Практическое занятие по теме. Решение комбинаторных задач

 Практическое занятие по теме. Решение комбинаторных задач

Цель занятия: Развитие навыков решения задач комбинаторики, применение формул перестановок, размещений и сочетаний на практике.

1. Теоретическая часть:

1.1 Основные понятия:

• Перестановки (P) — количество способов упорядочить n элементов. Формула:
  Pn=n!P_n = n!
• Размещения (A) — количество способов выбрать и упорядочить k элементов из n. Формула:
  Ank=n!(n−k)!A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}
• Сочетания (C) — количество способов выбрать k элементов из n без учета порядка. Формула:
  Cnk=n!k!(n−k)!C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}

1.2 Основные формулы:

1. Pn=n!P_n = n!
2. Ank=n!(n−k)!A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}
3. Cnk=n!k!(n−k)!C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}

2. Примеры решения задач:

Задача 1: Сколькими способами можно выбрать 3 ученика из 8 человек?
Решение:
C83=8!3!(8−3)!=8×7×63×2×1=56C^3_8 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

Задача 2: Сколько 4-значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры не повторяются?
Решение:
A54=5!(5−4)!=5×4×3×2=120A^4_5 = \frac{5!}{(5-4)!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120

3. Самостоятельная работа:

1. Сколько способов есть для расстановки 6 книг на полке?
2. Сколькими способами можно выбрать команду из 5 человек из группы из 10 студентов?
3. Сколькими способами можно составить 3-значный код из 7 цифр, если цифры не повторяются?
4. В классе 12 учеников. Сколькими способами можно выбрать двух представителей?

4. Подробное объяснение заданий:

Задание 1:
P6=6!=6×5×4×3×2×1=720P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720

Задание 2:
C105=10!5!(10−5)!=10×9×8×7×65×4×3×2×1=252C^5_{10} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252

Задание 3:
A73=7!(7−3)!=7×6×5=210A^3_7 = \frac{7!}{(7-3)!} = 7 \times 6 \times 5 = 210

Задание 4:
C122=12!2!(12−2)!=12×112×1=66C^2_{12} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66

!