Презентация "Решение логарифмических уравнений и неравенств

Определение. Уравнения, в которых переменная содержится под знаком логарифма или в основании логарифма, называются логарифмическими.При решении логарифмических уравнений пользуются определением логарифма 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑵 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝐥𝐥𝐨𝐨𝐠𝐠 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒂𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑵 𝑵𝑵 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑵 =𝑐𝑐 <=> 𝒂 𝒄 𝒂𝒂 𝒂 𝒄 𝒄𝒄 𝒂 𝒄 =𝑁𝑁 и свойствами логарифма
1. log 𝑎 1=0 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 1=0 1=0 log 𝑎 1=0 4. log 𝑎 𝑥𝑦 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦 log 𝑎 𝑥𝑦 = log 𝑎 𝑥 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥 𝑥𝑥 log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑦 𝑦𝑦 log 𝑎 𝑦 2. log 𝑎 𝑎=1 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑎=1 𝑎𝑎=1 log 𝑎 𝑎=1 5. log 𝑎 𝑥 𝑦 = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥 𝑦 = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑥 𝑦 𝑦𝑦 𝑥 𝑦 = log 𝑎 𝑥 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥 𝑥𝑥 log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑦 𝑦𝑦 log 𝑎 𝑦 log 𝑎 𝑥 𝑦 = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 3. log 𝑎 𝑎 𝑛 =𝑛 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑎 𝑛 =𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 =𝑛𝑛 log 𝑎 𝑎 𝑛 =𝑛 6. log 𝑎 𝑥 𝑝 =𝑝∗ log 𝑎 𝑥 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥 𝑝 =𝑝∗ log 𝑎 𝑥 𝑥 𝑝 𝑥𝑥 𝑥 𝑝 𝑝𝑝 𝑥 𝑝 =𝑝𝑝∗ log 𝑎 𝑥 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥 𝑥𝑥 log 𝑎 𝑥 log 𝑎 𝑥 𝑝 =𝑝∗ log 𝑎 𝑥

1. На основании определения логарифма.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение log 2 𝑥 2 +4𝑥+3= 2 3 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥 2 +4𝑥+3= 2 3 𝑥 2 +4𝑥+3= 2 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +4𝑥𝑥+3= 2 3 2 2 3 3 2 3 𝑥 2 +4𝑥+3= 2 3 log 2 𝑥 2 +4𝑥+3= 2 3
Данному уравнению удовлетворяют те значения x, для которых выполнено равенство 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +4𝑥𝑥+3= 2 3 2 2 3 3 2 3 . Получили квадратное уравнение 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +4𝑥𝑥+3=0,корни которого равны 1 и -5. Следовательно, числа 1 и -5 являются корнями данного уравнения.
Ответ: 1;-5
ПРИМЕР 2. Решим уравнение log 5 2𝑥+3 = log 5 𝑥+1 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 2𝑥+3 = log 5 𝑥+1 2𝑥+3 2𝑥𝑥+3 2𝑥+3 = log 5 𝑥+1 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 𝑥+1 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 log 5 𝑥+1 log 5 2𝑥+3 = log 5 𝑥+1
Это уравнение определено для тех значений x, при которых выполняются неравенства 2𝑥𝑥+3>0 и 𝑥𝑥+1>0. Для этих x данное уравнение равносильно уравнению 2𝑥𝑥+3=𝑥𝑥+1 из которого 𝑥𝑥=−2. Однако, число -2 не удовлетворяет неравенству 𝑥𝑥+1=0. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет

ПРИМЕР 3. Решим уравнение log 𝑥 𝑥 2 −2𝑥+2 =1 log 𝑥 log log 𝑥 𝑥𝑥 log 𝑥 log 𝑥 𝑥 2 −2𝑥+2 =1 𝑥 2 −2𝑥+2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥+2 𝑥 2 −2𝑥+2 =1 log 𝑥 𝑥 2 −2𝑥+2 =1
Запишем данное уравнение в виде log 𝑥 𝑥 2 −2𝑥+2 = log 𝑥 𝑥 log 𝑥 log log 𝑥 𝑥𝑥 log 𝑥 log 𝑥 𝑥 2 −2𝑥+2 = log 𝑥 𝑥 𝑥 2 −2𝑥+2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥+2 𝑥 2 −2𝑥+2 = log 𝑥 𝑥 log 𝑥 log log 𝑥 𝑥𝑥 log 𝑥 log 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 log 𝑥 𝑥 log 𝑥 𝑥 2 −2𝑥+2 = log 𝑥 𝑥 . По определению логарифма числа x, являющиеся решением данного уравнения, должны удовлетворять условиям:𝑥𝑥>0, 𝑥𝑥=1, 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥+2>0 и 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥+2=𝑥𝑥, т.е. данное уравнение равносильно системе
𝑥 2 −3𝑥+2=0 𝑥>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 −3𝑥+2=0 𝑥>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −3𝑥𝑥+2=0 𝑥 2 −3𝑥+2=0 𝑥>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥𝑥>0 𝑥 2 −3𝑥+2=0 𝑥>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥+2>0 𝑥 2 −3𝑥+2=0 𝑥>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥+2>0 𝑥 2 −3𝑥+2=0 𝑥>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 −3𝑥+2=0 𝑥>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥 2 −2𝑥+2>0 𝑥=1, 𝑥=2 𝑥>0 𝑥≠1 𝑥∈𝑅 𝑥=1, 𝑥=2 𝑥>0 𝑥≠1 𝑥∈𝑅 𝑥𝑥=1, 𝑥𝑥=2 𝑥=1, 𝑥=2 𝑥>0 𝑥≠1 𝑥∈𝑅 𝑥𝑥>0 𝑥=1, 𝑥=2 𝑥>0 𝑥≠1 𝑥∈𝑅 𝑥𝑥≠1 𝑥=1, 𝑥=2 𝑥>0 𝑥≠1 𝑥∈𝑅 𝑥𝑥∈𝑅𝑅 𝑥=1, 𝑥=2 𝑥>0 𝑥≠1 𝑥∈𝑅 𝑥=1, 𝑥=2 𝑥>0 𝑥≠1 𝑥∈𝑅

Но число 1 не является решением данного уравнения, поэтому 𝑥=2.

Ответ: 2.

ПРИМЕР 4. Решим уравнение log 2 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 =6 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 =6 𝑥+14 𝑥𝑥+14 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 =6 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥+2 =6 𝑥+2 𝑥𝑥+2 𝑥+2 =6 log 2 𝑥+2 =6 log 2 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 =6
Заметим, что 6= log 2 2 6 = log 2 64 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 2 6 = log 2 64 2 6 2 2 6 6 2 6 = log 2 64 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 64 64 log 2 64 log 2 2 6 = log 2 64
Тогда данное уравнение запишем в виде log 2 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 = log 2 64 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 = log 2 64 𝑥+14 𝑥𝑥+14 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 = log 2 64 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥+2 = log 2 64 𝑥+2 𝑥𝑥+2 𝑥+2 = log 2 64 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 64 64 log 2 64 log 2 𝑥+2 = log 2 64 log 2 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 = log 2 64
Отсюда log 2 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 = log 2 64 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 = log 2 64 𝑥+14 𝑥𝑥+14 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 = log 2 64 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥+2 = log 2 64 𝑥+2 𝑥𝑥+2 𝑥+2 = log 2 64 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 64 64 log 2 64 log 2 𝑥+2 = log 2 64 log 2 𝑥+14 + log 2 𝑥+2 = log 2 64 ОДЗ: 𝑥+14>0 𝑥+2>0 =>𝑥>−2 𝑥+14>0 𝑥+2>0 =>𝑥>−2 𝑥𝑥+14>0 𝑥+14>0 𝑥+2>0 =>𝑥>−2 𝑥𝑥+2>0 =>𝑥𝑥>−2 𝑥+14>0 𝑥+2>0 =>𝑥>−2 𝑥+14>0 𝑥+2>0 =>𝑥>−2
𝑥+14 𝑥𝑥+14 𝑥+14 𝑥+2 𝑥𝑥+2 𝑥+2 =64
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +16𝑥𝑥−36=0
𝑥𝑥=2 и 𝑥𝑥=−18
Условию 𝑥𝑥>−2 удовлетворяет только число 2.
Ответ: 2.

ПРИМЕР 5. Решим уравнение log 2 𝑥− log 2 𝑥=6 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥− log 2 𝑥=6 𝑥𝑥− log 2 𝑥=6 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥=6 𝑥𝑥=6 log 2 𝑥=6 log 2 𝑥− log 2 𝑥=6
Сделаем замену переменной log 2 𝑥=𝑡 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥=𝑡 𝑥𝑥=𝑡𝑡 log 2 𝑥=𝑡 , тогда данное уравнение перепишется в виде 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 −𝑡𝑡−6=0. Его корни 𝑡𝑡=3 и 𝑡𝑡=−2
Решаем уравнения замены log 2 𝑥=3 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥=3 𝑥𝑥=3 log 2 𝑥=3 и log 2 𝑥=−2 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥=−2 𝑥𝑥=−2 log 2 𝑥=−2 и находим корни данного уравнения 𝑥𝑥=8 и 𝑥𝑥= 1 4 1 1 4 4 1 4

Ответ: 𝟖𝟖; 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒

ПРИМЕР 6. Решим уравнение 𝑥 lg 𝑥−3 𝑥𝑥 𝑥 lg 𝑥−3 lg 𝑥−3 lg lg 𝑥−3 𝑥𝑥−3 lg 𝑥−3 𝑥 lg 𝑥−3 =0,01
Прологарифмируем данное уравнение по основанию 10 и получим новое уравнение
lg 𝑥−3 lg 𝑥−3 lg lg 𝑥−3 𝑥𝑥−3 lg 𝑥−3 lg 𝑥−3 ∗ lg 𝑥= lg 0.01 lg lg 𝑥= lg 0.01 𝑥𝑥= lg 0.01 lg lg 0.01 0.01 lg 0.01 lg 𝑥= lg 0.01
lg 2 𝑥 lg 2 lg lg 2 2 lg 2 lg 2 𝑥 𝑥𝑥 lg 2 𝑥 −3 lg 𝑥+2=0 lg lg 𝑥+2=0 𝑥𝑥+2=0 lg 𝑥+2=0
Если lg 𝑥=𝑡, lg lg 𝑥=𝑡, 𝑥𝑥=𝑡𝑡, lg 𝑥=𝑡, то 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 −3𝑡𝑡+2=0, 𝑡 1 𝑡𝑡 𝑡 1 1 𝑡 1 =1 и 𝑡𝑡=2
Тогда lg 𝑥=1, lg lg 𝑥=1, 𝑥𝑥=1, lg 𝑥=1, или lg 𝑥=2 lg lg 𝑥=2 𝑥𝑥=2 lg 𝑥=2
𝑥𝑥=10 или 𝑥𝑥=100

О т в е т: 10; 100.

1. Решите логарифмическое уравнение:
а) log 2 2𝑥+1 = log 2 3 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 2𝑥+1 = log 2 3 2𝑥+1 2𝑥𝑥+1 2𝑥+1 = log 2 3 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 3 3 log 2 3 log 2 2𝑥+1 = log 2 3 б) log 2 2𝑥−1 =3 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 2𝑥−1 =3 2𝑥−1 2𝑥𝑥−1 2𝑥−1 =3 log 2 2𝑥−1 =3
в) log 2 3−𝑥 =0 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 3−𝑥 =0 3−𝑥 3−𝑥𝑥 3−𝑥 =0 log 2 3−𝑥 =0 г) log 𝑛 𝑥 2 +2𝑥+3 = log 𝑛 6 log 𝑛 log log 𝑛 𝑛𝑛 log 𝑛 log 𝑛 𝑥 2 +2𝑥+3 = log 𝑛 6 𝑥 2 +2𝑥+3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +2𝑥𝑥+3 𝑥 2 +2𝑥+3 = log 𝑛 6 log 𝑛 log log 𝑛 𝑛𝑛 log 𝑛 log 𝑛 6 6 log 𝑛 6 log 𝑛 𝑥 2 +2𝑥+3 = log 𝑛 6
д) log 1 2 7𝑥−5 =−1 log 1 2 log log 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 log 1 2 log 1 2 7𝑥−5 =−1 7𝑥−5 7𝑥𝑥−5 7𝑥−5 =−1 log 1 2 7𝑥−5 =−1 е) 1 3 1 1 3 3 1 3 log 3 2𝑥+1 =1 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 2𝑥+1 =1 2𝑥+1 2𝑥𝑥+1 2𝑥+1 =1 log 3 2𝑥+1 =1
2. Решите уравнение:
а) log 2 3− log 2 2−3𝑥 =2− log 2 4−3𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 3− log 2 2−3𝑥 =2− log 2 4−3𝑥 3− log 2 2−3𝑥 =2− log 2 4−3𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 2−3𝑥 =2− log 2 4−3𝑥 2−3𝑥 2−3𝑥𝑥 2−3𝑥 =2− log 2 4−3𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 4−3𝑥 4−3𝑥 4−3𝑥𝑥 4−3𝑥 log 2 4−3𝑥 log 2 2−3𝑥 =2− log 2 4−3𝑥 log 2 3− log 2 2−3𝑥 =2− log 2 4−3𝑥
б) lg 𝑥−1 −2 lg 2=lg 2𝑥−1 −1 lg lg 𝑥−1 −2 lg 2=lg 2𝑥−1 −1 𝑥−1 𝑥𝑥−1 𝑥−1 −2 lg 2=lg 2𝑥−1 2𝑥𝑥−1 2𝑥−1 −1 lg 𝑥−1 −2 lg 2=lg 2𝑥−1 −1
в) log 2 3+1− log 2 5𝑥−1 = log 2 3𝑥+8 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 3+1− log 2 5𝑥−1 = log 2 3𝑥+8 3+1− log 2 5𝑥−1 = log 2 3𝑥+8 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 5𝑥−1 = log 2 3𝑥+8 5𝑥−1 5𝑥𝑥−1 5𝑥−1 = log 2 3𝑥+8 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 3𝑥+8 3𝑥+8 3𝑥𝑥+8 3𝑥+8 log 2 3𝑥+8 log 2 5𝑥−1 = log 2 3𝑥+8 log 2 3+1− log 2 5𝑥−1 = log 2 3𝑥+8
г) lg x−2 x−2 x−2 +lg x−3 x−3 x−3 =1−lg 5

3. Решите уравнение введение новой переменной:
а) 3 log 2 3 log log 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 log 2 3 𝑥𝑥+7 log 3 𝑥=6 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 𝑥=6 𝑥𝑥=6 log 3 𝑥=6 б) log 2 4 log log 2 4 2 4 2 2 4 4 2 4 log 2 4 𝑥𝑥+ log 4 𝑥 log 4 log log 4 4 log 4 log 4 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 log 4 𝑥 −1,5=0
в) log 2 3 𝑥−3 log 3 𝑥 +2=0 log log 2 3 𝑥−3 log 3 𝑥 +2=0 2 3 2 2 3 3 2 3 𝑥𝑥−3 log 3 𝑥 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 𝑥 𝑥𝑥 log 3 𝑥 +2=0 log 2 3 𝑥−3 log 3 𝑥 +2=0 г) 4 lg 2 lg lg 2 2 lg 2 𝑥𝑥−3+4 lg x=0
4. Решите систему уравнений:
а) 𝑥+𝑦=7 lg 𝑥+lg 𝑦=1 𝑥+𝑦=7 lg 𝑥+lg 𝑦=1 𝑥𝑥+𝑦𝑦=7 𝑥+𝑦=7 lg 𝑥+lg 𝑦=1 lg 𝑥𝑥+lg 𝑦𝑦=1 𝑥+𝑦=7 lg 𝑥+lg 𝑦=1 𝑥+𝑦=7 lg 𝑥+lg 𝑦=1 б) log 4 𝑥+𝑦 =2 log 3 𝑥+ log 3 𝑦=2+ log 3 7 log 4 𝑥+𝑦 =2 log 3 𝑥+ log 3 𝑦=2+ log 3 7 log 4 𝑥+𝑦 =2 log 4 log log 4 4 log 4 log 4 𝑥+𝑦 =2 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥+𝑦 =2 log 4 𝑥+𝑦 =2 log 4 𝑥+𝑦 =2 log 3 𝑥+ log 3 𝑦=2+ log 3 7 log 3 𝑥+ log 3 𝑦=2+ log 3 7 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 𝑥+ log 3 𝑦=2+ log 3 7 𝑥𝑥+ log 3 𝑦=2+ log 3 7 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 𝑦=2+ log 3 7 𝑦𝑦=2+ log 3 7 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 7 7 log 3 7 log 3 𝑦=2+ log 3 7 log 3 𝑥+ log 3 𝑦=2+ log 3 7 log 4 𝑥+𝑦 =2 log 3 𝑥+ log 3 𝑦=2+ log 3 7 log 4 𝑥+𝑦 =2 log 3 𝑥+ log 3 𝑦=2+ log 3 7 в) 𝑥+𝑦=34 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=6 𝑥+𝑦=34 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=6 𝑥𝑥+𝑦𝑦=34 𝑥+𝑦=34 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=6 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=6 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=6 𝑥𝑥+ log 2 𝑦=6 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑦=6 𝑦𝑦=6 log 2 𝑦=6 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=6 𝑥+𝑦=34 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=6 𝑥+𝑦=34 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=6
г) log 4 𝑥− log 4 𝑦=0 𝑥 2 −5 𝑦 2 +4=0 log 4 𝑥− log 4 𝑦=0 𝑥 2 −5 𝑦 2 +4=0 log 4 𝑥− log 4 𝑦=0 log 4 log log 4 4 log 4 log 4 𝑥− log 4 𝑦=0 𝑥𝑥− log 4 𝑦=0 log 4 log log 4 4 log 4 log 4 𝑦=0 𝑦𝑦=0 log 4 𝑦=0 log 4 𝑥− log 4 𝑦=0 log 4 𝑥− log 4 𝑦=0 𝑥 2 −5 𝑦 2 +4=0 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −5 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 +4=0 log 4 𝑥− log 4 𝑦=0 𝑥 2 −5 𝑦 2 +4=0 log 4 𝑥− log 4 𝑦=0 𝑥 2 −5 𝑦 2 +4=0 д) log 2 𝑥+ log 2 𝑦=2+ log 2 5 log 0,5 𝑥−𝑦 =0 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=2+ log 2 5 log 0,5 𝑥−𝑦 =0 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=2+ log 2 5 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=2+ log 2 5 𝑥𝑥+ log 2 𝑦=2+ log 2 5 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑦=2+ log 2 5 𝑦𝑦=2+ log 2 5 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 5 5 log 2 5 log 2 𝑦=2+ log 2 5 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=2+ log 2 5 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=2+ log 2 5 log 0,5 𝑥−𝑦 =0 log 0,5 𝑥−𝑦 =0 log 0,5 log log 0,5 0,5 log 0,5 log 0,5 𝑥−𝑦 =0 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 =0 log 0,5 𝑥−𝑦 =0 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=2+ log 2 5 log 0,5 𝑥−𝑦 =0 log 2 𝑥+ log 2 𝑦=2+ log 2 5 log 0,5 𝑥−𝑦 =0 е) log 4 𝑥+ log 4 𝑦=1 𝑦−2𝑥=7 log 4 𝑥+ log 4 𝑦=1 𝑦−2𝑥=7 log 4 𝑥+ log 4 𝑦=1 log 4 log log 4 4 log 4 log 4 𝑥+ log 4 𝑦=1 𝑥𝑥+ log 4 𝑦=1 log 4 log log 4 4 log 4 log 4 𝑦=1 𝑦𝑦=1 log 4 𝑦=1 log 4 𝑥+ log 4 𝑦=1 log 4 𝑥+ log 4 𝑦=1 𝑦−2𝑥=7 𝑦𝑦−2𝑥𝑥=7 log 4 𝑥+ log 4 𝑦=1 𝑦−2𝑥=7 log 4 𝑥+ log 4 𝑦=1 𝑦−2𝑥=7

При решении логарифмических неравенств применяют определение и свойства логарифмической функции:
если a>1, то log 𝒂 x 1 > log 𝑎 𝑥 2 <=> 𝑥 1 > 𝑥 2 log 𝒂 log log 𝒂 𝒂𝒂 log 𝒂 log 𝒂 x 1 > log 𝑎 𝑥 2 <=> 𝑥 1 > 𝑥 2 x 1 x x 1 1 x 1 > log 𝑎 𝑥 2 <=> 𝑥 1 > 𝑥 2 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥 2 <=> 𝑥 1 > 𝑥 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 <=> 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 > 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 log 𝑎 𝑥 2 <=> 𝑥 1 > 𝑥 2 log 𝒂 x 1 > log 𝑎 𝑥 2 <=> 𝑥 1 > 𝑥 2
если 0<𝑎𝑎<1, то log 𝐚 x 2 log 𝐚 log log 𝐚 𝐚𝐚 log 𝐚 log 𝐚 x 2 x 2 x x 2 2 x 2 log 𝐚 x 2 <=> x 1 x x 1 1 x 1 < 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2
ПРИМЕР 1. Решим неравенство log 1 3 5−2𝑥 ≥−2 log 1 3 log log 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 log 1 3 log 1 3 5−2𝑥 ≥−2 5−2𝑥 5−2𝑥𝑥 5−2𝑥 ≥−2 log 1 3 5−2𝑥 ≥−2
Число −2= log 1 3 9, log 1 3 log log 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 log 1 3 log 1 3 9, 9, log 1 3 9, поэтому данное неравенство можно переписать в виде
log 1 3 (5−2𝑥)≥ log 1 3 9 log 1 3 log log 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 log 1 3 log 1 3 (5−2𝑥)≥ log 1 3 9 (5−2𝑥𝑥)≥ log 1 3 9 log 1 3 log log 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 log 1 3 log 1 3 9 9 log 1 3 9 log 1 3 (5−2𝑥)≥ log 1 3 9
Логарифмическая функция с основанием является убывающей, поэтому данному неравенству удовлетворяют значения, для которых
5−2𝑥>0 5−2𝑥≤9 5−2𝑥>0 5−2𝑥≤9 5−2𝑥𝑥>0 5−2𝑥>0 5−2𝑥≤9 5−2𝑥𝑥≤9 5−2𝑥>0 5−2𝑥≤9 5−2𝑥>0 5−2𝑥≤9 или 𝑥<2,5 𝑥>2 𝑥<2,5 𝑥>2 𝑥𝑥<2,5 𝑥<2,5 𝑥>2 𝑥𝑥>2 𝑥<2,5 𝑥>2 𝑥<2,5 𝑥>2
Ответ: −𝟐;𝟐,𝟓 −𝟐𝟐;𝟐𝟐,𝟓𝟓 −𝟐;𝟐,𝟓

ПРИМЕР 2. Решим неравенство log 2 2 𝑥 − log 2 𝑥≤6 log 2 2 𝑥 log 2 2 log log 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log 2 2 log 2 2 𝑥 𝑥𝑥 log 2 2 𝑥 log 2 2 𝑥 − log 2 𝑥≤6 − log 2 𝑥≤6 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥≤6 𝑥𝑥≤6 log 2 𝑥≤6 log 2 2 𝑥 − log 2 𝑥≤6
Обозначим 𝑡𝑡= log 2 𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥 𝑥𝑥 log 2 𝑥 , тогда неравенство принимает вид 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 −𝑡𝑡−6≤0,
откуда −2≤𝑡𝑡≤3
Для данного неравенства −2≤ log 2 𝑥≤3 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥≤3 𝑥𝑥≤3 log 2 𝑥≤3
log 2 1 4 ≤ log 2 𝑥≤ log 2 8 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 1 4 ≤ log 2 𝑥≤ log 2 8 1 4 1 1 4 4 1 4 ≤ log 2 𝑥≤ log 2 8 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥≤ log 2 8 𝑥𝑥≤ log 2 8 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 8 8 log 2 8 log 2 𝑥≤ log 2 8 log 2 1 4 ≤ log 2 𝑥≤ log 2 8
1 4 1 1 4 4 1 4 ≤𝑥𝑥≤8
Ответ: 1 4 ;8 1 4 1 1 4 4 1 4 ;8 1 4 ;8

1. Решите логарифмическое неравенство:
а) log 3 𝑥 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 𝑥 𝑥𝑥 log 3 𝑥 ≥2 б) log 2,5 𝑥<2 log 2,5 log log 2,5 2,5 log 2,5 log 2,5 𝑥<2 𝑥𝑥<2 log 2,5 𝑥<2 в) log 0,5 𝑥≥−2 log 0,5 log log 0,5 0,5 log 0,5 log 0,5 𝑥≥−2 𝑥𝑥≥−2 log 0,5 𝑥≥−2
г) log 4 𝑥−2 <2 log 4 log log 4 4 log 4 log 4 𝑥−2 <2 𝑥−2 𝑥𝑥−2 𝑥−2 <2 log 4 𝑥−2 <2 д) log 1 3 3−2𝑥 ≥−1 log 1 3 log log 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 log 1 3 log 1 3 3−2𝑥 ≥−1 3−2𝑥 3−2𝑥𝑥 3−2𝑥 ≥−1 log 1 3 3−2𝑥 ≥−1 е) log 4 (2𝑥−5)≥0,5 log 4 log log 4 4 log 4 log 4 (2𝑥−5)≥0,5 (2𝑥𝑥−5)≥0,5 log 4 (2𝑥−5)≥0,5
ж) log 1 7 4𝑥+1 ≤−2 log 1 7 log log 1 7 1 7 1 1 7 7 1 7 log 1 7 log 1 7 4𝑥+1 ≤−2 4𝑥+1 4𝑥𝑥+1 4𝑥+1 ≤−2 log 1 7 4𝑥+1 ≤−2 з) log 1 2 3𝑥−8,5 <1 log 1 2 log log 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 log 1 2 log 1 2 3𝑥−8,5 <1 3𝑥−8,5 3𝑥𝑥−8,5 3𝑥−8,5 <1 log 1 2 3𝑥−8,5 <1 и) log 2 (3𝑥−7)<1 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 (3𝑥−7)<1 (3𝑥𝑥−7)<1 log 2 (3𝑥−7)<1
11.2. Решите неравенство:
а) log 1 3 𝑥 2 −5𝑥+7 <0 log 1 3 log log 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 log 1 3 log 1 3 𝑥 2 −5𝑥+7 <0 𝑥 2 −5𝑥+7 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −5𝑥𝑥+7 𝑥 2 −5𝑥+7 <0 log 1 3 𝑥 2 −5𝑥+7 <0 б) log 8 ( 𝑥 2 −4𝑥+3)<1 log 8 log log 8 8 log 8 log 8 ( 𝑥 2 −4𝑥+3)<1 ( 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3)<1 log 8 ( 𝑥 2 −4𝑥+3)<1
в) log 2 (5𝑥−2)> log 2 (7−2𝑥) log 2 log log 2 2 log 2 log 2 (5𝑥−2)> log 2 (7−2𝑥) (5𝑥𝑥−2)> log 2 (7−2𝑥) log 2 log log 2 2 log 2 log 2 (7−2𝑥) (7−2𝑥𝑥) log 2 (7−2𝑥) log 2 (5𝑥−2)> log 2 (7−2𝑥) г) log 0,5 (5𝑥−2)≤ log 0,5 (3−2𝑥) log 0,5 log log 0,5 0,5 log 0,5 log 0,5 (5𝑥−2)≤ log 0,5 (3−2𝑥) (5𝑥𝑥−2)≤ log 0,5 (3−2𝑥) log 0,5 log log 0,5 0,5 log 0,5 log 0,5 (3−2𝑥) (3−2𝑥𝑥) log 0,5 (3−2𝑥) log 0,5 (5𝑥−2)≤ log 0,5 (3−2𝑥)
д) log 5 (3−2𝑥)> log 5 (10+4𝑥) log 5 log log 5 5 log 5 log 5 (3−2𝑥)> log 5 (10+4𝑥) (3−2𝑥𝑥)> log 5 (10+4𝑥) log 5 log log 5 5 log 5 log 5 (10+4𝑥) (10+4𝑥𝑥) log 5 (10+4𝑥) log 5 (3−2𝑥)> log 5 (10+4𝑥) е) log 5 (2𝑥−1)> log 5 (3𝑥+2) log 5 log log 5 5 log 5 log 5 (2𝑥−1)> log 5 (3𝑥+2) (2𝑥𝑥−1)> log 5 (3𝑥+2) log 5 log log 5 5 log 5 log 5 (3𝑥+2) (3𝑥𝑥+2) log 5 (3𝑥+2) log 5 (2𝑥−1)> log 5 (3𝑥+2)
ж) log 2 (3𝑥+1)≥ log 2 (𝑥−1) log 2 log log 2 2 log 2 log 2 (3𝑥+1)≥ log 2 (𝑥−1) (3𝑥𝑥+1)≥ log 2 (𝑥−1) log 2 log log 2 2 log 2 log 2 (𝑥−1) (𝑥𝑥−1) log 2 (𝑥−1) log 2 (3𝑥+1)≥ log 2 (𝑥−1) з) log 0,5 (2𝑥+6)> log 0,5 (𝑥+8) log 0,5 log log 0,5 0,5 log 0,5 log 0,5 (2𝑥+6)> log 0,5 (𝑥+8) (2𝑥𝑥+6)> log 0,5 (𝑥+8) log 0,5 log log 0,5 0,5 log 0,5 log 0,5 (𝑥+8) (𝑥𝑥+8) log 0,5 (𝑥+8) log 0,5 (2𝑥+6)> log 0,5 (𝑥+8)

Выполнила: преподаватель математики
ГБПОУ ВО «Воронежский техникум строительных технологий»
Сафонова Елена Артуровна