презентация уроку в 8 классе "уравнение "

Уравнение вида 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =𝑎𝑎

8 класс

Алгебра

Сделано в Ассистенте преподавателя

Уравнение вида 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =𝑎𝑎

1. Связь возведения в квадрат и извлечения корня
2. Зависимость корней от знака числа 𝑎𝑎
3. Графическая интерпретация уравнения
4. Алгоритм решения и запись иррациональных ответов
5. Практикум и решение задач

Сделано в Ассистенте преподавателя

Прямая операция
Возведение в квадрат: мы знаем число 𝑥𝑥 и ищем его вторую степень.
Пример: 5 2 5 5 2 2 5 2 =25 −5 2 −5 −5 −5 −5 2 2 −5 2 =25 1, 2 2 2 2 2 2 2 2 =1,44

Сделано в Ассистенте преподавателя

Обратная операция
Решение уравнения 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =𝑎𝑎: мы знаем результат возведения в квадрат и ищем само число 𝑥𝑥.
Задача: найти все числа, квадрат которых равен 𝑎𝑎. Это и есть корни уравнения.

Анализ числа 𝑎𝑎

Решить уравнение 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =𝑎𝑎 — значит найти все значения переменной, которые при возведении во вторую степень дают число 𝑎𝑎.
Количество решений уравнения зависит исключительно от значения правой части — числа 𝑎𝑎:
• Если 𝑎𝑎>0, уравнение имеет два корня.
• Если 𝑎𝑎=0, уравнение имеет один корень.
• Если 𝑎𝑎<0, уравнение не имеет корней.

Сделано в Ассистенте преподавателя

Три случая решения

Сделано в Ассистенте преподавателя

Логическая задача

Сделано в Ассистенте преподавателя

Посмотрите на уравнение: 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =−4
Существует ли такое действительное число, которое при умножении само на себя даст отрицательный результат?
Попробуйте подобрать 𝑥𝑥 или доказать, что его нет.

Анализ отрицательного значения 𝑎𝑎

Сделано в Ассистенте преподавателя

Уравнение 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =−4 не имеет корней.
Обоснование:
1. Для любого действительного числа 𝑥𝑥 верно 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ≥0.
2. Левая часть уравнения неотрицательна, а правая (−4) — отрицательна.
3. Равенство невозможно.
Запись ответа: корней нет или ∅.

Точки пересечения 𝑦𝑦= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 и 𝑦𝑦=𝑎𝑎

Сделано в Ассистенте преподавателя

Как правильно оформить решение

Чтобы решить уравнение 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =𝑎𝑎:
1. Проверьте знак 𝑎𝑎. Если 𝑎𝑎<0, пишем «корней нет».
2. Используйте знак ±. Если 𝑎𝑎>0, записываем 𝑥𝑥=± 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 .
3. Вычислите корень, если это возможно (рациональное число).
4. Оставьте под знаком корня, если число не является полным квадратом (иррациональное число).
Пример: 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =5⇒
𝑥𝑥=± 5 5 5 5 (
это точный и окончательный ответ).

Сделано в Ассистенте преподавателя

Рациональные корни
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =25
𝑥𝑥=± 25 25 25 25
𝑥𝑥=±5
Корни: 5 и −5. Здесь корень извлекается «нацело», так как 25 — квадрат целого числа.

Сделано в Ассистенте преподавателя

Иррациональные корни
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =7
𝑥𝑥=± 7 7 7 7
Корни: 7 7 7 7 и − 7 7 7 7 . Число 7 не является квадратом рационального числа. Мы оставляем ответ в виде радикала.

Выберите верное утверждение о корнях уравнения 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =11:

Сделано в Ассистенте преподавателя

Уравнение не имеет действительных корней

Уравнение имеет только один корень: 11 11 11 11

Уравнение имеет два корня: 11 11 11 11 и − 11 11 11 11

Уравнение имеет два корня: 5,5 и −5,5

Выберите верное утверждение о корнях уравнения 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =11:

Сделано в Ассистенте преподавателя

Уравнение имеет два корня: 11 11 11 11 и − 11 11 11 11

Сводим к виду 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =𝑎𝑎

Иногда уравнение нужно сначала преобразовать:
Коэффициент перед 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2
2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =50
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =25 (разделили на 2)
𝑥𝑥=±5
1. Квадрат выражения:
𝑥−1 2 𝑥−1 𝑥𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1 2 2 𝑥−1 2 =9
𝑥𝑥−1=3 или 𝑥𝑥−1=−3
𝑥𝑥=4 или 𝑥𝑥=−2

Сделано в Ассистенте преподавателя

Что важно запомнить

• Уравнение 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =𝑎𝑎 — это фундамент для решения любых квадратных уравнений.
• Всегда проверяйте знак числа 𝑎𝑎 перед началом решения.
• Главная ловушка: потеря отрицательного корня. Помните, что − 𝑎 2 − 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 − 𝑎 − 𝑎 2 2 − 𝑎 2 тоже дает 𝑎𝑎.
• Если корень не извлекается — не бойтесь оставлять знак . Это точный математический ответ.

Сделано в Ассистенте преподавателя

Завершение урока

Сделано в Ассистенте преподавателя

Сегодня мы научились:
• Определять количество корней уравнения 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =𝑎𝑎.
• Решать уравнения с рациональными и иррациональными корнями.
• Понимать графический смысл этих решений.
Домашнее задание:
1. Прочитать параграф учебника по теме.
2. Выполнить упражнения на решение уравнений (№... по задачнику).
3. Дополнительно: найти, при каких значениях 𝑘𝑘 уравнение 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =𝑘𝑘−3 не имеет корней.