Презентация к уроку алгебры в 9 классе. Тема "Формула суммы первых п членов арифметической прогрессии"

16.02.2023Урок алгебры в 9 классе

Вступление

Рассмотрим  задачу:
Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно.

Дано: 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.
Найти: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.
Решение
1+2+3+…+49+50+51+52+…+98 + 99 + 100

S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=
= 101+101+101+…+101=
=101 ∙ 50=5050.
Ответ: 5050.

Последовательность натуральных чисел 
1, 2, 3, …, 98, 99, 100
является арифметической прогрессией:
а1=1, d=1.

Мы нашли сумму первых ста натуральных чисел, т.е. сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Рассмотренное решение предложил великий математик Карл Фридрих Гаусс, живший в 19 веке. Задача была им решена в возрасте 5-ти лет.

Историческая справка: Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855) — немецкий математик, механик, физик и астроном. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных сторон одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 101∙50=5050.

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии.
Обозначим сумму первых n-членов арифметической прогрессии 
Sn и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором в порядке убывания:

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом равна a1 + an, число таких пар равно n, поэтому сложив почленно равенства (1) и (2), получим:

Разделим обе части этого равенства на 2 и получим формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии:

Этой формулой удобно пользоваться, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии.

Но можно вывести еще одну формулу,
для этого вместо an подставим формулу n-го члена

Получим:

аn = а1 + d (n-1)

Для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии, используя эту формулу, достаточно знать первый член и разность арифметической прогрессии.

Задача 1.
Дано:  𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =4, d=3, n=20.
Найти:  𝑆 20 𝑆𝑆 𝑆 20 20 𝑆 20
Решение
Общая формула: 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 2 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 ∙ n

Найдем    𝑎 20 𝑎𝑎 𝑎 20 20 𝑎 20 по формуле n–го члена арифметической прогрессии: 

 


Тогда   𝑆 20 𝑆𝑆 𝑆 20 20 𝑆 20 = 𝑎 1 + 𝑎 20 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 20 𝑎𝑎 𝑎 20 20 𝑎 20 𝑎 1 + 𝑎 20 2 2 𝑎 1 + 𝑎 20 2 ∙20 = 4+61 2 4+61 4+61 2 2 4+61 2 ∙ 20=
 
Ответ:  𝑆 20 𝑆𝑆 𝑆 20 20 𝑆 20 =650

аn = а1 + (n-1) d

а20 = а1 + 19 d = 4+19 ∙ 3=

61

65 ∙20 2 65 ∙20 65 ∙20 2 2 65 ∙20 2 =

650

Задача 2.
Дано:  𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =−1, 𝑎 30 𝑎𝑎 𝑎 30 30 𝑎 30 = 86.
Найти:  𝑆 15 𝑆𝑆 𝑆 15 15 𝑆 15 , 𝑆 30 𝑆𝑆 𝑆 30 30 𝑆 30
Решение
Общая формула: 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 2 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 ∙ n

Найдем разность арифметической прогрессии из формулы для 𝑎 30 𝑎𝑎 𝑎 30 30 𝑎 30 :
а30 = а1 + 29d
86 = −1 + 29d
29d=87
d=3
Найдем    𝑎 15 𝑎𝑎 𝑎 15 15 𝑎 15 по формуле n–го члена арифметической прогрессии: 


Тогда   𝑆 15 𝑆𝑆 𝑆 15 15 𝑆 15 = 𝑎 1 + 𝑎 15 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 15 𝑎𝑎 𝑎 15 15 𝑎 15 𝑎 1 + 𝑎 15 2 2 𝑎 1 + 𝑎 15 2 ∙ 15= −1+41 2 −1+41 −1+41 2 2 −1+41 2 ∙ 15=

𝑆 30 𝑆𝑆 𝑆 30 30 𝑆 30 = 𝑎 1 + 𝑎 30 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 30 𝑎𝑎 𝑎 30 30 𝑎 30 𝑎 1 + 𝑎 30 2 2 𝑎 1 + 𝑎 30 2 ∙ 30= −1+86 2 −1+86 −1+86 2 2 −1+86 2 ∙ 30=

Ответ:  𝑆 15 𝑆𝑆 𝑆 15 15 𝑆 15 =300, 𝑆 30 𝑆𝑆 𝑆 30 30 𝑆 30 =1275

а15 = а1 + 14 d = −1+14 ∙ 3=

41

40 ∙15 2 40 ∙15 40 ∙15 2 2 40 ∙15 2 =

300

1275

85 ∙30 2 85 ∙30 85 ∙30 2 2 85 ∙30 2 =

Задача 3.
Дано:  𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =7, d=4, n=13.
Найти:  𝑆 13 𝑆𝑆 𝑆 13 13 𝑆 13
Решение
Общая формула: 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 2𝑎 1 +𝑑(𝑛−1) 2 2𝑎 1 2𝑎𝑎 2𝑎 1 1 2𝑎 1 +𝑑𝑑(𝑛𝑛−1) 2𝑎 1 +𝑑(𝑛−1) 2 2 2𝑎 1 +𝑑(𝑛−1) 2 ∙ n

 
Тогда   𝑆 13 𝑆𝑆 𝑆 13 13 𝑆 13 = 2𝑎 1 +12𝑑 2 2𝑎 1 2𝑎𝑎 2𝑎 1 1 2𝑎 1 +12𝑑𝑑 2𝑎 1 +12𝑑 2 2 2𝑎 1 +12𝑑 2 ∙13 = 2∙7+12∙4 2 2∙7+12∙4 2∙7+12∙4 2 2 2∙7+12∙4 2 ∙ 13=
 
Ответ:  𝑆 13 𝑆𝑆 𝑆 13 13 𝑆 13 =403

14+48 ∙13 2 14+48 14+48 14+48 ∙13 14+48 ∙13 2 2 14+48 ∙13 2 =

62 ∙13 2 62 ∙13 62 ∙13 2 2 62 ∙13 2 =

403

Задача 4. Найти сумму всех двузначных чисел, кратных 4.
Решение

Множество удовлетворяющее условию задачи:
12, 16, 20, 24, …96 12, 16, 20, 24, …96 12, 16, 20, 24, …96 .
Значит, задана арифметическая прогрессия, в которой
𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =12, 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 =16, 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 =96 и d= 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 − 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 = 16−12=4.

Найдем количество членов прогрессии n по формуле для 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 :
𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +(n−1)d
96=12+(n−1) ∙ 4
96=12+4n−4
4n=88
n=22.
Значит, n=22.
Используем формулу 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 2𝑎 1 +𝑑(𝑛−1) 2 2𝑎 1 2𝑎𝑎 2𝑎 1 1 2𝑎 1 +𝑑𝑑(𝑛𝑛−1) 2𝑎 1 +𝑑(𝑛−1) 2 2 2𝑎 1 +𝑑(𝑛−1) 2 ∙n и найдем 𝑆 22 𝑆𝑆 𝑆 22 22 𝑆 22 :
𝑆 22 𝑆𝑆 𝑆 22 22 𝑆 22 = 2𝑎 1 +21𝑑 2 2𝑎 1 2𝑎𝑎 2𝑎 1 1 2𝑎 1 +21𝑑𝑑 2𝑎 1 +21𝑑 2 2 2𝑎 1 +21𝑑 2 ∙22 = 2∙12+21∙4 2 2∙12+21∙4 2∙12+21∙4 2 2 2∙12+21∙4 2 ∙ 22=
 
Ответ:  𝑆 22 𝑆𝑆 𝑆 22 22 𝑆 22 =1188

24+84 ∙22 2 24+84 24+84 24+84 ∙22 24+84 ∙22 2 2 24+84 ∙22 2 =

1188

Задача 5.
Дано: 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =2, d=8
Найти: S= 𝑎 10 𝑎𝑎 𝑎 10 10 𝑎 10 + 𝑎 11 𝑎𝑎 𝑎 11 11 𝑎 11 + 𝑎 12 𝑎𝑎 𝑎 12 12 𝑎 12 +…+ 𝑎 24 𝑎𝑎 𝑎 24 24 𝑎 24 + 𝑎 25 𝑎𝑎 𝑎 25 25 𝑎 25
Решение
Найдем сумму членов арифметической прогрессии с 10 по 25 члены включительно.
Запишем формулу для вычисления суммы первых 25 членов прогрессии в виде:
𝑆 25 𝑆𝑆 𝑆 25 25 𝑆 25 = ( 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +…+ 𝑎 9 𝑎𝑎 𝑎 9 9 𝑎 9 ) +( 𝑎 10 𝑎𝑎 𝑎 10 10 𝑎 10 + 𝑎 11 𝑎𝑎 𝑎 11 11 𝑎 11 + 𝑎 12 𝑎𝑎 𝑎 12 12 𝑎 12 +…+ 𝑎 24 𝑎𝑎 𝑎 24 24 𝑎 24 + 𝑎 25 𝑎𝑎 𝑎 25 25 𝑎 25 )=

Отсюда получим формулу для вычисления суммы с 10 по 25 члены прогрессии включительно:
S= 𝑆 25 𝑆𝑆 𝑆 25 25 𝑆 25 − 𝑆 9 𝑆𝑆 𝑆 9 9 𝑆 9 .

Найдем 𝑆 9 и 𝑆 25 :
𝑆 9 𝑆𝑆 𝑆 9 9 𝑆 9 = 2 𝑎 1 +8𝑑 2 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +8𝑑𝑑 2 𝑎 1 +8𝑑 2 2 2 𝑎 1 +8𝑑 2 ∙ 9 =

𝑆 25 𝑆𝑆 𝑆 25 25 𝑆 25 = 2 𝑎 1 +24𝑑 2 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +24𝑑𝑑 2 𝑎 1 +24𝑑 2 2 2 𝑎 1 +24𝑑 2 ∙ 25 =

Ответ:  S = 2144

S = 2450 − 306=

1. Изучить п.26 учебника2. Решить упражнения №603(а), 604(а), 605(а), 608(а), 609(а)