Задачи на наибольшее и наименьшее значения

Задача: сделать решение задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значений функции доступным обучающимся.

Цель: содействие развитию профессиональной (предметной) компетентности учителей математики-формирование знаний, умений и навыков в области решения задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значений функции

Немного теории Рассмотрим нахождение наибольшего и наименьшего значения функции с помощью производной. Сформулируем некоторые теоремы 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. 3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке Для удобства условимся внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называть стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, - критическими.

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции f (x) на отрезке [а; b] : 1. Найти производную f ′(x). 2. Найти стационарные(f ′(x)=0 ) и критические (f′(x) не существует) точки функции, лежащие внутри отрезка [а; b] . 3. Вычислить значения функции y= f (x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее и наибольшее .

функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b.

Задание №1.

.

D(y)= 0;+∞
𝑦𝑦= 𝑥 3 2 𝑥𝑥 𝑥 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 𝑥 3 2 −3𝑥𝑥+16 𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑦 ′ ′ 𝑦 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 = 3 2 3 3 2 2 3 2 𝑥 1 2 𝑥𝑥 𝑥 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑥 1 2 −3= 3 2 3 3 2 2 3 2 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 −3
𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑦 ′ ′ 𝑦 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =0, 3 2 3 3 2 2 3 2 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 −3=0, 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 = 3⋅2 3 3⋅2 3⋅2 3 3 3⋅2 3 , 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =2, 𝑥𝑥=4, 4∈ 1;9 1;9 1;9



В точке х=4 заданная функция имеет минимум.
𝑦𝑦 4 4 4 =4 4 4 4 4 −3⋅4+16=12
Ответ: 12

Найдите наименьшее значение функции 𝑦𝑦=𝑥𝑥 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 −3𝑥𝑥+16 на отрезке 1;9 1;9 1;9

+

-

1

4

9

y

x

min

𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑦 ′ ′ 𝑦 ′

Можно рассуждать иначе, это экономит время. Ответ должен быть конечной дробью, значит из данного отрезка подходит х=1, х=4, х=9.
Проверяем, наименьшее значение функция принимает в точке х=4

Задание №2. Найдите наименьшее значение функции 𝑦𝑦=9𝑥𝑥−9 𝑙𝑛 𝑥+4 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑙𝑛 𝑥+4 𝑥+4 𝑥𝑥+4 𝑥+4 𝑙𝑛 𝑥+4 +2 на отрезке −3;0 −3;0 −3;0 .

D(y):𝑥𝑥∈ −4;+∞ −4;+∞ −4;+∞
𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑦 ′ ′ 𝑦 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =9− 9 𝑥+4 9 9 𝑥+4 𝑥𝑥+4 9 𝑥+4 𝑥+4 ′ 𝑥+4 𝑥𝑥+4 𝑥+4 𝑥+4 ′ ′ 𝑥+4 ′ = 9 𝑥+4 −9 𝑥+4 9 𝑥+4 𝑥𝑥+4 𝑥+4 −9 9 𝑥+4 −9 𝑥+4 𝑥𝑥+4 9 𝑥+4 −9 𝑥+4 = 9𝑥+27 𝑥+4 9𝑥𝑥+27 9𝑥+27 𝑥+4 𝑥𝑥+4 9𝑥+27 𝑥+4 = 9 𝑥+3 𝑥+4 9 𝑥+3 𝑥𝑥+3 𝑥+3 9 𝑥+3 𝑥+4 𝑥𝑥+4 9 𝑥+3 𝑥+4 ,
𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑦 ′ ′ 𝑦 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =0, 9 𝑥+3 𝑥+4 9 𝑥+3 𝑥𝑥+3 𝑥+3 9 𝑥+3 𝑥+4 𝑥𝑥+4 9 𝑥+3 𝑥+4 =0, 𝑥𝑥=−3;

Т.к. функция на отрезке −3;0 −3;0 −3;0 возрастает, значит, она принимает наименьшее значение при х= -3.
𝑦𝑦 −3 −3 −3 =9⋅ −3 −3 −3 −9 𝑙𝑛 −3+4 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑙𝑛 −3+4 −3+4 −3+4 −3+4 𝑙𝑛 −3+4 +2=−27−9⋅0+2=−25
Ответ: -25

y

-3

0

x

𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑦 ′ ′ 𝑦 ′

Можно рассуждать иначе
ln(x+4)=0
X+4=1
X=-3

Задание №3 Найдите наибольшее значение функции 𝑦𝑦= 7−6𝑥− 𝑥 2 7−6𝑥− 𝑥 2 7−6𝑥𝑥− 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 7−6𝑥− 𝑥 2 .

Найдем область определения функции.
𝟕𝟕−𝟔𝟔𝒙𝒙− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 ≥ 0
𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟔𝟔𝒙𝒙−𝟕𝟕≤ 0D(y)= −7;1 −7;1 −7;1
Т.к. функция 𝑦= 𝑥 возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимум подкоренное выражение 7−6𝑥− 𝑥 2
𝑥 𝑚𝑎𝑥 =− 𝑏 2𝑎 = −(−6) 2⋅ −1 =-3
𝑦 −3 = 7−6⋅ −3 − −3 2 = 7+18−9 = 16 =4
Ответ: 4

𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥−7=0
𝐷𝐷= 6 2 6 6 2 2 6 2 −4⋅ −7 −7 −7 =36+28=64𝑥𝑥= −6±8 2⋅1 −6±8 −6±8 2⋅1 2⋅1 −6±8 2⋅1 ;
𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 =−7, 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =1

Задание №4. Найдите наименьшее значение функции 𝑦𝑦=3 cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 −5𝑥𝑥+4 на отрезке − 3𝜋 2 ;0 − 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 ;0 − 3𝜋 2 ;0 .

D(y) =R
𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑦 ′ ′ 𝑦 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =−3 sin 𝑥 sin sin 𝑥 𝑥𝑥 sin 𝑥 −5,
𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑦 ′ ′ 𝑦 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =0, −3 sin 𝑥 sin sin 𝑥 𝑥𝑥 sin 𝑥 −5 =0, sin 𝑥 sin sin 𝑥 𝑥𝑥 sin 𝑥 =− 5 3 5 5 3 3 5 3
∅, т.к. sin 𝑥 sin sin 𝑥 𝑥𝑥 sin 𝑥 ∈ −1;1 −1;1 −1;1

𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑦 ′ ′ 𝑦 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 <0 при всех значениях переменной х.
Значит, заданная функция является убывающей.
Тогда наименьшее значение функция принимает в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0

𝑦𝑦 0 0 0 =3cos0+4=3⋅1−0+4=7

Ответ: 7

Можно рассуждать иначе, это экономит время. Ответ должен быть конечной дробью, значит из данного отрезка подходит х=0.

Задание №5. Найдите наименьшее значение функции 𝑦𝑦= 𝑥+12 𝑥𝑥+12 𝑥+12 ⋅ ⅇ 12−𝑥 ⅇ ⅇ 12−𝑥 12−𝑥𝑥 ⅇ 12−𝑥 на отрезке
−10;12 −10;12 −10;12

y

12

x

При переходе через точку х=12 производная меняет знак с «-» на «+», значит, эта точка минимума, и в ней функция принимает наименьшее значение.

Можно рассуждать иначе
𝑥+12 𝑥𝑥+12 𝑥+12 ⋅ ⅇ 12−𝑥 ⅇ ⅇ 12−𝑥 12−𝑥𝑥 ⅇ 12−𝑥 =0
𝑥𝑥=−12, х=12

+

-

у(12)=(12+12) ⋅ ⅇ 12−12 ⅇ ⅇ 12−12 12−12 ⅇ 12−12 =24

Ответ: 24

Практические советы для ЕГЭ
• Всегда проверяйте область определения функции! Часто на ЕГЭ встречаются функции с ограничениями.
• Не забывайте подставлять в функцию значения на концах отрезка и все критические точки! Наибольшее и наименьшее значения могут быть только там.
• Тщательно анализируйте задачи на дроби и корни. Такие функции требуют особого внимания к области определения и возможным точкам разрыва.
• Регулярно тренируйтесь на функциях разных видов: квадратичных, модульных, рациональных, чтобы чувствовать себя уверенно на экзамене.

Итоги
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции – один из ключевых разделов алгебры, неотъемлемая часть подготовки к ЕГЭ по математике. Грамотное овладение этим материалом обеспечивает не только успешное выполнение заданий, но и развитие логического мышления, аналитических способностей и уверенность в математических рассуждениях. Каждый ученик должен владеть чётким алгоритмом действий и понимать основные типовые ошибки, чтобы минимизировать их на экзамене