Презентация

9.2.3.9 шексіз кемімелі геометриялық прогрессия қосындысының формуласын есептер шығаруда қолдану.

математикалық моделін құрады;
шексіз кемімелі геометриялық прогрессия қосындысының формуласын есептер шығаруда қолданады;
есептің шартына сәйкес алынған нәтижеге талдау жасайды.

https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series-new/bc-10-2/a/proof-of-infinite-geometric-series-formula

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Геометриялық прогрессияның төртінші мүшесі 1,08 тең, ал жетіншісі 0,23328 тең.
Геометриялық прогрессия кемімелі болатынын көрсетіңіз.
Геометриялық прогрессияның қосындысын табыңыз.

𝑏 4 𝑏𝑏 𝑏 4 4 𝑏 4 =1.08 → 𝑏𝑏 𝑞 3 𝑞𝑞 𝑞 3 3 𝑞 3 =1.08 𝑏 7 𝑏𝑏 𝑏 7 7 𝑏 7 =0.23328 → 𝑏𝑏 𝑞 6 𝑞𝑞 𝑞 6 6 𝑞 6 =0.23328
Бөлеміз:
𝑞 3 𝑞𝑞 𝑞 3 3 𝑞 3 =0.216 ∴𝑞𝑞=0.6
Прогрессия шексіз кемімелі себебі 0.6 0.6 0.6 <1.

𝑏𝑏= 1.08 𝑞 3 1.08 1.08 𝑞 3 𝑞 3 𝑞𝑞 𝑞 3 3 𝑞 3 1.08 𝑞 3 = 1.08 0.216 1.08 1.08 0.216 0.216 1.08 0.216 =5
∴ 𝑆 ∞ = 5 1−0.6 =12.5

? a

? b

Геометриялық прогрессияда бірінші мүшесі 𝑎𝑎 тең, ал еселігі 𝑟𝑟. Белгілі 𝑆 4 𝑆𝑆 𝑆 4 4 𝑆 4 =15 және 𝑆 ∞ 𝑆𝑆 𝑆 ∞ ∞ 𝑆 ∞ =16.
a) 𝑟𝑟 мүмкін мәндерін табыңыз.
b) Геометриялық прогрессияның барлық мүшелері оң екенін ескеріп, 𝑎𝑎 мәнін анықтаңыз.

𝑆 4 𝑆𝑆 𝑆 4 4 𝑆 4 =15 → 𝑎 1− 𝑟 4 1−𝑟 𝑎𝑎 1− 𝑟 4 1− 𝑟 4 𝑟𝑟 𝑟 4 4 𝑟 4 1− 𝑟 4 𝑎 1− 𝑟 4 1−𝑟 1−𝑟𝑟 𝑎 1− 𝑟 4 1−𝑟 =15 (1)

𝑆 ∞ 𝑆𝑆 𝑆 ∞ ∞ 𝑆 ∞ =16 → 𝑎 1−𝑟 𝑎𝑎 𝑎 1−𝑟 1−𝑟𝑟 𝑎 1−𝑟 =16 (2)
𝑎 1−𝑟 𝑎𝑎 𝑎 1−𝑟 1−𝑟𝑟 𝑎 1−𝑟 = 16 (1) теңдеуге қоямыз:
16 1− 𝑟 4 1− 𝑟 4 𝑟𝑟 𝑟 4 4 𝑟 4 1− 𝑟 4 =15
Осыдан: 𝑟𝑟=± 1 2 1 1 2 2 1 2

Барлық мүшелері оң болғандықтан 𝑟𝑟= 1 2 1 1 2 2 1 2 , ∴𝑎𝑎=16 1− 1 2 1− 1 2 1 1 2 2 1 2 1− 1 2 =8

? a

? b

?

?

?

Геометриялық прогрессияның екінші және үшінші мүшелері сәйкесінше 192 және 144 тең. Геометриялық прогрессияның:
еселігін;
бірінші мүшесін;
қосындысын табыңыз.

2

Есептеңіздер:

1) 1 2 1 1 2 2 1 2 + 3 8 3 3 8 8 3 8 + 9 32 9 9 32 32 9 32 +…

?

2)3− 3 2 3 3 2 2 3 2 + 3 4 3 3 4 4 3 4 − 3 8 3 3 8 8 3 8 …

2

?

3) 𝑛=1 ∞ 5 1 2 𝑛−1 𝑛𝑛=1 𝑛=1 ∞ 5 1 2 𝑛−1 ∞ 𝑛=1 ∞ 5 1 2 𝑛−1 5 1 2 𝑛−1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 𝑛−1 𝑛𝑛−1 1 2 𝑛−1 𝑛=1 ∞ 5 1 2 𝑛−1

10

?

Есептеңіздер:

Егер 𝑏 5 𝑏𝑏 𝑏 5 5 𝑏 5 =4 және 𝑞𝑞= 1 2 1 1 2 2 1 2 болса, геометриялық прогрессияның бірінші мүшесін табыңыз.