Позиционные системы счисления

Позиционные Позиционные системы счисления системы счисления

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение)  цифры зависит от её места (позиции) в записи числа.    Позиция цифры в числе называется  разрядом.    Разряд числа возрастает справа  налево, от младших разрядов к старшим.    Основанием позиционной системы  счисления называется целое число,  которое равно количеству цифр,  используемых для изображения чисел в  данной системе счисления.    Основание показывает, во сколько раз  изменяется количественное значение  цифры при перемещении её в младший  или старший разряд.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С  ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание  которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q­ичная система счисления) числа в  развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания q с  коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, …, q­1. Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней  основания.   a    a  a ∙q   n­ 2 ­m          a ∙q 0 0   ∙q  a ­ 1 ­ 1   ­m  A q ∙q n­ 1 n­ 1   ∙q 2 n­   или qA  i  1n   m iqia Aq – число в q­ичной системе счисления, q – основание системы счисления, Ai – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n – число целых разрядов числа, m – число дробных разрядов числа.  Коэффициенты  ai ­ цифры числа, записанного в q­ичной системе счисления. Свернутая форма записи числа: A    a a n­ 1 n­ 2  aaa 01 , ­ 1  a ­m Свернутой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни,  её называют естественной или цифровой.

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Основание: q = 10. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Развернутая форма записи числа:  A 10   a 10 ∙ n­ 1 n­ 1     a 10 ∙ 2 n­ n­ 2        10 ∙  a 0 0    10 ∙  a ­ 1 ­ 1         a 10 ∙ ­m ­m Коэффициенты  ai ­ цифры десятичного числа. a Свернутая форма записи числа:  A 10   a n­ 1 n­  aaa 01 ­ 1 ,  a ­m 2 Например, число 123,4510 в развернутой форме будет записываться следующим  образом: 45,123 10    101 ∙  2      1 102 ∙    0 103 ∙       104 ∙ 1 ­    105 ∙  ­ 2 Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к  перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо  или влево. Например: 123,4510 ∙ 10 = 1234,510; 123,4510 : 10 = 12,34510.

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Основание: q = 2. Алфавит: 0, 1. Развернутая форма записи числа:  A 2  2 ∙  a n­ 1 n­ 1     a 2 ∙ 2 n­ n­ 2        0 2 ∙  a 0    2 ∙  a ­ 1 ­ 1        ­m  a 2 ∙ ­m Коэффициенты  ai ­ цифры двоичного числа (0 или 1).  Свернутая форма записи числа:   a  A 2 a n­ 1 n­ 2 aaa 01 ­ 1 ,  a ­m Например, число 101,012 в развернутой форме будет записываться следующим  образом: 01,101 2    21 ∙  2    1 20 ∙     0 21 ∙     20 ∙  1 ­    21 ∙  ­ 2 Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к  перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо  или влево. Например: 101,012 ∙ 2 = 1010,12; 101,012 : 2 = 10,1012.

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Основание: q = 8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Развернутая форма записи числа:  A 8   a 8 ∙ n­ 1 n­ 1     a 8 ∙ 2 n­ n­ 2        0 8 ∙  a 0    8 ∙  a ­ 1 ­ 1        ­m  a 8 ∙ ­m Коэффициенты  ai ­ цифры восьмеричного числа. Свернутая форма записи числа:  A 8   a a n­ 1 n­ 2  aaa 01 , ­ 1  a ­m Например, число 123,678 в развернутой форме будет записываться следующим  образом: 67,123 8    81 ∙  2      1 82 ∙    0 83 ∙       86 ∙ 1 ­      87 ∙ ­ 2 Умножение или деление восьмеричного числа на 8 (величину основания) приводит  к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд  вправо или влево. Например: 123,678 ∙ 8 = 1236,78; 123,678 : 8 = 12,3678.

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Основание: q = 16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Развернутая форма записи числа:  A 16   a 16 ∙ n­ 1 n­ 1     a 16 ∙ 2 n­ n­ 2        16 ∙  a 0 0    16 ∙  a ­ 1 ­ 1         a 16 ∙ ­m ­m Коэффициенты  ai ­ цифры шестнадцатеричного числа. Свернутая форма записи числа:  A 16   a a n­ 1 n­ 2  aaa 01 ­ 1 ,  a ­m Например, число 2BC,DE16 в развернутой форме будет записываться следующим  образом: 2 BC ,  DE 16    162 ∙ 2     B∙ 1 16     C∙ 16 0     D∙ 16 1 ­     E∙ 16 ­ 2 Умножение или деление шестнадцатеричного числа на 16 (величину основания)  приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один  разряд вправо или влево. Например: 2BC,DE16 ∙ 16 = 2BCD,E16; 2BC,DE16 : 16 = 2B,CDE16.