Добавить материал

и получить 10 документов
и свидетельство автора

Хованова Татьяна Петровна

Презентация на тему: "Построение графиков функций с модулем",ОГЭ задание №22

Презентации учебные
pptx
19.08.2026

Публикация педагогических разработок

Бесплатное участие. Свидетельство автора сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Добавить материал

функции с модулем .pptx

Построение графиков функций с модулем

ОГЭ задание №22

Функция с модулем

Функция с модулем – функция, включающая операцию извлечения модуля.

В зависимости от вида функции отличается график.

Функция с модулем может иметь следующие виды:
1. y = f(|x|)

2. y = |f (x)|

3. функция, формула которой включает сумму или разность нескольких модулей

График функции y = |x|

1) Если х ≥ 0, то |х| = х функция у = х, т.е. график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.

2) Если х < 0, то |х| = - х и у = - х. При отрицательных значениях аргумента х график данной функции – прямая у = -х, т.е. биссектриса второго координатного угла.

График функции y = - |x|

График функции y = - |x| получается симметричным отображением графика у = |х| относительно оси х.

График функции y = |х| + а

График функции у = |х| + а получается параллельным переносом графика у = |х| в положительном направлении оси у на а единиц отрезка при а > 0 и в отрицательном направлении на а единиц при а < 0.

График функции у = а|х|

График функции у = а|х| получается растяжением графика у = |х| вдоль оси у в а раз при а > 1 и сжатием вдоль этой оси в 1 / а раз при 0 < a < 1.

График функции у = |х+а|

График функции у = |x + a| получается параллельным переносом графика y = |x| в отрицательном направлении от оси х на |а| при а > 0 и в положительном направлении на |a| при a < 0.

Пример 1

Постройте график функции y = |x2 – x - 2|
Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Раскроем модуль и запишем функцию в виде системы:
y = x2 – x – 2, если x2 – x – 2 ≥ 0,
y = - (x2 – x – 2), если x2 – x – 2 < 0;

y = x2 – x – 2, если x ∈ (-∞; -1) U (2; +∞),
y = - x2 + x + 2, если x ∈ (-1; 2).

2) y = x2 - x - 2 при x ∈ (−∞; −1] ∪ [2; +∞) – квадратичная функция вида y = ax2 +bx +c, график функции – парабола, ветви направлены вверх, так как 𝑎 = 1, 1> 0.

x	-1	0	1	2
y	0	-2		0

Пример 1

3) 𝑦 = −x2 + x + 2, если x ∈ (−1; 2) – квадратичная функция вида 𝑦 = ax2 +bx +c, график функции – парабола, ветви направлены вниз, так как 𝑎 = −1,− 1 <0
Найдем координаты вершины параболы:
xв = -b / 2a = 1 / 2 = 0,5
yв= y (0,5) = 2,25
Найдет координаты точек параболы:

Точки (-1;0) и (2;0) выколоты, т.к. 𝑥 ∈ (−1;2).
4) Построим в одной системе координат график функции.
5) Определим наибольшее число общих точек, которые имеет прямая y=m с графиком функции:
при m 𝜖 (0; 2,25) – четыре общие точки.
Ответ: 4 общие точки.

x	-1	0	0,5	1	2
y	0	2	2,25	2	0

Пример 2

Постройте график функции y = |x|(x+2)−5x
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Раскроем модуль и запишем функцию в виде системы:
x(x+2)−5𝑥, если x ≥ 0,
−x(x +2)−5x, если x < 0;
x2−3𝑥, если x ≥0,
−x2 −7𝑥, если x < 0.
2) y = x2−3x,при 𝑥 ≥ 0, квадратичная функция вида y = ax2 +bx, график функции – парабола, ветви параболы направлены вверх, т.к. a = 1; 1 > 0.
Найдем координаты вершины параболы:
xв = -b / 2a = 3/ 2 = 1,5
yв= y (1,5) = -2,25
Координаты вершины параболы (1,5; -2,25)

Пример 2

Найдём координаты дополнительных точек:

3) y = –x2−7𝑥,если x < 0, квадратичная функция вида y = ax2 +bx , график функции – парабола, ветви параболы направлены вниз, т.к. 𝑎 = −1; 1 < 0
Найдем координаты вершины параболы:
xв = -b / 2a = 7/ -2 = -3,5
yв= y (-3,5) = 12,25
Координаты вершины параболы (−3,5; 12,25)

4) Построим в одной системе координат графики функций.
5) Необходимо по условию, прямая y = m имеет с графиком функции две общие точки:
При m = -3 – две общие точки; при m = 12,25 – две общие точки.
Ответ: при m = -3 и m = 12,25, прямая y = m имеет с графиком две общие точки.

x	0	1	1,5	2	3
y	0	-2	-2,25	-2	0

x	-1	-2	-3	-3,5	-4
y	6	10	12	12,25	12

Пример 3

Постройте график функции y = x2 - |4x + 5|
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
1)Раскроем модуль и запишем функцию в виде системы:
x2 - (4x + 5), если 4x + 5 ≥ 0,
x2 - (-4x - 5), если -4x - 5 < 0;
x2 - 4x - 5, если x ≥ -1,25,
x2 + 4x + 5, если x < -1,25.
2) y = x2 - 4x - 5, при 𝑥 ≥ -1,25, квадратичная функция вида y = ax2 + bx + c, график функции – парабола, ветви параболы направлены вверх, т.к. 𝑎 = 1; 1 > 0.
Найдем координаты вершины параболы:
xв = -b / 2a = 4/ 2 = 2
yв = y (2) = -9
Координаты вершины параболы (2; -9)

Пример 3

Найдём координаты дополнительных точек:

3) y= x2 + 4x + 5, если x < -1,25, квадратичная функция вида y = ax2 + bx + c, график функции – парабола, ветви параболы направлены вниз, т.к. 𝑎 = 1; 1 >0.
Найдем координаты вершины параболы:
xв = -b / 2a = -4/ 2 = -2
yв= y (-2) = 1
Координаты вершины параболы (-2; 1)
Найдём координаты дополнительных точек:

4) Построим в одной системе координат графики функций.
5) Необходимо по условию, прямая y = m имеет с графиком функции ровно три общие точки:
При m = 1 и m = 1,5625 – три общие точки.
Ответ:при m = 1 и m = 1,5625, прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с графиком три общие точки три общие точки.

x	-1,25	-1	2
y	1,5625	0	-9

x	-2	-3	-4
y	1	2	5

Пример 4

Постройте график функции: у = 3|x + 7| - x2 - 13х - 42
Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.
1) Раскроем модуль и запишем функцию в виде системы:
3(x+7) – x2 – 13x – 42, если x+7 ≥ 0,
-3(x+7) – x2 – 13x – 42, если x+7 < 0;
-x2 – 10x – 21, если x ≥ - 7,
-x2– 16x – 63, если x < - 7.
2) y = -x2 - 10x - 21, при х ≥ 7 - квадратичная функция вида у = ах2 + bx + с, график функции - парабола, ветви параболы направлены вниз, т.к. а = -1; -1 < 0.
Найдем координаты вершины параболы:
xв = -b / 2a =10 / -2 = -5
yв = y(-5) = -(52) + 50 – 21 = 4
Координаты вершины параболы (-5; 4)

Пример 4

Найдём координаты дополнительных точек:

3) у = -x2 - 16х - 63, при х < -7 - квадратичная функция вида у = ах2 + bx + с, график функции - парабола, ветви параболы направлены вниз, т.к. а = - 1; -1 < 0.
Найдем координаты вершины параболы:
xв = -b / 2a= 16 / -2 = -8
yв = y(-5) = -(82) + 24 - 63= 1
Координаты вершины параболы (-8; 1)
Найдём координаты дополнительных точек:

4) Построим в одной системе координат графики функций.
5) Необходимо по условию, прямая у = m имеет с графиком функции ровно три общие точки:
При m = 0 и m = 1 – три общие точки.
Ответ: при m = 0 и m = 1, прямая у = m имеет с графиком три общие точки.

x	-7	-6	-5	-4	-3	-2
y	0	3	4	3	0	-5

x	-12	-11	-10	-9	-8	-7
y	-15	-8	-3	0	1	0

Пример 5

Постройте график функции
Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Упростим выражение:

Найдём координату точки, не принадлежащей графику функции, подставив координату 𝑥 = −1,в уравнение с условием 𝑥 < 0:
𝑦(−1) = −0,5 ∙ (−1)2 = −0,5 ∙ 1 = −0,5
Координаты выколотой точки 𝐴 (−1; −0,5)
2) 𝑦 = 0,5𝑥2, при 𝑥 ≥ 0 квадратичная функция вида 𝑦 = 𝑎𝑥2, график функции − парабола, ветви параболы направлены вверх, т.к. 𝑎 = 0,5; 0,5 > 0.

Пример 5

Найдём координаты дополнительных точек:

3) 𝑦 = − 0,5𝑥2, при 𝑥 < 0 квадратичная функция вида 𝑦 = 𝑎𝑥2, график функции – парабола, ветви параболы направлены вниз, т.к. 𝑎 = −0,5 ; −0,5 < 0.
Найдём координаты дополнительных точек:

4) Построим в одной системе координат графики функций.
5) Необходимо по условию, прямая y = m не имеет с графиком ни одной
общей точки:
при m = −0,5 – нет общих точек.
Ответ: при m = -0,5 нет общих точек.

x	0	1	2	3
y	0	0,5	2	4,5

x	-1	-2	-3	-4
y	-0,5	-2	-4,5	-8

Пример 6

Пример 6. Постройте график функции
Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.
Упростим выражение:

2) Уравнение функции равносильно системе:

3) 𝑦 = 1/x, при x > 0 − обратная пропорциональность вида y =k/x, график функции – гипербола, расположенная в IV четверти, т.к. 𝑘 < 0.

Пример 6

Найдём координаты дополнительных точек:

4) 𝑦 = 1/x, при x < 0 − обратная пропорциональность вида y = k/x, график функции – гипербола, расположенная в III четверти, т.к. 𝑘 > 0.
Найдём координаты дополнительных точек:

Найдём координаты точек, не принадлежащих графику функции:
y (2/9) = − 1/(2/9) = −4,5
y (−2/9) =1/-(2/9) = −4,5
Координаты выколотых точек 𝐴 (2/9; −4,5) и
B (−2/9; −4,5)
5) Необходимо по условию, прямая y = kx не имеет с графиком общих точек. Прямая y = kx не имеет с графиком общих точек в трёх случаях:

x	0,5	1	2
y	-2	-1	-0,5

x	-0,5	-1	-2
y	-2	-1	-0,5

Пример 6

1. Прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 проходит через выколотую точку A (2/9; −4,5). Найдём k:
−4,5 = k ∙ 2/9=> k = −20,25
2. Прямая y = kx проходит через выколотую точку B (−2/9; −4,5). Найдём k:
−4,5 = k ∙ (−2/9) => k = 20,25
3. Прямая y = kx совпадает с осью Ox. Тогда k = 0.
Ответ: при k = −20,25; k = 0 и k = 20,25 прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.