Презентация "Дифференциал в приближённых вычислениях"

Определение дифференциала функции.
Дифференциалом функции y = f(x) (или дифференциалом первого порядка) называется произведение производной этой функции 𝑓 ′ 𝑓𝑓 𝑓 ′ ′ 𝑓 ′ (x)на произвольное приращение аргумента ∆𝑥𝑥:
dy = 𝒇 ′ 𝒇𝒇 𝒇 ′ ′ 𝒇 ′ (x) ∆𝒙𝒙
Дифференциал аргумента равен приращению аргумента: dx=∆𝑥𝑥. Поэтому дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал аргумента: dy = 𝒇 ′ 𝒇𝒇 𝒇 ′ ′ 𝒇 ′ (x) 𝒅𝒅𝒙𝒙.
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка: 𝒅 𝟐 𝒅𝒅 𝒅 𝟐 𝟐𝟐 𝒅 𝟐 y= 𝒇 " 𝒇𝒇 𝒇 " " 𝒇 " (x)d 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 , т.е. дифференциал второго порядка функции y = f(x) равен произведению второй производной этой функции на квадрат дифференциала аргумента.

Применение дифференциала в приближённых вычислениях.
Вычисление приближённого числового значения функции:
Пусть x – приближённое значение аргумента (измеряемой величины), ∆𝑥𝑥 - абсолютная погрешность величины x, ∆𝑥 𝑥 ∆𝑥𝑥 ∆𝑥 𝑥 𝑥𝑥 ∆𝑥 𝑥 относительная погрешность величины x, а x + ∆𝑥𝑥 – истинное значение измеряемой величины (∆𝑥𝑥 может быть как положительным, так и отрицательным числом).
Тогда x определяет приближённое значение функции f(x), а x + ∆𝑥𝑥 - её истинное значение f (x + ∆𝑥𝑥 ), откуда следует, что абсолютная погрешность функции ∆𝑦 ∆𝑦𝑦 ∆𝑦 = 𝑓(x + ∆𝑥)−𝑓(𝑥) 𝑓𝑓(x + ∆𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓(x + ∆𝑥)−𝑓(𝑥) .
При малых значениях ∆𝑥𝑥 (близких к нулю) величину ∆𝑦𝑦 можно приближённо заменить дифференциалом dy:
∆𝒚𝒚 =𝒇𝒇 𝒙+∆𝒙 𝒙𝒙+∆𝒙𝒙 𝒙+∆𝒙 -f(x)≈ 𝒇 ′ 𝒇𝒇 𝒇 ′ ′ 𝒇 ′ (x)dx=dy.
Полагая ∆𝑦𝑦 ≈𝑑𝑑𝑦𝑦, получим выражение для относительной погрешности 𝜀𝜀 величины y: 𝜀𝜀= 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑦

Формулы для приближённых вычислений:
Формула для приближённого вычисления степеней:
𝒙+∆𝒙 𝒏 𝒙+∆𝒙 𝒙𝒙+∆𝒙𝒙 𝒙+∆𝒙 𝒙+∆𝒙 𝒏 𝒏𝒏 𝒙+∆𝒙 𝒏 ≈ 𝒙 𝒏 𝒙𝒙 𝒙 𝒏 𝒏𝒏 𝒙 𝒏 +𝒏𝒏 𝒙 𝒏−𝟏 𝒙𝒙 𝒙 𝒏−𝟏 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 ∆𝒙𝒙.
2. Формула для приближённого вычисления корней:
𝒏 𝒙+∆𝒙 𝒏𝒏 𝒏 𝒙+∆𝒙 𝒙𝒙+∆𝒙𝒙 𝒏 𝒙+∆𝒙 ≈ 𝒏 𝒙 𝒏𝒏 𝒏 𝒙 𝒙𝒙 𝒏 𝒙 + ∆𝒙 𝒏 𝒏 𝒙 𝒏−𝟏 ∆𝒙𝒙 ∆𝒙 𝒏 𝒏 𝒙 𝒏−𝟏 𝒏𝒏 𝒏 𝒙 𝒏−𝟏 𝒏𝒏 𝒏 𝒙 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 𝒙𝒙 𝒙 𝒏−𝟏 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 𝒏 𝒙 𝒏−𝟏 ∆𝒙 𝒏 𝒏 𝒙 𝒏−𝟏 .
3. Формула для приближённого вычисления обратных величин:
𝟏 𝒙+∆𝒙 ≈ 𝟏 𝒙 − ∆𝒙 𝒙 𝟐 .
4. Формулы для приближённого вычисления синусов и тангенсов малых углов:
sin ∆𝒙≈∆𝒙; 𝒕𝒈∆𝒙≈∆𝒙 sin sin ∆𝒙≈∆𝒙; 𝒕𝒈∆𝒙≈∆𝒙 ∆𝒙𝒙≈∆𝒙𝒙; 𝒕𝒕𝒈𝒈∆𝒙𝒙≈∆𝒙𝒙 sin ∆𝒙≈∆𝒙; 𝒕𝒈∆𝒙≈∆𝒙

Примеры вычисления приближённых величин.
1. Найти дифференциал первого порядка функции y= 𝑥 3 −2 4 𝑥 3 −2 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 −2 𝑥 3 −2 𝑥 3 −2 4 4 𝑥 3 −2 4 .
Воспользуемся соотношением dy = 𝒇 ′ 𝒇𝒇 𝒇 ′ ′ 𝒇 ′ (x) 𝒅𝒅𝒙𝒙:
𝑑𝑑𝑦𝑦= 𝑥 3 −2 4 ′ 𝑥 3 −2 4 𝑥 3 −2 4 𝑥 3 −2 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 −2 𝑥 3 −2 𝑥 3 −2 4 4 𝑥 3 −2 4 𝑥 3 −2 4 𝑥 3 −2 4 ′ ′ 𝑥 3 −2 4 ′ 𝑑𝑑𝑥𝑥=4 𝑥 3 −2 3 𝑥 3 −2 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 −2 𝑥 3 −2 𝑥 3 −2 3 3 𝑥 3 −2 3 ∙3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥=12 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 3 −2 3 𝑥 3 −2 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 −2 𝑥 3 −2 𝑥 3 −2 3 3 𝑥 3 −2 3 𝑑𝑑𝑥𝑥.
2. Найти приближённое значение приращения функции y= 2𝑥 3 2𝑥𝑥 2𝑥 3 3 2𝑥 3 +5𝑥𝑥+1 при x = 3 и ∆𝑥𝑥=0,001:
Имеем ∆𝑦𝑦≈𝑑𝑑𝑦𝑦= 6 𝑥 2 +5 6 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +5 6 𝑥 2 +5 𝑑𝑑𝑥𝑥= 6∙9+5 6∙9+5 6∙9+5 ∙0,001=0,059.
3. Найти приближённое значение функции 𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +3𝑥𝑥+1 при x = 3,02:
Полагая x= 3 и ∆𝑥𝑥=0,02
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(3)= 3 2 3 3 2 2 3 2 +3∙3+1=19
𝑓 ′ 𝑓𝑓 𝑓 ′ ′ 𝑓 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =2𝑥𝑥+3
𝑓 ′ 𝑓𝑓 𝑓 ′ ′ 𝑓 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 ∆𝑥𝑥= 𝑓 ′ 𝑓𝑓 𝑓 ′ ′ 𝑓 ′ 3 3 3 ∆𝑥𝑥=(2∙3+3)∙0,02=0,18
f(3,02) = 19+0,18 = 19,18

4. Найти относительную погрешность при вычислении длины окружности, если r = 50 см, ∆𝑟𝑟=0,5 см.
Формула длины окружности l = 2 𝜋𝑅 𝜋𝜋𝑅𝑅 𝜋𝑅 𝜋𝑅
Относительную погрешность находим по формуле 𝜀𝜀= ∆𝑙 𝑙 ∆𝑙𝑙 ∆𝑙 𝑙 𝑙𝑙 ∆𝑙 𝑙 , где
∆l= 2πR ′ 2πR 2πR 2πR 2πR ′ ′ 2πR ′ ∙∆r=2π∙∆r=2π∙0,5
l=2πR=2π∙50
𝜀𝜀= 2𝜋∙0,5 2𝜋∙50 2𝜋𝜋∙0,5 2𝜋∙0,5 2𝜋∙50 2𝜋𝜋∙50 2𝜋∙0,5 2𝜋∙50 = 0,01или 𝜀𝜀=1%
5. Найти приближённое значение величины 1/0,99:
Так как x = 1 и ∆𝑥𝑥=0,01, то 1 𝑥−∆𝑥 1 1 𝑥−∆𝑥 𝑥𝑥−∆𝑥𝑥 1 𝑥−∆𝑥 ≈ 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 + ∆𝑥 𝑥 2 ∆𝑥𝑥 ∆𝑥 𝑥 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ∆𝑥 𝑥 2 .
Следовательно, 1 0,99 1 1 0,99 0,99 1 0,99 = 1 1−0,01 1 1 1−0,01 1−0,01 1 1−0,01 ≈ 1 1 1 1 1 1 1 1 + 0,01 1 2 0,01 0,01 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 0,01 1 2 =1,01.
6. Найти приближённое значение степени 9,06 2 9,06 9,06 9,06 9,06 2 2 9,06 2 :
Используем формулу 𝒙+∆𝒙 𝒏 𝒙+∆𝒙 𝒙𝒙+∆𝒙𝒙 𝒙+∆𝒙 𝒙+∆𝒙 𝒏 𝒏𝒏 𝒙+∆𝒙 𝒏 ≈ 𝒙 𝒏 𝒙𝒙 𝒙 𝒏 𝒏𝒏 𝒙 𝒏 +𝒏𝒏 𝒙 𝒏−𝟏 𝒙𝒙 𝒙 𝒏−𝟏 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 ∆𝒙𝒙, где n = 2, x = 9, ∆x = 0,06.
Тогда 9,06 2 9,06 9,06 9,06 9,06 2 2 9,06 2 = 9+0,06 2 9+0,06 9+0,06 9+0,06 9+0,06 2 2 9+0,06 2 ≈ 9 2 9 9 2 2 9 2 +2∙ 9 2−1 9 9 2−1 2−1 9 2−1 ∙0,06=81+1,08=82,08.