Презентация на тему "Софизмы в математике" 9 класс

Что такое софизмы?    ♦ Софизм – (с греч.­  уловка, выдумка,  головоломка) это  мнимое  доказательство,  удивительное  утверждение, в  доказательстве  которого кроются  незаметные, а  подчас и довольно  тонкие ошибки!

Из истории… • • Аристотель называл софизмом «мнимые  доказательства», в которых обоснованность  заключения кажущаяся и обязана чисто  впечатлению, вызванному недостаточностью  логического  анализа.             Убедительность на первый взгляд  многих софизмов, их «логичность» обычно  связана с хорошо замаскированной ошибкой:  за счёт метафоричности речи или омонимии,  нарушающих однозначность мысли и  приводящих к смешению значений терминов.  Или просто логической ошибкой: подмена  основной мысли доказательства, принятие  ложных посылок за истинные, несоблюдение  допустимых способов рассуждения,  использование «неразрешенных» или даже  «запрещенных» правил или действий,  например деления на нуль в математических  софизмах

Классификация софизмов  • 1. Алгебраические софизмы  • 2. Геометрические софизмы • 3. Логические софизмы  • 4. Оптические иллюзии

Алгебраические софизмы  • Алгебра — один из больших  разделов математики,  принадлежащий наряду с  арифметикой и геометрией к числу  старейших ветвей этой науки.  Задачи, а также методы,   отличающие её от других отраслей  математики, создавались  постепенно, начиная с древности.  Алгебра возникла под влиянием  нужд общественной практики, в  результате поисков общих приёмов  для решения однотипных  арифметических задач. Приёмы  эти заключаются обычно в  составлении и решении уравнений.  Т.е. алгебраические софизмы –  намеренно скрытые ошибки в  уравнениях и числовых  выражениях.

«Дважды два ­ пять!» • Возьмем в качестве исходного соотношения  следующее очевидное равенство:  • 4:4= 5:5    (1) . • После вынесения за скобки общего множителя из  каждой части равенства  (1)  будем иметь:   равенстве (2).   • 4∙(1:1)=5∙(1:1)       (2) •  или  • (2∙2)(1:1)=5(1:1)   (3)  • Наконец, • зная, что 1:1=1, мы из соотношения   (2)     устанавливаем:      • 2∙2=5. • Где ошибка? • Нельзя выносить множитель за скобки, как это сделано в

«Неравные числа равны»  • Возьмем два неравных  между собой  произвольных числа а и b. Пусть их  разность равна с, т.е. а­b=c  • Умножив обе части этого равенства  на а­b, получим (а­b)2 =c(a­b), а  раскрыв скобки, придем к равенству  a2­2ab+b2=ca­cb, из которого  следует равенство a2­ab­ac=ab­b2­ bc. Вынося общий множитель а  слева и общий множитель b справа  за скобки получим:  • a(a­b­c)=b(a­b­c)   (1) • Разделив последнее равенство на  (a­b­c) ,  получаем, что  • a=b      • Где ошибка?   • Т. к. а­b=c, то a­b­c=0,  следовательно, ошибка заключается  в деление на 0.

«Единица равна минус  единице»  • Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2=1,  или х2­1=0. Раскладывая х2­1 по формуле разности  квадратов, получим:  (х­1)(х+1)=0    (1) • • Разделив обе части этого равенства на х­1, имеем:  • х+1=0 и х = ­1   (2) • Поскольку по условию х=1, то отсюда приходим к  равенству  • 1= ­1 • Где ошибка?  • Ошибка аналогична ошибке в примере 13.

Геометрические софизмы  • Геометрические  софизмы – это  умозаключения или  рассуждения,  обосновывающие какую­ нибудь заведомую  нелепость, абсурд или  парадоксальное  утверждение, связанное  с геометрическими  фигурами и действиями  над ними.    B   L C M K D A

« Отрезки параллельных прямых, заключенные  между сторонами угла, равны»  E C D A B • Рассмотрим произвольный угол с вершиной в  точке Е и пересечем их стороны двумя  параллельными прямыми, отрезки которых  АВ и CD заключены между сторонами этого  угла.  • Как известно параллельные прямы отсекают  от сторон угла пропорциональные отрезки,  следовательно, откуда  • АЕ∙DE=BE∙CE • Умножив обе части последнего равенства на  отличную от нуля разность АВ – CD, запишем  • AE∙DE∙AB ­ AE∙DE∙CD = AE∙DE∙CD ­  BE∙CE∙CD, • Или • AB(AE∙DE ­ BE∙CE) = CD(AE∙DE ­ BE∙CE) • Разделив обе части последнего равенства на  (AE∙DE ­ BE∙CE) получим равенство  • АВ=CD  • Где ошибка?    • Т.к. АЕ∙DE=BE∙CE, то AE∙DE ­ BE∙CE = 0, то    ошибка в деление на 0.

«Куда пропала клетка?»  • И еще один пример софизма.  Посмотрим на рисунок.  Прямоугольники явно  равносоставленные, но площадь  одного равна 64 клеткам, а  площадь другого­ 65.     И здесь ошибка в чертеже  .Точки В, Е, F и D не лежат на  одной прямой, а являются  вершинами очень узкого  параллелограмма, площадь  которого равна площади одной  клетки­ той самой лишней  клетки.

«Все хорды одной и той же окружности равны»  • Возьмем две произвольные неравные хорды одной произвольной  окружности и проведем соответственно равные им и параллельные  между собой хорды АВ и CD. Пусть S – точка пересечения  продолжений отрезков АС и BD.  • Поскольку треугольники SAB и SCD подобны, то имеет место  пропорция   , откуда  • • AB∙SC=CD∙AS A • Умножая почленно последнее равенство на отличную от нуля  величину CD­AB, получим  C D • AB∙SC∙CD ­ AB2∙SC = AS∙CD2 ­ AB∙AS∙CD, • или  • AB∙SC∙CD ­ AS∙CD2 = AB2∙SC ­ AB∙AS∙CD B • а после вынесения общего множителя в левой и правой частях  S получим  • CD(AB∙SC ­ AS∙CD) = AB(AB∙SC ­ AS∙CD) • Сокращая последнее равенство на общий множитель, получим  окончательное равенство ACDBS • CD=AB • Где ошибка?  • Т.к.  AB∙SC=CD∙AS, то AB∙SC ­ AS∙CD=0. Т.е ошибка в деление на 0.

Логические софизмы  • Кроме математических  софизмов, существует  множество других. Понять  абсурдность таких утверждений  проще, но от этого они не  становятся менее интересными.  Очень многие софизмы  выглядят как лишенная смысла и  цели игра с языком; игра,  опирающаяся на многозначность  языковых выражений, их  неполноту, недосказанность,  зависимость их значений от  контекста и т.д. Эти софизмы  кажутся особенно наивными и  несерьезными.

«Чётное и нечётное» • «5 есть 2 + 3 («два  и три»). Два —  число чётное, три  — нечётное,  выходит, что пять  — число и чётное и  нечётное. Пять не  делится на два,  также как и 2 + 3,  значит, оба числа  не чётные!»

«Вор» • «Вор не желает  приобрести ничего  дурного.  Приобретение  хорошего есть дело  хорошее.  Следовательно,  вор желает  хорошего».

«Лекарства» • «Лекарство,  принимаемое  больным, есть добро.  Чем больше делать  добра, тем лучше.  Значит, лекарств  нужно принимать как  можно больше».

Оптические иллюзии • Оптические иллюзии (более узко — зрительные  иллюзии) — ошибки в зрительном восприятии,  вызванные неточностью или неадекватностью  процессов неосознаваемой коррекции зрительного  образа (лунная иллюзия, неверная оценка длины  отрезков, величины углов или цвета изображённого  объекта, иллюзии движения, «иллюзия отсутствия  объекта» — баннерная слепота, и др.), а также  физическими причинами («сплюснутая Луна»,  «сломанная ложка» в стакане с водой). Причины  оптических иллюзий исследуют как при  рассмотрении физиологии зрения, так и в рамках  изучения психологии зрительного восприятия.

• Оптические иллюзии показывают, что не  всегда можно верить тому, что видишь.  Многие полагают, что реально только  то, что у них перед глазами. Оптические  иллюзии отражают наличие  неочевидного в жизни — иллюзорный  феномен. • Игры с оптическими иллюзиями  помогают изменять сознание. Мы  хитростью заманиваем мозг на новые  уровни восприятия. Мы начинаем видеть  то, чего нет.

Заключение  • Поиск  заключенных в софизме ошибок, ясное  понимание их причин ведет к осмысленному изучению  математики. Обнаружение и анализ ошибки,  заключенной в софизме, очень часто оказывается  более поучительным, чем просто разбор решений  «безошибочных» задач.  Эффектная демонстрация  «доказательства»  явно неверного результата,  демонстрация того, к какой нелепице приводит  пренебрежение каким­либо математическим правилом,  и последующий поиск  и разбор ошибки, позволяют  понять и «закрепить» математическое правило или  утверждение. Такой подход способствует пониманию  того, что математика – это живая наука, а не собрание  закостенелых догм, выдуманных по чьей­то злой воле.