Презентация к уроку по теме "Примеры комбинаторных задач", 9 класс

Комбинаторика является древнейшей и, возможно, ключевой ветвью математики. В математике есть задачи, в которых требуется из элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, составленных по определённому правилу. На практике часто приходится делать перебор определённого количества данных.

Например, учителю приходится распределять различные виды работ между группами учащихся, офицеру выбирать из солдат наряд, агроному размещать культуры на полях, завучу составлять расписание и т.д. В данном случае речь идёт о всевозможных комбинациях объектов.

Задачи такого типа называются комбинаторными задачами. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

Как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе в XVIII веке. Некоторые комбинаторные задачи решали в Индии во II веке до н. э., в Древнем Китае, позднее в Римской империи.

В 1666 году Готфрид Вильгельм Лейбниц написал одно из своих многочисленных сочинений — «Об искусстве комбинаторики».

Он создал комбинаторику как науку.

Комбинаторика – это раздел
математики, в котором изучаются
вопросы выбора или расположения
элементов множества в
соответствии с заданными правилами.

Другими словами это раздел математики,
в котором изучаются вопросы о том,
сколько различных комбинаций,
подчинённых тем или иным условиям,
можно составить из заданных объектов.

Мы прибегаем к помощи комбинаторики, когда речь идет о данных как о наборе последовательностей, которые состоят из определенных элементов, расположенных в определенном порядке. 

автомобильные номера — набор букв и цифр в определенном порядке;
карточные игры — наборы карт, которые могут находиться у вас на руках;
расписание занятий — варианты порядка проведения уроков. 

узнать общее количество возможных автомобильных номеров;
оценить шанс нахождения бубновой десятки на руках у вашего соперника;
посмотреть на другие возможные варианты расписания, которое можно было бы составить и поудобнее.

Пусть A = {a1, . . . , an} – множество из n элементов.
Набор элементов ai1 , . . . , aim , m ≥ 1, называется выборкой
объема m из n элементов, или (n,m) – выборкой.

решение методом перебора;
решение с помощью дерева возможных вариантов;
решение с помощью таблиц;
решение с помощью комбинаторных правил сложения и умножения;
решение с помощью графов.

№ 718(а). Составьте все возможные двузначные числа из указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более одного раза:
1, 6, 8.
Решение
16,

18,

61,

68,

81,

86.

№ 718(б). Составьте все возможные двузначные числа из указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более одного раза:
0, 3, 4.

30,

34,

40,

43,

№ 720. Используя цифры 0, 2, 4, 6, составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются.

Ответ: 204,

206,

240,

246,

260,

264,

402,

406,

420,

426,

460,

462,

602,

604,

620,

624,

640,

642.

Выбор напитка – выбор объекта А

Выбор каши - выбор объекта В

Объект А имеет 3 варианта выбора, а объект В - 4,
вариантов выбора пары объектов А и В 3•4=12.

 Если элемент A можно выбрать n способами,
и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами,
то пару (A, B), т.е. A и B можно выбрать n·m способами.

 Если элемент A можно выбрать n способами,
а элемент B можно выбрать m способами,
то один из элементов A или B можно выбрать n+m способами.

Задача. В нашей школе в 9 классе учатся 9 юношей и 8 девушек. Сколькими способами можно выбрать:1) одного ученика из класса;2) пару учащихся – юношу и девушку?

№ 727. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Граф — математическая абстракция реальной системы любой природы, объекты которой обладают парными связями. 

Графы находят широкое применение в современной науке и технике.
Они используются и в естественных науках (физике и химии) и в социальных науках (например, социологии),
но наибольших масштабов применение графов получило в информатике и сетевых технологиях.

ГРАФ – совокупность объектов со связями между ними.

Объекты представляются как вершины, или узлы графа,

а связи – как дуги, или ребра.

Задача 1. Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Ответ:10 рукопожатий

Задача 2. Из города А в город В можно добраться четырьмя разными способами, а из города В в город С можно добраться тремя способами. Сколькими способами можно добраться из города А в город С через город В?

По правилу произведения получаем,
что добраться из города А в город С через город В
можно 4∙3=12 способами.

1. Посмотреть видео:
https://www.youtube.com/watch?v=42gmCTdKwH8
2. Прочитать п.30, рассмотреть решение примеров 1-3 (стр.182-185 учебника)
3. Решить №714, 719(а), 726