Презентация на тему "Перестановки. Сочетания. Комбинации"

Подготовка к ГИА Подготовка к ГИА Комбинаторные задачи Комбинаторные задачи Подготовила: учитель математики Шахтерской ОШ І­ІІІ ступеней № 2 управления образования  администрации г.Шахтерска Донецкой Народной Республики Демичева  Ирина Владимировна

№№11 ПЕРЕСТАНОВКИ ПЕРЕСТАНОВКИ  Определение 1 Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов Пример 1 Пример 1 Решение.  Дано множество . перестановки этого множества.  Дано множество                     . Составить все  Составить все перестановки этого множества. Решение. Пример 1 Дано множество                     . Составить все перестановки этого множества.Решение.

№№22 ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК Теорема 1.  Число всех различных перестановок  из n элементов равно n! Замечание.   читается «n факториал» и вычисляется по  формуле Считают, что 0!=1

№ № 33 ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК  Доказательство теоремы 1.  Любую перестановку из n элементов можно выполнения действий, т.е. число перестановок, равно 1) 2) получить с помощью n действий: выбор первого элемента n различными способами, выбор второго элемента из оставшихся (n-1) элементов, т.е. (n-1) способом, выбор третьего элемента (n-2) способами, 3) …… n) выбор n-го элемента 1 способом. По правилу умножения число всех способов

№№44 ПЕРЕСТАНОВКИ С ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ ПОВТОРЕНИЯМИ Теорема 2  Число перестановок n – элементов, в котором есть одинаковые элементы, а именно элементов i –того типа ( ) вычисляется по формуле где Доказательство.  Так как перестановки между одинаковыми элементами не  изменяют вид перестановки в целом, количество  перестановок всех элементов множества нужно разделить на  число перестановок одинаковых элементов. Доказательство. Так как перестановки между одинаковыми элементами не изменяют вид перестановки в целом, количество перестановок всех элементов множества нужно разделить на число перестановок одинаковых элементов.

№№55 ЗАДАЧИ НА ПЕРЕСТАНОВКИ ЗАДАЧИ НА ПЕРЕСТАНОВКИ  Задача: Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове «экзамен», а в слове «математика»?  Решение: В слове «экзамен» все буквы различны, поэтому используем формулу для числа перестановок без повторений  В слове «математика» 3 буквы «а», 2 буквы «м», 2 буквы «т», поэтому число перестановок всех букв разделим на число перестановок повторяющихся букв:

№№66 РАЗМЕЩЕНИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ  Определение 1 Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n. Пример Дано множество . Составим все 2-размещения этого множества.

№№77 ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ  Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле  Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k действий:  1) выбор первого элемента n способами;  2) выбор второго элемента (n-1) способами;  и т. д.  k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) По правилу умножения число всех размещений n(n-1)(n-2)…(n-k+1). способами. будет Теорема доказана

№№88  Замечание. Формулу для числа ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ размещений можно записать в виде  Действительно

№№99 ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ Абонент забыл последние 3 цифры номера телефона. Какое максимальное число номеров ему нужно перебрать, если он вспомнил, что эти последние цифры разные? Решение. Задача сводится к поиску различных перестановок 3 элементов из 10 ( так как всего цифр 10). Применим формулу для числа перестановок. Ответ: 720 номеров Решение. Ответ: 720 номеров

№№1010 РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ  Определение 2 Размещением с повторением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из повторениями данных n элементов возможно с  Пример Дано множество Составим 2- размещения с повторениями:

№№1111 ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ С ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ С ПОВТОРЕНИЯМИ ПОВТОРЕНИЯМИ Теорема 2.  Число k­ размещений с  повторениями из  n  элементов вычисляется по формуле  Доказательство.  Каждый элемент  размещения можно выбрать n способами. По  правилу умножения число всех размещений с  повторениями равно

№№1212 ЗАДАЧИ НА РАЗМЕЩЕНИЯ ЗАДАЧИ НА РАЗМЕЩЕНИЯ  Сколько существует номеров машин?  Решение. Считаем, что в трех буквах номера машины не используются буквы «й», «ы», «ь», «ъ», тогда число перестановок букв равно  Число перестановок цифр равно  По правилу умножения получим число номеров машин  Ответ: 24389000 номеров

№№1313 ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ  1)Сколькими способами можно составить список из 8 учеников, если нет полного совпадения ФИО?  Решение Задача сводится к подсчету числа перестановок ФИО. P 8 !8 40320  Ответ: 40320 способов

№№1414 ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ  2)Сколькими способами можно составить список 8 учеников, так, чтобы два указанных ученика располагались рядом?  Решение Можно считать двоих указанных учеников за один объект и считать число перестановок уже 7 объектов, т.е. Так как этих двоих можно переставлять местами друг с другом, необходимо умножить результат на 2!  Ответ: 10080 способов

№№1515 ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ  3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно?  Решение. Сделаем карточки: четыре карточки с номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. Будем раздавать эти карточки с номерами групп спортсменам, и каждый способ раздачи будет соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким образом нам необходимо посчитать число перестановок 11 карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. Ответ: 6930 способов Ответ: 6930 способов

№№1616 ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ  4) Сколькими способами можно вызвать по очереди к доске 4 учеников из 7?  Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений из 7 элементов по 4 Ответ: 840 способов Ответ: 840 способов

№№1717 ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ  5)Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры различны?  Решение. В разряде единиц тысяч не может быть нуля, т.е. возможны 9 вариантов цифры. В остальных трех разрядах не может быть цифры, стоящей в разряде единиц тысяч (так как все цифры должны быть различны), поэтому число вариантов вычислим по формуле размещений без повторений из 9 по 3 По правилу умножения получим Ответ: 4536 чисел Ответ: 4536 чисел

№№1818 ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ  6)Сколько существует двоичных чисел, длина которых не превосходит 10?  Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений с повторениями из двух элементов по 10 Ответ: 1024 чисел Ответ: 1024 чисел

№№1919 ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ  7)В лифт 9 этажного дома зашли 7 человек. Сколькими способами они могут распределиться по этажам дома?  Решение. Очевидно, что на первом этаже никому не надо выходить. Каждый из 7 человек может выбрать любой из 8 этажей, поэтому по правилу умножения получим  Можно так же применить формулу для числа размещений с повторениями из 8 (этажей) по 7(на каждого человека по одному этажу) Ответ: 2097152 способов Ответ: 2097152 способов

№№2020 ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ  8)Сколько чисел, меньше 10000 можно написать с помощью цифр 2,7,0?  Решение. Так как среди цифр есть 0, то, например запись 0227 соответствует числу 227, запись 0072 соответствует числу 72, а запись 0007 соответствует числу 7. Таким образом, задачу можно решить, используя формулу числа размещений с повторениями  Ответ: 81 число

№№2121 СОЧЕТАНИЯ СОЧЕТАНИЯ

№№2222 СОЧЕТАНИЯ СОЧЕТАНИЯ

№№2323 СОЧЕТАНИЯ. ЗАДАЧИ СОЧЕТАНИЯ. ЗАДАЧИ Ответ: 220 способов

№№2424 СОЧЕТАНИЯ. ЗАДАЧИ СОЧЕТАНИЯ. ЗАДАЧИ В  классе  учатся  14  мальчиков  и  12  девочек.  Для  участия  в  соревнованиях  следует  выделить  четырёх  мальчиков  и  трёх  девочек.  Сколькими  способами  можно сделать выбор? 220220 Ответ: 220220 способов

Список литературы Список литературы 1.ГИА­2013.  Математика:  типовые  экзаменационные  варианты: 30 вариантов/ под редакцией А. Л. Семенова, И.  В. Ященко. – М.:Национальное образование, 2013. 2. Математика. Базовый уровень. ГИА­2014. Пособие для  Ф.Ф.Лысенко,  «чайников»/под  С.Ю.Калабухова.­ Ростов н/Д:Легион, 2013. 3.  Математика.  ЕГЭ  2015.  Книга  1.  Базовый  уровень.  Профильный  уровень/Д.А.Мальцев  и  др.­  Ростов  н/Д:  Издатель Мальцев Д.А.; М.:Народное образование, 2015. редакцией  Интернет-ресурсы Интернет-ресурсы Шаблоны для оформления презентаций по математике  http://www.uchportal.ru/load/160­1­0­31926