Презентация " Задание №24 ОГЭ по математике"

Ефремова Галия Кунтуреевна,
Учитель математики
МБОУ Академического лицея
г.Томска им.Г.А.Псахье



Томск -2020

Задача 1

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 490, 690 и 620.

Окружность , вписанная в треугольник, должна дать три пары отрезков касательных, проведенных из вершин треугольников;
Эти отрезки равны;
Если есть равные отрезки, то должны быть и равнобедренные треугольники;
Если есть равнобедренные треугольники, то должны быть равные углы.

ВМ=ВК
СК=СР
АР=АМ

По свойству касательных,
проведенных из одной точки

ВМ=ВК
СК=СР
АР=АМ

По свойству касательных,
проведенных из одной точки

2.

4.

5.

Ответ:

Задача 2

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Дано: ABCD – трапеция,
АD, BC – основания,
MN – ср.линия
AC=7, BD=15, MN=10
Найти: S трапеции

Если известна длина средней линии, то можно найти сумму длин оснований трапеции;
Для нахождения площади трапеции необходимо найти высоту трапеции или расстояние между основаниями BC и AD

Сделаем дополнительное построение. Через вершину D проведем прямую DF параллельно АС и продлим ВС за точку С.

2. Получили четырехугольник ACFD, у которого

3. Рассмотрим

BF=BC+CF=2MN=20,

BD=15, FD=7, DH- высота или расстояние
между прямыми BC и AD

Найдем площадь этого треугольника
двумя способами:
1. По формуле Герона

2. По классической, через сторону
и проведенную к ней высоту

,

4.

Треугольники ABD и CDF равновеликие,
Так как AD=CF и DH- высота.
Поэтому

Задача 3

Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС относится к длине стороны АВ как 7:10. Найдите отношение площади треугольника АКМ к площади треугольника АВС.

Если дана биссектриса, то она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника;
Если треугольники имеют равные углы, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих эти углы;
Медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Введем обозначения пропорциональных отрезков для каждой из сторон: АВ :через x,
BC – z, BM – y, AC – t.
Тогда получаем

Задача 4

В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру. Прямые AD и ВC перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.

Если есть середины сторон, то надо искать средние линии треугольников или трапеции;
Средние линии параллельны основаниям и равны их половине ;
Если есть пары параллельных отрезков, то могут появиться параллелограммы.

МК – средняя линия АВС МК II BC,
NK - средняя линия АСD NК II AD
NP - средняя линия ВСD NP II BC,

4. Из п.1 и п.3 MK II NP , MK=NP
MKNP - параллелограмм

5. Из п.1 и п.2 и условия , ВС AD
MKNP – прямоугольник с диагоналями
MN и KP MN =КР=1м ( по св-ву
диагоналей прямоугольника)

Ответ: КР =1 м

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке. Пусть ОА = а, ОВ = b, OC= c, OD= d

Тогда координаты точек
A
B
C
D

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке. Пусть ОА = а, ОВ = b, OC= c, OD= d

Тогда координаты точек
A(a;0)
B (0;b)
C(0;c)
D(d;0)

Найдем координаты точек N, M, K, P.

Аналогично находим координаты К и Р

По формуле длины отрезка находим
длины отрезков MN и КР. Получаем

Ответ: КР =1 м

MN=KP, KP= 1м