Презентация на тему "РЕшение задач 24 и 25 из ОГЭ по математике

«Решение планиметрических задач из банка заданий ОГЭ № 24-25»

Как решать задачи по геометрии:

1. Сделать рисунок по условию задачи
2. Отметить на рисунке все, что дано и что нужно найти
3. Записать все формулы и соотношения, которые приходят на ум
4. Составить уравнения и получить ответ

Типы задач

1. Задачи базового уровня – задачи требующие базовых знаний основных теорем.
2. Задачи повышенного уровня сложности – двух-трех ходовая задача, для решения которой нужно достаточно свободно ориентироваться в материале школьного курса планиметрии.
3. Задачи на доказательства – это задачи в которых требуется подтвердить или опровергнуть утверждение из условия задачи.

Связь между задачами первой и второй части

Задача повышенного уровня сложности №24

Это планиметрическая задача на вычисление, для решения которой нужно достаточно свободно ориентироваться в материале школьного курса планиметрии, в его теоремах, связанных с треугольниками, многоугольниками (преимущественно параллелограммами и трапециями) и окружностями

Критерии оценивания 24 задачи

Типичные ошибки

Неправильно выполнен рисунок
Использование данных, которых нет в условии
Нет ссылок на используемые теоремы и свойства.

Задача №24

1 способ:

А

В

С

О

2 способ:

А

В

С

Как мы видим в данной задаче были использованы теоремы о сумме углов в треугольнике, свойства равнобедренного треугольника, вписанные и центральные углы. Т.е несколько шагов пришлось выполнить и связать между собой в одной задаче. А в задачах первой части, используются такие же теоремы, только в каждой задаче по одной.

Например задача № 16 этого же варианта

Или задача № 17 того же варианта

Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те радиус окружности.
Здесь, как и в 24 задаче применяется свойства равнобедренного треугольника и знание окружности и ее элементов.

ЗАДАЧА 24 Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.

Решение 1:

1. Углы BAD и ABC — внутренние односторонние при прямых AD || BC и секущей AB,следовательно, углы BAD+ABC =180°. AF и BF — биссектрисы углов BAD и ABC.2. Сумма углов BAF и ABF будет равна половине суммы углов BAD+ABC =180°, то есть 180:2=90°.Треугольник ∆AFB — прямоугольный, тогда по т. Пифагора находим AB:
AB2=BF2+AF2, AB2=102+242 AB2=100+576 AB2=676 AB=26
Ответ: 26.

Решение 2:

1) АЕ- биссектриса, то угол ВАЕ = углу ЕАD. Так как ABCD – трапеция, то АD параллельна ВС, значит угол ВЕА= углу ЕАD ( накрест лежащие), следовательно угол ВЕС так же равен углу ВАЕ, то треугольник АВЕ- равнобедренный.

2) Рассмотрим АВЕ- равнобедренный (см.1 ) , ВF- биссектриса (по условию) и высота (по свойству равнобедренного треугольника), значит угол AFB=90.
3) Треугольник AFB — прямоугольный, тогда по т. Пифагора находим AB:
AB2=BF2+AF2, AB2=102+242 AB2=100+576 AB2=676 AB=26

В данной задаче были использованы свойства равнобедренного треугольника, признаки параллельности прямых и теорема Пифагора. Т.е снова нужно связать между собой знание базовых теорем. В первой части они так же применяются.

Задача № 16

Найдите величину острого угла параллелограмма , если биссектриса угла образует со стороной угол, равный 31°. Ответ дайте в градусах.
Здесь нужно применить , как и в 24 задаче знание накрест лежащих углов, т.е признаков параллельности прямых и свойство биссектрисы угла.

Вывод: Если можешь решать задачи базового уровня 1 части, то 24 задача не доставит больших затруднений.

Задача №25

Представляет собой планиметрическую задачу на доказательство, связанную со свойствами треугольников, четырехугольников, окружностей.

Типичные ошибки:

Неправильно выполнен рисунок
Использование данных, которых нет в условии
Нет ссылок на используемые теоремы и свойства.

Для начала перечислим, что нужно помнить, при решении 25 задачи:

1) Треугольники и их элементы:
признаки равенства треугольников; признаки подобия треугольников; свойства сторон и углов треугольника; площадь; свойства медианы; биссектрисы и высоты треугольника; средняя линия и серединный перпендикуляр треугольника; равнобедренный, равносторонний и прямоугольный треугольники; окружность, описанная около треугольника и вписанная в треугольник

2) Окружности и их элементы:
понятие окружности, круга и их элементов; взаимное расположение прямой и окружности; свойства хорд окружности; касательные и секущие к окружности; свойства углов в окружности; свойства вписанных углов; взаимное расположение двух окружностей; общие касательные двух окружностей.

3) Четырехугольники и их элементы:
виды четырехугольников и их свойства; вписанные и описанные четырехугольники; правильные многоугольники.

Треугольники и их элементы. Окружность и ее элементы. Задача №25.

В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.  

Начинаем решение с рисунка:

Доказательство:

Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как ра­ди­у­сы окружности, ∠AOB = ∠COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.

Четырехугольники и их элементы. Окружность и ее элементы. Задача №25

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны. 

Доказательство:

1) ∠АBD и ∠ACD опираются на отрезок
AD и равны друг другу.
Значит мы можем провести окружность
через точки AD и вершины этих углов.
Эти углы окажутся вписанными в окружность, опирающимися на одну дугу. Получится, что мы описали окружность вокруг четырехугольника.

2) Заметим, что углы DAC и DBC тоже являются вписанными и опирающимися на одну и ту же дугу, т.е., используя теорему о вписанном угле, получаем, что они равны друг другу . ч.т.д.
 

Окружность и ее элементы. Треугольники и их элементы. Четырехугольники и их элементы Задача №25

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC четырёхугольника пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Докажите, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD подобны.

Начинаем как всегда с рисунка:

Доказательство:

Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов ABC и ADC равна 180°, значит ∠ABC= 180° − ∠ADC и
∠KDC =180° − ∠ADC (так как смежные).
Получаем, что в треугольниках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол K общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Закончить свое выступление хотелось бы словами американского математика Дьердь Пойа:

Если хотите научиться плавать,
то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи,
то решайте их.
Д. Пойа

Спасибо за внимание!!!