Урок закрепления изученного материала. Результатом деятельности учащихся на уроке должно стать:
обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания знаний о простейших задачах в координатах: определение координаты середины отрезка, вычисление длины вектора по его координатам, расстояние между двумя точками. рассматриваются простейшие задачи в координатах.Рассматриваются простейших задачах в координатах: определение координаты середины отрезка, вычисление длины вектора по его координатам, расстояние между двумя точками.
zz
ВВ
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Найти координаты точек А, В, С и
векторов ОА, ОВ, ОС
AA(1(1;; 3 3;;66))
B(B(2;3; 4)
2;3; 4)
OA{OA{11;; 3 3;;66}}
OB{OB{2;3; 4}
2;3; 4}
I I I I I I I I
I I I I I I I I
СС
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
ii
jj
kk
OO
I I I I I I I I
I I I I I I I I
xx
yy
C( 3;2; 6)
C( 3;2; 6)
OC{ 3;2; 6}
OC{ 3;2; 6}
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
АА
№№440808
Найдите координаты векторов
OA=4OA=4
OB=9OB=9
OC=2OC=2
АА
xx
AC,AC,
CB,CB, AB,AB, MN,MN, NP,NP, BM,BM, OM,OM, OP.OP.
M, N P – середины отрезков АС, ОС и
ВС
NN
OO
jj
РР
99
yy
ВВ
zz
СС
22
kk
ММ
44
ii
Из АОС,
ACAC
= = AAО + ОС
О + ОС
= –О= –ОAA + ОС
+ ОС = –4= –4ii + + 22kk
AC {4; 0 ; 2}
AC {4; 0 ; 2}
Найти координаты векторов.
a a {{22; 4;1};
; 4;1};
bb{{22; ; 00;1,5};
;1,5};
22
dd{{22;3; };
;3; };
33
c c {{2;52;5;0};
;0};
e e {2;3;8};
{2;3;8};
11
f(f(0; 5; };
0; 5; };
22
33aa{{
} }
22bb{
{ }}
33dd{ { }
}
cc{ { }
}
0,50,5ee{{
}}
22ff{{
}}
Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов
Проверить.
Найти координаты
векторов,
противоположных
данным.
a a {{22; 4;5};
; 4;5};
bb{{22; ; 00;1};
;1};
dd{0; 0; 0};
{0; 0; 0};
aa{ }
{ }
bb{ }
{ }
dd{ }
{ }
––jj{ }
{ }
––ii{ }
{ }
––kk{ }
{ }
Проверить.
Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов
a a {{22; 4; 3};
; 4; 3};
bb{{22; ; 00; 4};
; 4};
c c {{2;52;5; 4};
f(f(0; 5;3};
0; 5;3};
bb{{22; ; 00;1};
;1};
a a {{22; 4;0};
; 4;0};
c c {3; 2;3};
{3; 2;3};
dd{{22;3;1};
;3;1};
; 4}; e e {2;3;9};
{2;3;9};
dd{{22;3;7};
;3;7};
dd{{22;3;4};
;3;4};
c c {3; 2;9};
{3; 2;9};
Найти координаты
векторов.
a +c {{ }
}
a +c
b+db+d{
{ }
}
c +ec +e{ { }
}
f df d{ {
}}
b db d{
{ }}
a ca c{{ }
}
Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов
Проверить.
коллинеарными,
Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
Коллинеарные, сонаправленные векторы
Коллинеарные, сонаправленные векторы
bb
aa
cc
aa
cc
cc
bb
bb
aa
Нулевой вектор
Нулевой вектор условимся считать
сонаправленным с любым вектором.
bb
aa
oo
cc
oo
oo
коллинеарными,
Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
Коллинеарные,
Коллинеарные,
противоположно направленные векторы
противоположно направленные векторы
bb
aa
cc
aa
cc
bb
bb
Коллинеарны ли векторы
a a {{33; ; 66;; 8 8};};
33 66 88
bb{{66;;1212;1;166}}
66 1212 1166
==
==
==
11
22
илиили
aa
bb== 11
22
aa
bb = = 22
bb
aa
Векторы и коллинеарны.
Замените так, чтобы векторы были коллинеарны.
**
a a {{22; ;
;; 6 6};}; bb{{44;;33;;
}}
1212
1,51,5
**
**
c c {0;{0; 2;
2; };};
1212
**
ff{ ;
{ ;0,5;0,5;33}}
00
**
компланарными, если при
Векторы называются компланарными
откладывании их от одной и той же точки они будут
лежать в одной плоскости.
Другими словами, векторы называются
компланарными, если имеются равные им векторы,
компланарными
лежащие в одной плоскости.
cc
cc
aa
bbbb
Любые два вектора компланарны.
Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, также компланарны.
коллинеарных, также компланарны.
Признак компланарности
Признак компланарности
cc
Если вектор можно разложить по векторам
Если вектор можно разложить по векторам
aa
cc =
= xa + yb
xa + yb
bb
и , т.е. представить в виде
и , т.е. представить в виде
aa bb
y – некоторые числа, то векторы , и
где x x ии y
– некоторые числа, то векторы , и
где
cc
компланарны.
компланарны.
Компланарны ли векторы
a a {{22; ; 66;;33};};
22 66 33
66 1818 99
и
bb{{66;;1818;;99} }
ii
==
==
==
11
33
Векторы , , компланарны.
Векторы и коллинеарны.
aa bb ii
aa
bb
Компланарны ли векторы
a a {{22; 4;
и
; 4; 33};}; bb{{66;;111;1;99}; };
MMMM
00==
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Значит, эти векторы компланарны.
Компланарны ли векторы
n n {{22; ; 66;;33};};
ff{0; 5; 0}
{0; 5; 0}
и
ff
nn ff
jj
Векторы и коллинеарны.
jj
{0; 1; 0}
{0; 1; 0}
Векторы , , компланарны.
jj
Компланарны ли векторы
a a {3;3; 0};
{3;3; 0}; i i {1; 0; 0};
{1; 0; 0};
и
j j {0; 1; 0}
{0; 1; 0}
Компланарны ли векторы
a a {3;3; 0};
{3;3; 0};
i i {{ 1; 0; 0};
1; 0; 0};
j j {{ 0; 1; 0}
0; 1; 0}
= xx i + y
aa =
i + y jj
= xx 11 + y + y 00
––33 =
= xx 00 + y + y 11
––33 =
= xx 00 + y + y 00
00 =
Признак компланарности
Признак компланарности
е
и
н
е
н
в
а
р
у
1
е
и
н
е
н
в
а
р
у
2
е
и
н
е
н
в
а
р
у
3
Проверим, можно ли разложить, например , вектор
по
ii
jj
векторам и .
Существуют ли такие числа и , что
= xx i + y
aa =
i + y jj
xx
yy
aa
Каждая координата вектора равна разности
Каждая координата вектора равна разности
Выразим координаты вектора АВ АВ через
координаты
соответствующих координат его конца и начала.
соответствующих координат его конца и начала.
его начала А и конца В.
Из АОB,
= = AAО + ОО + ОBB
ABAB
zz
= –О= –ОAA + О + ОBB
OAOA{{xx11;; y y11;; z z11}}
OBOB{{xx22;; y y22;; z z22}}
BB((xx22;; y y22;; z z22))
ОО
xx
AA((xx11;; y y11;; z z11))
yy
**
++
––OAOA{{xx11;; y y11;; z z11}}
OBOB{{xx22;; y y22;; z z22}}
OB – OA
OB – OA
ABAB {{xx22xx11;; y y22yy11;; z z22zz11}}
AA ((3;5;7),
3;5;7),
BB
((5;4;1),
5;4;1),
ABAB
––
AA((3;5;7)
3;5;7)
BB((5;4;1)
5;4;1)
AB{2;1;8}
AB{2;1;8}
NN((3;2;3),
3;2;3),
OO((0;0;0),
0;0;0),
ONON
Радиусвектор
ON{3; 2;3}
ON{3; 2;3}
PP
((2;1;0),
2;1;0),
CC
((4;4;2),
4;4;2),
PCPC
RR
((4;0;4),
4;0;4),
TT
((0;5;1),
0;5;1),
TRTR
DD((3;4;0),
3;4;0),
Радиусвектор
ODOD
OO((0;0;0),
0;0;0),
OD{3;4; 0}
OD{3;4; 0}
––
PP((2;1;0)
2;1;0)
CC((4;4;2)
4;4;2)
PC{2;3; 2}
PC{2;3; 2}
––
RR((4;0;4)
4;0;4)
TT((0; 5;1)
0; 5;1)
TR{4;5;3}
TR{4;5;3}
Найдите координаты
векторов
RR(2(2;;77;1);1); ; M(2;7;3); RM
M(2;7;3); RM
PP((5;1;4)
5;1;4); ; D(5;7;2); PD
D(5;7;2); PD
RR((3;0;2)
3;0;2); ; N(0;5;3); RN
N(0;5;3); RN
AA((0;3;4)
0;3;4); ; B(4;0;3); BA
B(4;0;3); BA
AA((22;;77;5);5); ; B(2;0;3); AB
B(2;0;3); AB
RR((7;7;77;6)
;6); ; T(2;7;0); RT
T(2;7;0); RT
MM((2;7;3)
2;7;3)
––
RR((2; 7;1)
2; 7;1)
RM{4;0;2}
RM{4;0;2}
DD((5;7;2)
5;7;2)
––
PP((5; 1;4)
5; 1;4)
PD{ 0; 6;6}
PD{ 0; 6;6}
NN((0; 5;3)
0; 5;3)
––
RR((3;0;2)
3;0;2)
RN{3; 5;1}
RN{3; 5;1}
AA((0; 3;4)
0; 3;4)
––
BB((4;0;3)
4;0;3)
BA{4; 3;7}
BA{4; 3;7}
BB((2;0;3)
2;0;3)
––
AA((2;7;5)
2;7;5)
AB{0;7;8}
AB{0;7;8}
TT((2;7;0)
2;7;0)
––
RR((7; 7;6)
7; 7;6)
RT{5;14;6}
RT{5;14;6}
RR(2(2;;77;1);1); ; M(2;7;3); RM
M(2;7;3); RM
PP((5;1;4)
5;1;4); ; D(5;7;2); PD
D(5;7;2); PD
Найти координаты векторов.
{{
}}
{{
}}
{{
}}
RR((3;0;2)
3;0;2); ; N(0;5;3); RN
N(0;5;3); RN
AA((0;3;4)
0;3;4); ; B(4;0;3); BA
B(4;0;3); BA
AA((22;;77;5);5); ; B(2;0;3); AB
B(2;0;3); AB
RR((7;7;77;6)
;6); ; T(2;7;0); RT
T(2;7;0); RT
{{
}}
{{
}}
{{
}}
Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов
Проверить.
Планиметрия
Планиметрия
BB
CC
AA
ОС
1
2
(
ОА
ОВ
)
OO
Координаты середины отрезка
Координаты середины отрезка
OCOC
==OCOC
zz
11
(OA+OB)
22 (OA+OB)
AA((xx11;;yy11;;zz11))
++
OA{OA{xx11;;yy11;;zz11}}
OB{OB{xx22;;yy22;;zz22}}
OA+OB{xx11++xx22; ; yy11++yy22;;zz11+z+z22}} :2:2
OA+OB{
C C ((xx;;yy;;zz))
BB((xx22;;yy22;;zz22))
yy
11
(OA+OB)
22 (OA+OB)
xx11++xx22
x = ;;
x =
22
xx11++xx22
yy11++yy22
; ;
{{
22
22
yy11++yy22
y = ; ;
z =
z =
y =
22
zz11++zz22
}}
; ;
22
zz11++zz22
22
ОО
xx
**
Каждая координата середины отрезка равна
Каждая координата середины отрезка равна
полусумме соответствующих координат его концов.
соответствующих координат его концов.
полусумме
zz11++zz22
}}
; ;
xx11++xx22
yy11++yy22
; ;
{{
OCOC
22
22
yy11++yy22
xx11++xx22
zz11++zz22
;;
; ;
) )
CC((
22
22
22
zz
AA((xx11;;yy11;;zz11))
22
Полусумма ординат
Полусумма ординат
BB((xx22;;yy22;;zz22))
yy
**
yy11++yy22
yy =
= ;;
22
ОО
xx
Полусумма абсцисс
Полусумма абсцисс
**
xx11++xx22
xx =
= ;;
22
Полусумма аппликат
Полусумма аппликат
**
zz = =
zz11++zz22
22
424 (aa))
№ № 424 (
отрезка
0; 3;4), BB((2;2;0),
AA((0; 3;4),
Найдите координаты середины
2;2;0), середина – точка
MM
( ; ; )
11( ; ; )
2,52,5 22
Полусумма абсцисс
Полусумма абсцисс
Полусумма ординат
Полусумма ординат
xx11++xx22
xx =
= ;;
22
0+(2)
x =x = 0+(2)
22
= 1= 1
yy11++yy22
yy =
= ;;
22
yy == 3 +23 +2
22
= 2,5= 2,5
Полусумма аппликат
Полусумма аппликат
zz11++zz22
zz = =
; ;
22
4 +0
4 +0
zz =
=
22
= 2= 2
Найдите координаты
середины отрезков
RR(2(2;;77;4);4); ; M(2;7;2); C
M(2;7;2); C
PP((5;1;3)
RR((3;0;3)
CC((0; 7; 3
0; 7; 3))
4 + 2
7 + 7
2+(2)
2+(2)
4 + 2
7 + 7
; )
; ;
((
; )
22
22
22
5+(5)
3 +(9)
1 + 7
5+(5)
3 +(9)
1 + 7
; )
; ;
((
; )
5;1;3); ; D(5;7;9); C
D(5;7;9); C
22
22
3+0
3+0
0+5
3+(5)
0+5
3+(5)
));;
;;
; ;
((
22
22
22
6+2
9+(6) CC((2;2;1,5
0+(4)
9+(6)
6+2
0+(4)
; ;
;;
));;
((
2;2;1,5))
22
22
22
3;0;3); ; N(0;5;5); C
N(0;5;5); C
CC((1,5;2,5;4
1,5;2,5;4))
CC((5; 4;3
5; 4;3))
AA((0;6;9)
0;6;9); ; B(4;2;6); C
B(4;2;6); C
22
AA((7;7;77;0);0); ; B(2;0;4); C
B(2;0;4); C
RR((7;4;0)
7;4;0); ; T(2;7;0); C
T(2;7;0); C
7+(2)
7 + 0
0+(4)
7 + 0
7+(2)
0+(4)
;;
));;
; ;
((
22
22
22
0+0
7+(2)
4+(7)
4+(7)
7+(2)
0+0
));;
;;
; ;
((
22
22
22
CC((2,5; 3,5;2
2,5; 3,5;2))
CC((4,5;1,5;0
4,5;1,5;0))
Найти координаты середин отрезков.
RR(2(2;;77;;44)); ; M(2;7;2);
M(2;7;2);
CC
PP((5;1;3)
RR((3;0;3)
(( ))
((
))
((
))
5;1;3); ; D(5;7;9); C
D(5;7;9); C
3;0;3); ; N(0;5;5); C
N(0;5;5); C
AA((0;6;9)
0;6;9); ; B(4;2;6); C
B(4;2;6); C
AA((7;7;77;0);0); ; B(2;0;4);
B(2;0;4); CC
((
))
((
))
((
))
RR((7;4;0)
7;4;0); ; T(2;7;0);
T(2;7;0); C C
Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов.
Проверить.
Обратная задача.
Обратная задача.
yy11
zz11
xx11
AA((5; 4;6)
5; 4;6)
AA((5; 4; 6);
5; 4; 6);
Дано:
C(3; 2; 10) – середина отрезка ABAB
C(3; 2; 10) –
Найти:
BB((aa; ; b;cb;c))
xx11++xx22
xx =
= ;;
22
5 + 5 + aa
= ;;
33=
= 5 + aa
– – 66 = 5 +
aa = = – – 1111
22
22
yy11++yy22
yy =
= ;;
22
4 +4 + bb
= ;;
2 2 =
22
+ bb
44 = = 44 +
bb = 0= 0
22
yy
xx
zz
C(3; 2;10)
C(3; 2;10)
yy22
xx22
zz22
BB((aa; ; b;cb;c))
zz11++zz22
22
6 +6 + cc
22 22
=
10 10 =
zz = =
= 6 + cc
2020 = 6 +
cc = 26= 26
11; 0;26)
BB((11; 0;26)
a a {{xx;;yy;;zz}}
Вычисление длины вектора по его координатам
Вычисление длины вектора по его координатам
По правилу параллелепипеда
OAOA22= OA= OA11
OAOA 22= = OAOA11
22 + OA+ OA22
22 + + OAOA22
zz
AA33
22
22 + OA+ OA33
22 + + OAOA33
22
AA
aa
yy jj
zzkk
ОО
xxii
= = xx
yy
OAOA11 = = xxii
OAOA22 = = yy jj = =
= = zz
OAOA33 = = zzkk
yy
AA22
AA11
xx
aa
aa
**
2
2
= =
xx= =
2
2
xx +
yy
2
+ + + zz
2
2
+ + + +
yy
zz
zz
ОО
Расстояние между двумя точками
Расстояние между двумя точками
dd
MM22((xx22;;yy22;;zz22))
yy
––
MM22((xx22;;yy22;;zz22))
MM11((xx11;;yy11;;zz11))
MM11MM22 { {xx22–x–x11; ; yy22–y–y11;;zz22–z–z11}}
xx
MM11((xx11;;yy11;;zz11))
aa
2
xx= =
**
2
+ + + +
yy
2
zz
= ((xx22–x–x11))22+(+(yy22–y–y11))22+(+(zz22–z–z11))22
((xx22–x–x11))22+(+(yy22–y–y11))22+(+(zz22–z–z11))22
MM11MM2 2 =
dd = =
**
№ № 426 (
426 (aa))
Найдите длину вектора АВ
;2) и B(1;2;3)
B(1;2;3)
AA(1(1;;00;2)
1 1 способ
способ
11))
––
B(1;2;3)
B(1;2;3)
AA(1(1;;00;2);2)
AB{2;2;1}
AB{2;2;1}
2)2)
+ zz22
= =
xx22 +
aa
+ yy22 +
AB =AB = 2222++(2)
(2)22+1+122
= 9= 9
= 3= 3
22 способ
способ
AB =AB =
((xx22–x–x11))22+(+(yy22–y–y11))22+(+(zz22–z–z11))22
AB =AB =
(1(1++1)1)22+(+(––22––0)0)22+(3–2)
+(3–2)22
№ № 426 (б)
426 (б)
Найдите длину вектора АВ
AA(35(35;;1717;2;200) ) и B(B(3434;;55;;88))
aa
xx22 +
2)2)
1 способ
1 способ
= =
1 1 способ
способ
B(B(3434;; 55;; 8 8))
AA(35(35;;1717;2;200))
11))
––
AB{AB{ 1 1;; 1 12;2;1122}}
+ yy22 +
+ zz22
AB =AB = 1122++121222++((112)2)22 ==
= = 1717
= = 289289
22 способ
способ
((xx22–x–x11))22+(+(yy22–y–y11))22+(+(zz22–z–z11))22
AB =AB =
2 способ
2 способ
AB =AB =
((3434++3535))22+(+(––55++1717))22+(+(88–2–200))22
2 способ2 способ 1 способ1 способ
Простейшие задачи в координатах 11.ppt
