Презентация урока по теме «Арифметическая прогрессия» для 9 класса

Яковлева Татьяна Петровна,
доцент кафедры математики и физики
Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга,
кандидат педагогических наук, доцент,
г. Петропавловск - Камчатский

Цели урока:

Образовательная:
введение понятия арифметической прогрессии и знакомство с её основными формулами.
Развивающая:
умение различать арифметическую прогрессию от числовой последовательности; формировать навыки нахождения различных членов арифметической прогрессии, а также её разности; умение вести доказательства с опорой на формулы.
Воспитательная:
данная тема способствует воспитанию усидчивости, внимательности, сообразительности, самостоятельности и развитию интереса к математике.

Актуализация опорных знаний.

Вопрос №1. Как называется последовательность, содержащая конечное число членов? Ответ
Вопрос №2. Как называются числа, образующие последовательность? Ответ
Вопрос №3. Чем можно задать последовательность? Ответ
Вопрос №4. Как называются формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько)? Ответ

Такая последовательность называется конечной.

Числа, образующие последовательность, называются
членами последовательности.

Последовательность можно задать с помощью
формулы n-го члена.

Такая формула называется рекуррентной
(от латинского слова recurro — возвращаться).

Историческая справка.

Рассмотрим примеры бесконечных числовых последовательностей:
1) 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... - последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1;
2) 1, 2, 3, 4, 5, ... - последовательность натуральных чисел;
3) 2, 4, 6, 8, 10, … - последовательность четных чисел;
4) 1, 3, 5, 7, 9, … - последовательность нечетных чисел;
5) 1, 4, 9, 16, 25, … - последовательность квадратов натуральных чисел;
6) 2, 3, 5, 7, 11, ... - последовательность простых чисел.
Почти все эти последовательности были известны в глубокой древности.
Среди этих последовательностей есть особые, которые получили название арифметических прогрессий.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1(последовательность №1):
1; 5; 9; 13; 17; 21; ... .
Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4.
Эта последовательность является примером арифметической прогрессии. Из истории
Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами последовательности.
Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена.

Иначе говоря, последовательность — арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие

где d — некоторое число.
Формула называется рекуррентной формулой.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство
.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Примеры.

1) Если и d=l, то получим арифметическую прогрессию
1; 2; 3; 4; 5; ... ,
члены которой — последовательные натуральные числа.
2) Если и d = 2, то получим арифметическую прогрессию
1; 3; 5; 7; 9; ... ,
которая является последовательностью положительных нечетных чисел.
3) Если и d=- 2, то получим арифметическую прогрессию
-2; -4; -6; -8; -10; ... ,
которая является последовательностью отрицательных четных чисел.
4) Если и d = 0, то имеем арифметическую прогрессию
7; 7; 7; 7; 7; 7; … ,
все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен.
Рассмотрим способ, требующий меньшей вычислительной работы.
По определению арифметической прогрессии





Точно так же находим, что , и вообще, чтобы найти нужно к прибавить (n-1)d, т. е.

Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии, или общего члена.
Таким образом, чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Примеры

Формулу n-го члена арифметической прогрессии
можно записать иначе:
.
Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида
,
где k и b — некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность , заданная формулой вида , где k u b — некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n+1)-го и n-го членов последовательности :

.

Значит, при любом n справедливо равенство , и по определению последовательность является арифметической прогрессией, причем разность этой прогрессии равна к.

Это интересно

Задачи с ответами.

Задача 1. Доказать, что последовательность, заданная формулой является арифметической прогрессией. Ответ
Задача 2. Найти сотый член арифметической прогрессии, если и d = 4. Ответ
Задача 3. Число 99 является членом арифметической прогрессии 3, 5, 7, 9... Найти номер этого члена. Ответ
Задача 4. В арифметической прогрессии и
. Найти формулу n-го члена. Ответ

Ответ №1.

Т.е. требуется доказать, что разность одна и та же для всех n (не зависит от n).
Доказательство :
Запишем (n+1)-й член данной последовательности:

Поэтому
Следовательно, разность не зависит от n.
Задача доказана.

Ответ №2.
Решение:
По формуле имеем:
.

Ответ: .

Ответ №3.

Решение:
Пусть n - искомый номер. Так как
и d = 2, то по формуле имеем
.
Поэтому 98=2n, n=49.
Ответ: n = 49.

Ответ №4.
Решение:
Используя формулу находим:

Подставив данные значения и , получим систему уравнений относительно и d:


Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
4d = 36, d = 9. Следовательно, .
Запишем формулу n-го члена прогрессии:


Ответ: .

Древнегреческий ученый.
Родился в Кирене (около 276-194 г. до н. э.).
Образование получил в Александрии и в Афинах.
Служил воспитателем наследного принца при дворе Птолемея III Эвергета.
Около 225 г. до н. э. начал заведовать Александрийской библиотекой.
Заложил основы научной хронологии.
Предложил вводить лишний день в календарь каждые 4 года.
Имеются труды по математике, астрономии, музыке.

Решето Эратосфена.

Возьмём последовательность в натуральном ряду, начиная с 1 и заканчивая каким то числом (пусть это будет число 12).
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
1 не является простым числом, поэтому рассмотрим последовательность, начиная с 2.
Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнём (см. приложение1).
Ближайшим незачёркнутым числом будет 3.
Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнём. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6,12, и другие.
Следующее незачёркнутое число – это 5.
Берём 5, а все остальные числа, кратные 5, зачеркиваем.

Повторяя эту процедуру снова и снова, мы в конце концов добьемся того, что незачёркнутыми останутся одни лишь простые числа – они словно просеялись сквозь решето.
Поэтому такой способ получил название «решето Эратосфена».
А для нахождения члена с определённым номером, нужно из получившейся последовательности простых чисел по порядку отсчитать этот номер (см. приложение 2).
Например, второй член данной последовательности простых чисел равен 3, третий член - 5, и т.д.


приложение 2

Из истории.

В клинописных табличках вавилонян и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметических прогрессий.
Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с практической деятельностью, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т. д.
Задачи на арифметические прогрессии имеются и в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах».

Примеры.

В качестве примеров рассмотрим последовательности (кроме первой), изложенные ранее (см. Историческая справка ).
1, 2, 3, 4, 5, ... - последовательность натуральных чисел.
Эта последовательность – арифметическая прогрессия, так как каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 1 (d=1).
2, 4, 6, 8, 10, … - последовательность четных чисел.
Эта последовательность – арифметическая прогрессия, так как каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 2 (d=2).
1, 3, 5, 7, 9, … - последовательность нечетных чисел.
Эта последовательность – арифметическая прогрессия, так как каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 2 (d=2).

1, 4, 9, 16, 25, … - последовательность квадратов натуральных чисел.
Эта последовательность не является арифметической прогрессией, так как никакой её член, начиная со второго, не получится прибавлением к предыдущему члену какого либо числа.
2, 3, 5, 7, 11, ... – последовательность простых чисел.
Эта последовательность также не является арифметической прогрессией.

В III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ получения последовательности простых чисел из любого заданного промежутка натуральных чисел.

Этот способ был назван
«решетом Эратосфена».

Это интересно.