Практико-ориентированные задачи по теме "Признаки равенства прямоугольных треугольников" для 7 класса

Практико-ориентированные задачи по теме "Признаки равенства прямоугольных треугольников" для 7 класса

1.     Задача: Докажите, что если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2.     Задача:  Могут ли два прямоугольных треугольника быть равными, если у них равны только гипотенузы? Почему?

3.     Задача: В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°. Какой катет лежит напротив этого угла, если гипотенуза равна 10 см?

4.     Задача:  Два прямоугольных треугольника имеют равные площади. Обязательно ли они равны?

5.     Задача:  Два прямоугольных треугольника имеют равные периметры. Обязательно ли они равны?

6.     Задача: В равнобедренном треугольнике проведена высота к основанию. Докажите, что получившиеся прямоугольные треугольники равны.

7.     Задача: Даны два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой. Один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго треугольника. Равны ли эти треугольники?

8.     Задача: В прямоугольном треугольнике проведена медиана к гипотенузе. Докажите, что образовавшиеся треугольники, один из которых прямоугольный, равнобедренные.

9.     Задача: Докажите, что если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

10. Задача: В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки 3 и 5 см. Равны ли треугольники, образованные биссектрисой?

Решение:

1.     Решение: (Доказательство с использованием теоремы о сумме углов треугольника и признака равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам).

2.     Решение: Нет, не могут. Нужна дополнительная информация: либо катет, либо острый угол.

3.     Решение: Нельзя решить без информации о равенстве треугольников.  (В прямоугольном треугольнике напротив угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, т.е. 5 см. Но это не задача на признаки равенства)

4.     Решение: Нет, не обязательно.

5.     Решение: Нет, не обязательно.

6.     Решение: Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и биссектрисой.  Значит, у образовавшихся прямоугольных треугольников равны катеты (половина основания) и гипотенузы (боковые стороны равнобедренного треугольника).  Поэтому треугольники равны по катету и гипотенузе.

7.     Решение: Да, по гипотенузе и острому углу.

8.      Решение: Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. => прямоугольный треугольник с медианой будет равнобедренным, и второй тоже будет равнобедренным.

9.     Решение: (Доказательство с использованием теоремы о сумме углов треугольника и признака равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.)

10. Решение: Нет, они не равны. Если бы они были равны, то это был бы равнобедренный треугольник, а в равнобедренном треугольнике биссектриса - это и медиана. Здесь катет поделился на отрезки разной длины, а значит, треугольники не равны.