Презентация к уроку алгебры и началам анализа в 11 классе на тему: "Наибольшее и наименьшее значение функции"

Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических точек.

Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке.

Значит,

наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.

функция возрастает

функция убывает

Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек.

Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры

Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из полученных значений.

1) y(0) = 0

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]

1) y / = 3x2 – 27

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

3) y(0) = 0

Предположим, что функция f
имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума.



Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение.





Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из полученных значений.

1) y(0) = 4

2) y / = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4
на отрезке [– 2; 0]

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ -3; 3 ]

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из
полученных значений.

y(-3) = 11

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

y(-3) = -25

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [-10; 1 ]

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [-10; 1 ]

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 3; 10 ]

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e4 > 5.
2). Второе число – отрицательноe.
3). Значит, наибольшее число 1.

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [ 1; 7 ]

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Наименьшее число – 4, т.к. первые два положительные.

Найдите наибольшее значение функции
y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0]

y = 5ln(x+5) – 5x

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Найдите наибольшее значение функции

y = ln(11x) – 11x + 9 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Найдите наименьшее значение функции

y = 2х2 – 5x + lnx – 3 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Найдите наибольшее значение функции


y = 7cosx +16x – 2 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Критических точек нет.
Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов отрезка.

Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как?

Найдите наибольшее значение функции


y = 10sinx – x + 7 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Найдите наименьшее значение функции


y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Найдите наибольшее значение функции

y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Найдите наибольшее значение функции

y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Найдите наименьшее значение функции

y = 11 + – х – cosx на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Найдите наименьшее значение функции

y = 4tgx – 4x – 4 + 5 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Найдите наибольшее значение функции

y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.