями (). После столкновения пластилиновый шарик прилип к бруску, два тела продолжают движение вместе. Определить, какая часть механической энергии  превратилась во внутреннюю энергию этих тел, с учетом того что масса бруска в 3 раза больше массы пластилинового шарика (). 

Решение:

Изменение внутренней энергии можно обозначить . Как вы знаете, существует несколько видов энергии. Кроме механической, существует еще и тепловая, внутренняя энергия.

Рис. 9. Иллюстрация к задаче № 3

Запишем в выбранной системе отсчета закон сохранения импульса (с учетом направления скоростей и оси ):   

Вместо  мы подставим :          

Массы сокращаются. Преобразуя это выражение, получаем, что конечная скорость этих тел будет определяться следующим образом:                    

Это означает, что скорость бруска и пластилинового шарика вместе будет в 2 раза меньше, чем скорость до соударения.

Следующий шаг – это закон сохранения энергии:     

В данном случае полная энергия – это сумма кинетических энергий двух тел. Тел, которые еще не соприкоснулись, не ударились. Что произошло после соударения? Посмотрите на следующую запись:    

В левой части мы оставляем полную энергию, а в правой части мы должны записать кинетическую энергию тел после взаимодействия  и учесть, что часть механической энергии превратилась в тепло .

Таким образом, имеем:  

Определим отношение :   

В итоге получаем ответ ^.

Обратите внимание: в результате такого взаимодействия большая часть энергии превращается в тепло, т. е. переходит во внутреннюю энергию.

Ответ:  

Скачано с www.znanio.ru