Тема урока. Простейшие комбинации комбинаторики
Тема урока. Простейшие комбинации комбинаторики. Размещения
Урок алгебры в 9 классе
Определение Размещения Размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны
Определение
Размещения
Размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.
В размещении учитывается порядок следования предметов.
Так, например, наборы (2,1,3) и (3,2,1) являются различными
Формула для вычисления размещений:
Формула для вычисления размещений:
Количество размещений из n по m, обозначается:
и вычисляется по формуле:
Размещения из 4 элементов по 3
Размещения из 4 элементов по 3
Пример размещений
n =3 - всего объектов (различных фигур) m = 2 – выбор и перестановка объектов 3 объекта Размещение по 2 фигуры
n=3 - всего объектов (различных фигур)
m= 2 – выбор и перестановка объектов
3 объекта
Размещение по 2 фигуры
Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, 7, 8?
Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, 7, 8?
Решение
Всего цифр 5, всего цифр в трехзначном числе 3.
Ответ: 60
Задача 1.
Значит, нужно найти размещение 3 элементов из 5,
т.е. m=3, n = 5.
= 5! 2! 5! 5! 2! 2! 5! 2! =
2! ∙3∙4∙5 2! 2! ∙3∙4∙5 2! ∙3∙4∙5 2! 2! 2! ∙3∙4∙5 2! =
60
Задача 2. Завучу школы из 8 предметов: алгебра, геометрия, информатика, физика, химия,
Задача 2.
Завучу школы из 8 предметов: алгебра, геометрия, информатика, физика, химия, ОБЖ, литература, физическая культура необходимо составить расписание на один день из 5 уроков. Сколькими способами можно это сделать?
Решение
Нужно найти размещение 5 элементов из 8,
т.е. m=5, n = 8.
= 8! 3! 8! 8! 3! 3! 8! 3! =
3! ∙4∙5∙6∙7∙8 3! 3! ∙4∙5∙6∙7∙8 3! ∙4∙5∙6∙7∙8 3! 3! 3! ∙4∙5∙6∙7∙8 3! =
6720
Ответ: 6720
Партия состоит из 25 человек. Требуется выбрать председателя, заместителя, секретаря и казначея
Партия состоит из 25 человек. Требуется выбрать председателя, заместителя, секретаря и казначея. Сколькими способами можно это сделать, если каждый член партии может занимать лишь один пост?
Задача 3.
Решение
Нужно найти размещение 4 элементов из 25,
т.е. m=4, n = 25.
= 25! 21! 25! 25! 21! 21! 25! 21! =
21! ∙22∙23∙24∙25 21! 21! ∙22∙23∙24∙25 21! ∙22∙23∙24∙25 21! 21! 21! ∙22∙23∙24∙25 21! =
303600
Ответ: 303600
Ответ : 20 Задача 4. Решение Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различны и нечетны?
Ответ: 20
Задача 4.
Решение
Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различны и нечетны?
Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
Значит, в этой задаче m=2 (т.к. числа двузначные),
n=5(из пяти нечётных цифр составляются числа).
из них пять нечётных:1, 3, 5, 7,9.
Задача 5. Решение Сколько сигналов можно подать пятью различными флажками, поднимая их в любом количестве и в произвольном порядке?
Задача 5.
Решение
Сколько сигналов можно подать пятью различными флажками, поднимая их в любом количестве и в произвольном порядке?
Один флажок можно выбрать 1 из 5 способами,
два флажка – два из пяти способами и т.д.
Тогда получим
= 5! (5−1)! 5! 5! (5−1)! (5−1)! 5! (5−1)! +
5! (5−2)! 5! 5! (5−2)! (5−2)! 5! (5−2)! +
5! (5−3)! 5! 5! (5−3)! (5−3)! 5! (5−3)! +
5! (5−4)! 5! 5! (5−4)! (5−4)! 5! (5−4)! +
5! (5−5)! 5! 5! (5−5)! (5−5)! 5! (5−5)! =
= 5! 4! 5! 5! 4! 4! 5! 4! +
5! 3! 5! 5! 3! 3! 5! 3! +
5! 2! 5! 5! 2! 2! 5! 2! +
5! 1! 5! 5! 1! 1! 5! 1! +
5! 0! 5! 5! 0! 0! 5! 0! =
Ответ: 325
5+
20+
60+
120+
+120=
325
Задача 6. №764(б) Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их повторения) различных трехзначных чисел, которые являются кратными 5?
Задача 6. №764(б)
Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их повторения) различных трехзначных чисел, которые являются кратными 5?
Решение
Всего чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно найти по формуле размещения трех элементов из пяти.
То есть m=3, n=5.
=60
Так как необходимо, чтобы число было кратно 5, то это число может оканчиваться только на цифру 5.
Из 60 чисел кратных 5 будет пятая часть всех чисел
Тогда 60 : 5 = 12 чисел
Ответ: 12 чисел
Прочитать п.32, рассмотреть решение примеров 1-2 (стр
1. Прочитать п.32, рассмотреть решение примеров 1-2 (стр.191-193 учебника)
2. Решить №754, 755, 762, 764 (а), 767
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
