ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ «Вычисление площадей поверхностей и объемов геометрических тел»

Практическое занятие  для студентов колледжа по учебной дисциплине «Математика» «Вычисление   площадей поверхностей и объемов геометрических тел» 1. Цель занятия: сформировать   умения   распознавать   геометрические   фигуры   на   чертежах, моделях и в реальном мире; применять изученные свойства геометрических фигур, формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием. 2. Дидактическое оснащение  практического занятия: 1) учебник для повторения теории по теме занятия [1]; 2) задания для тренировочной работы; 3) билеты для самостоятельной работы; 4) таблица, основные формулы по теме; 5) компьютер,   мультимедийный   проектор,   информация   из   электронно­ методического комплекса [2]. 3. Время проведения: 45 минут. 4.  Поверхности и объемы геометрических тел. Основные формулы. Название геометрического Площадь боковой поверхности Площадь поверхности тела  Призма Цилиндр Правильная пирамида Sбок = Pперпенд.сеч∗l Sбок  = Сосн∗l=2πRl Sбок  = Росн∗hбок 1 2 S=Sбок+2Sосн Объем V=Sосн * H S=Sбок+2Sосн=2πR(l+R) V=πR2∗H бок+¿hосн h¿ осн=¿ 1 2Росн¿ S=¿Sбок+S¿ V=1 3 Sосн∗H Конус Sбок=1 2 Соснl=πRl S=Sбок+Sосн=πR(l+R) Шар (сфера) S=4πR2=πD2 V=1 3 V= 4 3 Sосн∗H πR3 5.Задания для тренировочной работы по теме «Многогранники и круглые тела» на вычисление   площадей поверхностей и объемов геометрических тел: Объёмы и площади поверхностей геометрических тел 1 Основание прямой призмы – треугольник, у которого стороны, равные 5 см и 6 см, образуют угол 300, её боковое ребро равно 4 см. Найдите объём призмы. 2 Участок   в   форме   правильного   треугольника   со   стороной   6   м   нужно укрыть слоем торфа толщиной (в среднем) 0,6 см. Сколько килограммов торфа потребуется для этого (плотность торфа 0,4×103 кг/м3). 3 Найдите вместимость аквариума, если длина его равна 0,8 м, ширина – 0,5 м, а высота – 0,4 м. 4 Сколько   куб.   метров   земли   вынули   при   рытье   канавы   длиной   15   м   с поперечным сечением в форме равнобедренной трапеции, если глубина канавы 1 м, ширина нижней части 1,2 м, верхней 2 м. 5 Найдите   объём   правильной   треугольной   пирамиды,   у   которой   сторона основания 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 300. 6 Сторона снования правильной четырёхугольной пирамиды равна  см, 3 2 а боковое ребро 5 см. Найдите объем пирамиды. 7 Осевое   сечение   цилиндра   –   прямоугольник   со   сторонами   12   и   26   см. Найдите  объем   цилиндра,  если   его   высота –  меньшая  сторона   осевого сечения. 8 Прямоугольник   с   боковой   стороной   14   и   основанием   10   является разверткой боковой поверхности цилиндра. Найдите объем цилиндра. 9 Свинцовая труба с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Найдите массу 2,5 м этой трубы (плотность свинца 11,4 г/см3). 10 Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 40, 40 и 48. Найдите объем конуса. 11 Образующая   конуса   наклонена   к   плоскости   основания   под   углом   600, радиус основания – 3 см. Найдите его объем. 12 Куча песка имеет форму конуса, длина окружности основания которого равна 25 м, а образующая – 5 м. Сколько машин, вмещающих 1,5 м3 песка, потребуется для её перевозки? 13 Сечение шара плоскостью, отстоящей от его центра на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара. 14 Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 и 35 см. Найдите диаметр нового шара. 15 Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, стороны основания   которого   5   и   12   м,   а   диагональ   наклонена   к   плоскости основания под углом 450. 16 Основания прямой треугольной призмы – прямоугольный треугольник с катетами   8   и   6   м,   ее   боковое   ребро   12   м.   Найдите   площадь   полной поверхности призмы. 17 Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды 10 м, высота – 12 м. Найдите площадь боковой поверхности. 18 Сторона   основания     правильной   четырёхугольной   пирамиды   6   м,   а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 450. Найдите площадь поверхности пирамиды. 19 Стороны прямоугольника 4 и 5 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, полученного при вращении прямоугольника вокруг его меньшей стороны. 20 Прямоугольник, диагональ которого равна 18 см и наклонена к основанию под  углом 300, является   осевым  сечением  цилиндра. Найдите  площадь полной поверхности цилиндра. 21 Сколько   жести   идёт   на   один   погонный   метр   водосточной   трубы диаметром 250 мм, если на швы расходуется 8 % материала? 22 Образующая конуса равна 6 м, а угол между нею и плоскостью основания равен 600. Найдите площадь полной поверхности конуса. 23 Конусообразная   палатка   высотой   3,5   м   и   диаметром   основания   4   м покрыта парусиной. Сколько парусины пошло на палатку? 24 Шар   радиусом   0,1   м   имеет   заряд   0,01   Кл.   Найдите   величину   заряда, приходящегося на единицу поверхности шара, если весь заряд равномерно распределен на ней. 6. Варианты заданий для самостоятельной работы: Билет № 1 1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а сторона основания равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.  2. Площадь сечения шара плоскостью равна 20  м2, а расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 4 м. Найдите объем шара.  Билет № 2 1. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник, катет которого равен 40 м, а гипотенуза равна 41 м. Высота пирамиды равна 20 м. Найдите объем пирамиды.  2. На окружностях оснований цилиндра отмечены точки А  и  В так, что  АВ = 10 м, а угол между прямой АВ и плоскостью основания цилиндра равен 30°. Расстояние от точки А до центра основания, содержащего точку В, равно 13 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Билет № 3 1.   Высота   правильной   четырехугольной   пирамиды   равна   4   см,   а   апофема образует   с   высотой   угол   в   45°.   Найдите   площадь   боковой   поверхности пирамиды.  2. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной, равной 2 м. Найдите объем цилиндра.  Билет № 4 1. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем такой пирамиды.  2. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°, а расстояние от центра основания до образующей равно   м. Найдите площадь 3 боковой поверхности конуса.  Билет № 5 1. Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его объем.  2. На сфере расположены точки  А,  В и  С так,  что  АВ = 6 м,  ВС = 8 м,  АС = 10м. Расстояние от центра сферы до плоскости  АВС  равно 12 м. Найдите площадь сферы.   Билет № 6 1. Прямоугольник, стороны которого равны 2 см и 5 см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем тела вращения. 2.   Боковые   ребра   правильной   четырехугольной   пирамиды   равны   13   см,   а диагональ   основания   равна     см.   Найдите   площадь   поверхности 10 2 пирамиды.   Билет № 7 1.   Радиус   основания   цилиндра   равен   6   м,   а   расстояние   от   центра   одного основания   до   точки   окружности   второго   основания   равно   10   м.   Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.  2.  Сторона   основания   правильной  четырехугольной  пирамиды  равна   м, 25 боковое ребро равно 13 м. Найдите объем пирамиды. Билет № 8 1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 см и 3 см, а диагональ равна 7 см. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.  2. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого равно 6 м.  Билет № 9 1. Прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 м, а гипотенуза равна 5 м, вращается вокруг большего катета. Найдите объем тела вращения. 2. Боковое ребро правильной четырехугольной призмы  АВСDA1B1C1D1  равно   м,   а   сторона   основания   равна   6   м.   Вычислите   площадь   поверхности 36 пирамиды.  Билет № 10 1. Высота конуса равна 8 см, а радиус основания равен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.  2.   Стороны  АВ  и  AD  основания   прямоугольного   параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 равны 6 м и 8 м, угол между диагональю АС1 параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. Найдите синус угла между прямой АС1 и плоскостью АВВ1  и объем параллелепипеда.  Билет № 11 1. Диагональ куба равна  32  м. Найдите площадь его полной поверхности.  2. На расстоянии 9 см от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24 см. Найдите объем шара.  Билет № 12 1. Образующая конуса равна 13 м, а радиус основания равен 5 м. Найдите объем конуса. 2. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 27 дм2,   а   периметр   основания   равен   18   дм.   Найдите   высоту   пирамиды   и   ее площадь поверхности.  Билет № 13 1. Высота конуса равна 6 м, а диаметр основания равен 12 м. Найдите угол между   образующей   конуса   и   плоскостью   его   основания.   Вычислить   объем конуса. 2.   Концы   бокового   ребра   правильной   треугольной   призмы   удалены   от  м. Найдите противолежащей этому ребру стороны основания на   м и  32 34 площадь боковой поверхности призмы.  Билет № 14 1. Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем конуса.  2. Высота правильной  треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.  Билет № 15 1. Секущая плоскость проведена на расстоянии 6 см от центра шара. Радиус сечения равен 8 см. Найдите объем шара.  2. Четыре ребра прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равны  36 м   каждое,   а   остальные   ребра   равны     м   каждое.   Найдите   угол   между 23 прямыми А1С и В1D и вычислить площадь поверхности параллелепипеда. Билет № 16 1.  Найдите   объем   правильной   четырехугольной   пирамиды,  высота   которой равна 4 см, а диагональ основания равна   см.  26 2. Площадь сечения шара плоскостью равна 16 м2, а площадь параллельного ему   сечения,   проходящего   через   центр   шара,   равна   25м2.   Найдите расстояние между плоскостями сечений и вычислить площадь поверхности шара.  Билет № 17 1. Секущая плоскость проведена на расстоянии 6 см от центра шара. Радиус сечения равен 8 см. Найдите объем шара. 2.   Основание   прямой   призмы   –   ромб   с   высотой   2   дм.   Площадь   боковой поверхности призмы равна 96 дм2, а площадь полной поверхности равна 128 дм2. Найдите высоту призмы.  Билет № 18 1. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 3 м, 4 м и 12 м. Найдите сумму длин всех диагоналей параллелепипеда и объем параллелепипеда. 2. Секущая плоскость проведена на расстоянии 6 см от центра шара. Радиус сечения равен 8 см. Найдите площадь поверхности шара.  Билет № 19 1.   Сторона   основания   правильной   шестиугольной   пирамиды   равна   3   м,   а боковое ребро равно 6 м. Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания и объем пирамиды.  2. Хорда основания цилиндра равна 32 см и удалена от центров его оснований на 12 см и 13 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.  Билет № 20 1.   Высота   правильной   четырехугольной   пирамиды   равна   4   см,   а   апофема образует   с   высотой   угол   45°.   Найдите   площадь   боковой   поверхности пирамиды.  2. Площадь боковой поверхности конуса равна 60  м2, а радиус основания равен 6 м. Найдите расстояние от центра основания до образующей конуса и объем конуса.  Билет № 21 1. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 м и 12 м, боковое ребро призмы равно 10 м. Найдите площадь полной поверхности призмы.  2. Расстояние от центра основания конуса до середины образующей равно 4 см,   а   угол   наклона   образующей   конуса   к   плоскости   основания   равен   60°. Найдите площадь осевого сечения конуса и его объем.  Билет № 22 1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема   образует   с   плоскостью   основания   угол   в   60°.   Найдите   площадь полной поверхности пирамиды. 2.   Угол   между   диагональю  АС1  прямоугольного   параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 и плоскостью основания АВСD равен 30°, а диагональ боковой грани  DС1  наклонена   к   плоскости   основания   под   углом   45°.   Высота параллелепипеда равна 3 см. Найдите его объем.  Билет № 23 1.  Стороны   основания   прямоугольного   параллелепипеда   равны  6  м  и  8  м, боковое ребро равно 10 м. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания, и вычислить его объем.  2. Секущая плоскость проведена на расстоянии 6 см от центра шара. Радиус сечения равен 8 см. Найдите площадь поверхности  шара.  Билет № 24 1. Основание прямой призмы АВСА1В1С1 – треугольник АВС, в котором угол C  =   90°,  АС  =   3  см,  ВС  =   4   см.  Найдите   расстояние   от   прямой  СС1  до плоскости грани АВВ1А1  и объем призмы.  2. Радиус основания конуса равен 5 м, а тангенс угла наклона образующей к плоскости основания равен 2,4. Найдите площадь полной поверхности конуса. Билет № 25 1. Площадь сферы равна 100  м2. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 4 м. Найдите радиус сечения площадь поверхности сферы.  2. Основание пирамиды – ромб, диагонали которого равны 30 см и 40 см. Высоты   боковых   граней,   проведенные   из   вершины   пирамиды,   образуют   с высотой пирамиды углы, равные 30°. Найдите объем пирамиды. 7. Критерии оценивания: Оценка «Отлично» «Хорошо» «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно»             Обоснование оценивания           Все задания выполнены правильно  Правильно выполнены любые не менее 80% заданий Правильно выполнены любые не менее 66% заданий           Правильно выполнено менее 66% заданий 8. Литература: Для студентов 1.Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред.   проф. образования   /М.И.Башмаков.   –   8­е   изд.,   стер.   –   М.:   Издательский   центр «Академия», 2015. – 256 с. 2.Башмаков М.И. Математика: Электронный учеб. метод. комплекс для студ. учреждений сред. проф. образования/М.И.Башмаков. – 2­е изд., М., 2015. Для преподавателей 1.Башмаков М.И. Математика: кн. для преподавателя: методическое пособие. /М.И.Башмаков. – 8­е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия»,  – М., 2014. 2.Башмаков М.И., Цыганов Ш.И. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ/М.И.Башмаков. – 5­е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», – М., 2015. Интернет ­ ресурсы  fcior.edu.ru  (Информационные,   тренировочные   и   контрольные 1.www. материалы). 2.www. school­collection.edu.ru (Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов). 3.Сайт Южно­Уральского многопрофильного колледжа – http://www.suvc.ru/, учебный   портал   колледжа   АСУ  ProCollege,   электронный   курс   УД «Математика» ЮК. ПСО (01, 02).  Подготовила: Кондратьева Евдокия Андреевна, преподаватель высшей  квалификационной категории ГБПОУ «Южно­Уральский многопрофильный  колледж»