Практическая работа по теме: «Вычисление площадей фигур с помощью интеграла»

по теме: «Вычисление площадей фигур с помощью интеграла» Практическая работа  1. Теоретическая часть Определение. Криволинейной трапецией (рис. 1) называют фигуру, которая ограничена:                        Y y=y(x) X a b Рис.1     сверху ­ графиком непрерывной функции  y=y(x) снизу – осью OX (y=0) слева – прямой x=a справа – прямой x=b Утверждение. Геометрический смысл определённого интеграла в том, что его значение равно  площади соответствующей криволинейной трапеции:                                                            S  b a dxxy )(                                                                     (1) Рассмотрим различные методы вычисления площадей плоских фигур. Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:  x=2 и осью OX. Решение: данная фигура (рис. 2) представляет собой криволинейную трапецию, поэтому её  площадь вычисляется по формуле (1).   2 2 x x y 2 , x=­1,  Y y  2 x 2 x  2    S  2  ( 2 x  2 x  )2 dx  3 x 3 2  1  2 x 2  1  2 x 2  1  1  2 3 3      1   3   633  2 2    2  1  3    .6  222  1     ­1 2 X Рис. 2 Ответ: 6 кв.ед. Пусть y=f(x) – непрерывная функция при x[a, b], график которой расположен ниже оси OX  (рис. 3). Значение определённого интеграла будет отрицательным, поэтому для расчёта площади  берём значение интеграла по модулю. Y a b X y=f(x) Рис. 3     S   dxxf b a                                                 (2) Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y и осью OX.   6 5 x x 2 Решение: данная фигура (рис. 4) расположена ниже оси OX, поэтому применим формулу (2). Y y  2 x 5 x  6 S     2 3 X Рис. 4   ( 3 2 2 x  5 x  )6 dx  3 x 3 3 2  5 x 2 3 2 2  6 x 3 2  3  3  3  19 3  3 2 3 25 2   6 Ответ: 1/6 кв.ед.         35 2 38 2  2  25 2  36 75 6     2636   1 6 1 6 Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций  y 3 x . y 12 x и Решение: данная фигура (рис. 5)представляет собой разность криволинейных трапеций Абсциссы точек пересечения находим по чертежу: x1=­2 и  x2=1.    S  x 1   2 Y   3 dx  1    2  2 1  x dx . Можно записать под один интеграл: y 12 x S  (3 x 1    2 2 x  )1  dx  1   2  2  x  2 x  dx   2 x 1  2         3 1 3 1  3  2 x 2 2 3  3 x 3 2   6  Ответ: 4,5 кв.ед.   212  1  2   2     2 1 2    2  2 2        3 2    3 4 1 2 y=­x+3 ­2 1 Рис. 5 X Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций  y , и координатными осями. 3 x y 12 x и Решение: данная фигура (рис. 6) представляет собой сумму криволинейных трапеций S=S1+S2,  где  S 1  1    x 2 0  1 dx    и   S 2    x 3 1  3 dx . Получим формулу: y 12 x y=­x+3 0 3 1 Рис. 6 X 2 x   1 dx    x 3 1  3 dx  3 x 3 1 0  x 1 0  2 x 2 3 1  3 x 3 1  3 0 3  01         2 3 2  3 1 2      1333 1 S 0 3 1 3       1 3  Ответ:   3 641 1 3 3  кв.ед. 1 3 2. Проверьте себя №1 №2 y=x2+1 y=5 y=­ 1 x №3 y=x3 Ответы: №1 ln3 кв.ед., №2  10  кв.ед., №3  2 3 4 кв.ед. 1 4     3. Самостоятельная работа 4. Контрольные вопросы 1. Приведите определение криволинейной трапеции. 2. В чём геометрический смысл определённого интеграла? 3. Выберите формулу площади заштрихованной  фигуры:   А.  2    3 23  x  2 x  dx    dxx 1   1  2 y  23 x  2 x ­3 y=1­x ­2 1   Б.    В.  4. Составьте формулу для вычисления  площади изображённой фигуры 1    2 23  x  2 x  dx    dxx 1   1  2 1   1  2   dxx  ­1 1    2 23  x  2 x  dx y=x3 1 Критерии оценки «Отлично»  ­   даны   ответы   на   все   контрольные   вопросы,   задания   самостоятельной   работы выполнено полностью. «Хорошо»  самостоятельной работы допущены 1­2 арифметические ошибки. ­   даны   ответы   на   все   контрольные   вопросы;   при   выполнении   заданий «Удовлетворительно» ­ выполнено 60%­70% заданий самостоятельной работы, даны ответы не на все контрольные вопросы;. «Неудовлетворительно» ­ выполнено менее 60% заданий для самостоятельной работы