Практическое занятие по математике на тему "Нахождение углов и расстояний в пространстве" (для студентов 1 курса колледжа)

Практическое занятие № 9 Тема: «Нахождение углов и расстояний в пространстве» Цель работы: Владение стандартными приемами находить углы и расстояния в пространстве. Необходимо знать: определения углов и расстояний в пространстве. Необходимо   уметь:  находить,   вычислять   величины   углов   и   расстояний,   а   также обосновывать результат.  1. Теоретическая часть: Повторить по учебнику теорию о нахождении углов и расстояний в пространстве. Уметь иллюстрировать основные положения на моделях и объектах из окружающей обстановки. 2. Проверьте себя:   № Задача Ответы 1 2 3 4 5 Прямая  f  и   квадрат  ABCD  не   лежат   в одной   плоскости.   Найти   угол   между прямыми а и AC, если f параллельна BC. Отрезок  AM  перпендикулярен плоскости треугольника   ABC  и имеет длину 12см.  Найдите   расстояние     от   точки  M    до прямой  AB=AC=20см, BC=24см.   если  BC, Стороны   прямоугольника  ABCD  равны 24см и 10см,   AM  ­   перпендикуляр   к   его   плоскости. Прямая  MC  наклонена   к   плоскости  Найдите прямоугольника под углом 300 длину перпендикуляра AM.   . Из   точки  О  пересечения   диагоналей квадрата  ABCD                       проведён перпендикуляр OM к его плоскости.  Докажите,   что  MA,  MD  MC, наклонены   к     плоскости   квадрата   под одним углом. Из   центра  О  правильного   треугольника ABC  со стороной                        см  MB, 33 проведён   перпендикуляр  OD  к   его плоскости     длинной     4   см.         Найдите расстояние   от   точки  D  до     вершин треугольника.   45 градусов 20 см. 3 см 26 3 Использовать   определение   угла   между прямой и плоскостью 5 см. 3. Самостоятельная работа:  3.1.Выполните в соответствии со своим вариантом. Вар. Решите задачу Решите задачу 1 2 3 4 К плоскости  прямоугольного  треугольника MNP,  где угол P ­ прямой,  проведен  перпендикуляр SN,  SM=13 см, угол MNP  =30º; MP=5 см.  Вычислите расстояние  от точки S до прямой  MP. Через точку  пересечения  диагоналей квадрата  АВСВ проведен  перпендикуляр МО к  его плоскости, равный  15 см. Вычислите  расстояние от точки М до стороны квадрата  если АВ=16 см. Отрезок АМ, равный  12 см  перпендикулярен  плоскости  треугольника АВС.  Вычислите расстояние  от точки М до прямой  ВС, если АВ=АС=20  см, ВС=24 см. Точка S удалена от  каждой стороны  правильного  треугольника на 15 см,  а от его плоскости на  10 см. Найдите длину  стороны треугольника. Угол А остроугольного  треугольника АВС  равен 45º, ВС=12 см.  Точка М удалена от его плоскости на 6 см и  находится на  одинаковом расстоянии от всех вершин  треугольника.  Вычислите расстояние  МА, МВ и МС. Точка М одинаково  удалена от всех сторон  треугольника АВС.  Расстояние от точки М  до его плоскости равно  12 см, а радиус  вписанный в  треугольник  окружности равен 5 см. Вычислите расстояние  от точки М до сторон  треугольника. К плоскости  равностороннего  треугольника АВС,  площадь которого равна 48 см2 проведен  перпендикуляр АS.  ВС=10 см; АК=5 см.  Найдите расстояние от  точки S до прямой ВС.  см. К  Стороны  прямоугольника АВСD  равны 6 см 6  плоскости  прямоугольника через  точку пересечения его  диагоналей проведен  перпендикуляр ОК=6  см. Найдите углы  между плоскостью  прямоугольника и  прямыми КА и КВ. α  проведены  Через точку А к  плоскости  наклонные АВ, АС и  перпендикуляр АО,  АВ=6 см. Углы между  прямыми АВ, Аси  плоскостью  соответственно 30º, 40º. Найдите длины  перпендикуляра АО,  наклонной АС и ее  проекциями. α  равны  Точка равноудаленная  от всех вершин  прямоугольника  находится на  расстоянии 8 см от его  К плоскости  прямоугольника  ABCD, площадь  которого равна  180см2 проведен  Через середину  гипотенузы  прямоугольного  треугольника АВС  проведен к его плоскости. Вычислите  расстояние от этой  точки до вершин  прямоугольника , если  его меньшая сторона 8  см, диагональ образует  с большой стороной  угол 30º . 5 Точка S удалена от  каждой вершины  квадрата на 10 дм.  Вычислите расстояние  от точки S до  плоскости квадрата,  если его сторона равна  6   дм. перпендикуляр KD.  Вычислите расстояние  от точки К до сторон  прямоугольника, если  KD=12 см, ВС=20 см. К плоскости  прямоугольного  треугольника АВС, где угол С=90º проведен  перпендикуляр РВ,  РА=13 см, угол  АВС=30º; АС=5 см.  Вычислите расстояние  от точки Р до прямой  АС. плоскости  перпендикуляр КО,  равный 8,5 см. ВС=8 см, АС=15 см. Вычислите  углы между плоскостью треугольника и  наклонными КА, КВ,  КС. Через вершину М  равностороннего  треугольника МРК  проведен к его  плоскости  перпендикуляр МС.  Угол между прямой СК и плоскостью  треугольника равен 60º,  РК=24 см. Найдите  углы перпендикуляра  МС и наклонной СР. 3.2.Выполните в соответствии со своим вариантом дополнительные задания (по указанию преподавателя): 1.Точка К удалена от каждой стороны правильного треугольника на 30 см, а от его плоскости на 18см. Найдите длину стороны треугольника. К плоскости треугольника АВС с прямым углом С проведен перпендикуляр КВ. Вычислите расстояние от точки К до плоскости треугольника АВС, если КА=13 см, АС=5 см, угол ВАС=60º. 2.Через вершину тупого угла ромба ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр DK=AB=5cм, угол А=60º . Вычислите углы между плоскостью ромба и прямыми АК, ВК и СК. Точка Р удалена от каждой вершины прямоугольника на 10 дм. Вычислите расстояние от точки М до плоскости прямоугольника, если его стороны равны 8 дм и 4   дм. 3.Через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD проведен перпендикуляр АО к его плоскости равный 15 см. Найти расстояние от точки Р до сторон квадрата, если  проведены наклонные МА, МВ и перпендикуляр МО. Углы ВС=16 см.К плоскости  между МВ, МА и плоскостью   равны соответственно 30º и 45º, МО =15 см. Найдите длины наклонной МА и проекцией наклонной МВ. α α 4.Точка М одинаково удалена от всех сторон квадрата АВСD. Расстояние от точки М до его плоскости равно 16 см, АВ=24 см. Вычислите расстояние от точки М до вершин квадрата. 5.К плоскости треугольника АВС проведен отрезок АК=12 см перпендикулярный ей. Найдите   расстояние   от   точки   К   до   прямой   ВС,   если   ВС=24   см;   АВ=АС=20 см.Прямоугольники ABCD и ABMK лежат в разных плоскостях. Сумма их периметров равна 46 см, АК=6 см; ВС=5 см. Вычислите расстояние между прямыми АК и ВС. 6.Точка К одинаково удалена от всех вершин правильного треугольника и удалена от его плоскости на 6 см. Найти расстояние от точки К до вершин треугольника, если его сторона равна 8   см. 7.К   плоскости   прямоугольника   ABCD   проведен   перпендикуляр   PD.   Вычислите расстояние от точки Р до сторон прямоугольника, если его площадь равна 180 см2; PD=12 см; ВС=20 см.  8.К плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр KD. Сторона квадрата 5 см. Вычислите расстояние между прямыми АВ и KD. 9.Точка S одинаково удалена от сторон правильного шестиугольника со стороной 6 см. Расстояние от точки S до плоскости шестиугольника 3  S до каждой стороны шестиугольника.  . Найти расстояние от точки 10.К плоскости треугольника АВС с прямым углом С проведен перпендикуляр МВ; МА=13см, угол АВС=30º, АС=5 см. Найти расстояние от точки М до прямой АС.К плоскости равнобедренного треугольника АВС проведен перпендикуляр АК. Площадь прямоугольника 48 см2; ВС=16 см; АК=6 см. Найти расстояние от точки К до прямой ВС. 11.Точка М удалена от каждой вершины остроугольного треугольника АВС на 17 см. Найти расстояние от точки М до плоскости треугольника, если угол ВАС=30º, ВС=8 см.КВ перпендикулярен плоскости треугольника АВС, угол С=90º. Найти расстояние от точки К до плоскости треугольника, если АС=5 см; угол ВАС=60º, КА=13 см. 12.Через вершину угла ромба ABCD проведен перпендикуляр РК к плоскости ромба. DM=АВ=4, угол А=60º. Найти угол между АС и плоскостью DMB.  13.Точка К удалена от каждой стороны правильного треугольника на 30 см, а от его плоскости на 18см. Найдите длину стороны треугольника.К плоскости треугольника АВС с прямым углом С проведен перпендикуляр КВ. Вычислите расстояние от точки К до плоскости треугольника АВС, если КА=13 см, АС=5 см, угол ВАС=60º. 14.Через вершину тупого угла ромба ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр DK=AB=5cм, угол А=60º . Вычислите углы между плоскостью ромба и прямыми АК, ВК и СК. 15.Точка   Р   удалена   от   каждой   вершины   прямоугольника   на   10   дм.   Вычислите расстояние от точки М до плоскости прямоугольника, если его стороны равны 8 дм и 4   дм. 16.Через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD проведен перпендикуляр АО к его плоскости равный 15 см. Найти расстояние от точки Р до сторон квадрата, если ВС=16 см. α α  проведены наклонные МА, МВ и перпендикуляр МО. Углы между  равны соответственно 30º и 45º, МО =15 см. Найдите длины 17.К плоскости  МВ, МА и плоскостью  наклонной МА и проекцией наклонной МВ. 18.Точка М одинаково удалена от всех сторон квадрата АВСD. Расстояние от точки М до его плоскости равно 16 см, АВ=24 см. Вычислите расстояние от точки М до вершин квадрата. 19.К плоскости треугольника АВС проведен отрезок АК=12 см перпендикулярный ей. Найдите расстояние от точки К до прямой ВС, если ВС=24 см; АВ=АС=20 см. 20.Прямоугольники ABCD и ABMK лежат в разных плоскостях. Сумма их периметров равна 46 см, АК=6 см; ВС=5 см. Вычислите расстояние между прямыми АК и ВС. 21.Точка К одинаково удалена от всех вершин правильного треугольника и удалена от его плоскости на 6 см. Найти расстояние от точки К до вершин треугольника, если его сторона равна 8   см. 22.К   плоскости   прямоугольника   ABCD   проведен   перпендикуляр   PD.   Вычислите расстояние от точки Р до сторон прямоугольника, если его площадь равна 180 см2; PD=12 см; ВС=20 см. 23.К плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр KD. Сторона квадрата 5 см. Вычислите расстояние между прямыми АВ и KD. 24.Точка S одинаково удалена от сторон правильного шестиугольника со стороной 6 см. Расстояние от точки S до плоскости шестиугольника 3  точки S до каждой стороны шестиугольника.  . Найти расстояние от 25.К плоскости треугольника АВС с прямым углом С проведен перпендикуляр МВ; МА=13см, угол АВС=30º, АС=5 см. Найти расстояние от точки М до прямой АС. 26.К   плоскости   равнобедренного   треугольника   АВС   проведен   перпендикуляр   АК. Площадь прямоугольника 48 см2; ВС=16 см; АК=6 см. Найти расстояние от точки К до прямой ВС. 27.Точка М удалена от каждой вершины остроугольного треугольника АВС на 17 см. Найти расстояние от точки М до плоскости треугольника, если угол ВАС=30º, ВС=8 см. 28.КВ перпендикулярен плоскости треугольника АВС, угол С=90º. Найти расстояние от точки К до плоскости треугольника, если АС=5 см; угол ВАС=60º, КА=13 см. 29.Через вершину угла ромба ABCD проведен перпендикуляр РК к плоскости ромба. DM=АВ=4, угол А=60º. Найти угол между АС и плоскостью DMB. 4. Контрольные вопросы 1. Дать определения угла и расстояния в пространстве. 2. Что называют двугранным углом? 3. Перечислите виды углов в пространстве. 4. Назовите   основные   положения   для   вычисления   углов   и   расстояний   в пространстве. Критерии оценки «Отлично»  ­   даны   ответы   на   все   контрольные   вопросы,   задание   самостоятельной работы выполнено полностью. «Хорошо»  ­   даны   ответы   на   все   контрольные   вопросы;   при   выполнении   задания самостоятельной работы допущены 1­2 ошибки. «Удовлетворительно» ­ даны ответы не на все контрольные вопросы;  выполнено 60%­ 70% задания самостоятельной работы. «Неудовлетворительно» ­ выполнено менее 60% задания для самостоятельной работы. Преподаватель__________________________ /Кондратьева Е.А.