Презентация по геометрии " Простейшие задачи в координатах" 11 класс

zz ВВ I I                                 I I                             I I             I I                                 I I                                     I I                                 I I                                 I I Найти координаты точек  А, В, С и  векторов ОА,  ОВ,  ОС  AA(­1(­1;; 3 3;;­6­6)) B(B(­­2;­3; 4) 2;­3; 4) OA{OA{­1­1;; 3 3;;­6­6}} OB{OB{­­2;­3; 4} 2;­3; 4} I        I         I                  I         I         I         I         I     I        I         I                  I         I         I         I         I   СС I I                                     I I                                 I I                                 I I                                 I I ii jj kk OO I        I        I        I       I        I                I       I   I        I        I        I       I        I                I       I   xx yy C( 3;­2; 6) C( 3;­2; 6) OC{ 3;­2; 6} OC{ 3;­2; 6} I I                                     I I                                 I I                                 I I                                 I I АА

№№440808 Найдите координаты векторов OA=4OA=4 OB=9OB=9 OC=2OC=2 АА xx AC,AC, CB,CB, AB,AB, MN,MN, NP,NP, BM,BM, OM,OM, OP.OP. M, N  P – середины отрезков АС, ОС и  ВС NN OO jj РР 99 yy ВВ zz СС 22 kk ММ 44 ii Из    АОС,    ACAC = = AAО + ОС О + ОС = –О= –ОAA + ОС  + ОС = –4= –4ii  + + 22kk AC {­4; 0 ; 2} AC {­4; 0 ; 2}

Найти координаты векторов.                               a a {{22; 4;­1}; ; 4;­1}; bb{{­2­2; ; 00;1,5}; ;1,5}; 22 dd{{­2­2;­3;    }; ;­3;    }; 33 c c {{2;­52;­5;0}; ;0}; e e {2;­3;8}; {2;­3;8}; 11 f(f(0; 5;­   }; 0; 5;­   }; 22 33aa{{                  } } ­­22bb{     {              }} ­­33dd{ {          }        } ­­cc{ {           }       } 0,50,5ee{{                      }} ­­22ff{{                     }} Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов                               Проверить.

Найти координаты  векторов,  противоположных  данным.                               a a {{22; 4;­5}; ; 4;­5}; bb{{­2­2; ; 00;­1}; ;­1}; dd{0; 0; 0}; {0; 0; 0}; ­­aa{         } {         } ­­bb{         } {         } ­­dd{         } {         } ––jj{         } {         } ––ii{         } {         } ––kk{         } {         } Проверить. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов

a a {{22; 4; 3}; ; 4; 3}; bb{{­2­2; ; 00; 4}; ; 4}; c c {{2;­52;­5; 4}; f(f(0; 5;­3}; 0; 5;­3}; bb{{­2­2; ; 00;­1}; ;­1}; a a {{22; 4;0}; ; 4;0}; c c {3; 2;­3}; {3; 2;­3}; dd{{­2­2;­3;­1}; ;­3;­1}; ; 4}; e e {2;­3;­9}; {2;­3;­9}; dd{{­2­2;­3;7}; ;­3;7}; dd{{­2­2;­3;­4}; ;­3;­4}; c c {3; 2;­9}; {3; 2;­9}; Найти координаты   векторов.                              a +c {{          }         } a +c  b+db+d{     {          }     } c +ec +e{ {          }        } f ­ df ­ d{ {                    }} b ­ db ­ d{      {               }} a ­ ca ­ c{{           }          } Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов                               Проверить.

коллинеарными,      Два ненулевых вектора называются коллинеарными,  если они лежат на одной прямой или на параллельных  прямых. Коллинеарные, сонаправленные векторы Коллинеарные, сонаправленные векторы bb aa cc aa cc cc bb bb aa     Нулевой вектор  Нулевой вектор условимся считать  сонаправленным с любым вектором. bb aa oo cc oo oo

коллинеарными,      Два ненулевых вектора называются коллинеарными,  если они лежат на одной прямой или на параллельных  прямых. Коллинеарные,  Коллинеарные,                          противоположно направленные векторы противоположно направленные векторы                          bb aa cc aa cc bb bb

Коллинеарны ли векторы  a a {{33; ; 66;; 8 8};}; 33   66 88 bb{{66;;1212;1;166}}   66   1212   1166 == == == 11 22 илиили  aa bb== 11 22 aa bb = = 22 bb aa Векторы         и        коллинеарны. Замените      так, чтобы векторы были коллинеарны.   **   a a {{22; ;              ;; 6 6};}; bb{{44;;­3­3;;         }} 1212     ­1,5­1,5 **   **   c c {0;{0;  2;     2;      };}; ­12­12 **   ff{   ; {   ;­­0,5;0,5;33}} 00 **

компланарными, если при       Векторы называются компланарными откладывании их от одной и той же точки они будут  лежать в одной плоскости.       Другими словами, векторы называются  компланарными, если имеются равные им векторы,  компланарными лежащие в одной плоскости. cc cc aa bbbb

Любые два вектора компланарны. Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два  Три вектора, среди которых имеются два  коллинеарных, также компланарны. коллинеарных, также компланарны. Признак компланарности Признак компланарности cc Если вектор       можно разложить по векторам  Если вектор       можно разложить по векторам  aa cc =   = xa + yb xa + yb bb       и        , т.е. представить в виде   и        , т.е. представить в виде          aa bb  y – некоторые числа, то векторы      ,        и   где x x ии y  – некоторые числа, то векторы      ,        и   где  cc компланарны. компланарны.

Компланарны ли векторы  a a {{22; ; 66;;­3­3};}; 22   66 ­3­3   66   1818   ­9­9                                                     и bb{{66;;1818;;­9­9}  }   ii == == == 11 33 Векторы        ,       ,       компланарны. Векторы         и        коллинеарны. aa bb ii aa bb Компланарны ли векторы  a a {{22; 4;                                                         и ; 4; 33};}; bb{{66;;111;1;­9­9};  };   MMMM 00== Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.  Значит, эти векторы компланарны.

Компланарны ли векторы  n n {{22; ; 66;;­3­3};}; ff{0; 5; 0}   {0; 5; 0}                                                      и ff nn ff jj Векторы         и        коллинеарны. jj {0; 1; 0}  {0; 1; 0}  Векторы        ,       ,       компланарны. jj Компланарны ли векторы  a a {­3;­3; 0}; {­3;­3; 0}; i i {1; 0; 0};   {1; 0; 0};                                                          и j j {0; 1; 0}  {0; 1; 0}

Компланарны ли векторы                                                          a a {­3;­3; 0}; {­3;­3; 0}; i i {{  1; 0; 0};   1; 0; 0};   j j {{  0; 1; 0}  0; 1; 0}   = xx  i + y aa =  i + y  jj    = xx    11 + y + y    00 ––33 =     = xx    00 + y + y    11 ––33 =     = xx    00 + y + y    00     00 =  Признак компланарности Признак компланарности е и н е н в а р у   1 е и н е н в а р у   2 е и н е н в а р у   3 Проверим, можно ли разложить, например , вектор         по ii jj векторам       и      . Существуют ли такие числа       и     , что  = xx  i + y aa =  i + y  jj xx yy aa

Каждая координата вектора равна разности  Каждая координата вектора равна разности  Выразим координаты вектора АВ  АВ  через  координаты  соответствующих координат его конца и начала. соответствующих координат его конца и начала. его начала А и конца В.  Из    АОB,   = = AAО + ОО + ОBB  ABAB zz = –О= –ОAA + О + ОBB   OAOA{{xx11;; y y11;; z z11}} OBOB{{xx22;; y y22;; z z22}} BB((xx22;; y y22;; z z22)) ОО xx AA((xx11;; y y11;; z z11)) yy ** ++ ––OAOA{­{­xx11;; ­y ­y11;; ­z ­z11}} OBOB{{xx22;; y y22;; z z22}} OB – OA OB – OA ABAB {{xx22­­xx11;; y y22­y­y11;; z z22­z­z11}}

AA ((3;5;7), 3;5;7), BB ((5;4;­1), 5;4;­1), ABAB –– AA((3;5;7) 3;5;7) BB((5;4;­1) 5;4;­1) AB{2;­1;­8} AB{2;­1;­8} NN((3;2;­3), 3;2;­3), OO((0;0;0), 0;0;0), ONON  Радиус­вектор ON{3; 2;­3} ON{3; 2;­3} PP ((2;­1;0), 2;­1;0), CC ((4;­4;2), 4;­4;2), PCPC RR ((­4;0;­4), ­4;0;­4), TT ((0;5;­1), 0;5;­1), TRTR DD((­3;­4;0), ­3;­4;0), Радиус­вектор ODOD OO((0;0;0), 0;0;0), OD{­3;­4; 0} OD{­3;­4; 0} –– PP((2;­1;0) 2;­1;0) CC((4;­4;2) 4;­4;2) PC{2;­3; 2} PC{2;­3; 2} –– RR((­4;0;­4) ­4;0;­4) TT((0; 5;­1) 0; 5;­1) TR{­4;­5;­3} TR{­4;­5;­3}

Найдите координаты  векторов RR(2(2;;77;1);1);  ;  M(­2;7;3);  RM M(­2;7;3);  RM PP((­5;1;4) ­5;1;4); ; D(­5;7;­2);  PD D(­5;7;­2);  PD RR((­3;0;­2) ­3;0;­2); ; N(0;5;­3);  RN N(0;5;­3);  RN AA((0;3;4) 0;3;4); ;  B(­4;0;­3);   BA  B(­4;0;­3);   BA AA((­­22;;77;5);5);  ;  B(­2;0;­3);  AB B(­2;0;­3);  AB RR((­7;­7;77;­6) ;­6);  ;  T(­2;­7;0); RT T(­2;­7;0); RT MM((­2;7;3) ­2;7;3) –– RR((2; 7;1) 2; 7;1) RM{­4;0;2} RM{­4;0;2} DD((­5;7;­2) ­5;7;­2) –– PP((­5; 1;4) ­5; 1;4) PD{ 0; 6;­6} PD{ 0; 6;­6} NN((0; 5;­3) 0; 5;­3) –– RR((­3;0;­2) ­3;0;­2) RN{3; 5;­1} RN{3; 5;­1} AA((0; 3;4) 0; 3;4) –– BB((­4;0;­3) ­4;0;­3) BA{4; 3;7} BA{4; 3;7} BB((­2;0;­3) ­2;0;­3) –– AA((­2;7;5) ­2;7;5) AB{0;­7;­8} AB{0;­7;­8} TT((­2;­7;0) ­2;­7;0) –– RR((­7; 7;­6) ­7; 7;­6) RT{5;­14;6} RT{5;­14;6}

RR(2(2;;77;1);1);  ;  M(­2;7;3);    RM M(­2;7;3);    RM PP((­5;1;4) ­5;1;4);  ;  D(­5;7;­2);    PD D(­5;7;­2);    PD Найти координаты векторов.                               {{                   }} {{                   }} {{                   }} RR((­3;0;­2) ­3;0;­2);  ;  N(0;5;­3);     RN N(0;5;­3);     RN AA((0;3;4) 0;3;4); ;     B(­4;0;­3);     BA B(­4;0;­3);     BA AA((­­22;;77;5);5);  ;  B(­2;0;­3);    AB B(­2;0;­3);    AB RR((­7;­7;77;­6) ;­6);  ;  T(­2;­7;0);   RT T(­2;­7;0);   RT {{                   }} {{                   }} {{                   }} Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов                               Проверить.

Планиметрия  Планиметрия  BB CC AA ОС  1 2 ( ОА  ОВ ) OO

Координаты середины отрезка Координаты середины отрезка OCOC ==OCOC zz 11 (OA+OB) 22 (OA+OB) AA((xx11;;yy11;;zz11)) ++ OA{OA{xx11;;yy11;;zz11}} OB{OB{xx22;;yy22;;zz22}} OA+OB{xx11++xx22; ; yy11++yy22;;zz11+z+z22}} :2:2 OA+OB{ C C ((xx;;yy;;zz)) BB((xx22;;yy22;;zz22)) yy 11 (OA+OB) 22 (OA+OB) xx11++xx22 x =            ;; x =           22 xx11++xx22 yy11++yy22           ;           ; {{           22 22                               yy11++yy22 y =           ; ;  z =  z =  y =            22 zz11++zz22           }}   ;           ;           22 zz11++zz22 22 ОО xx **

Каждая координата середины отрезка равна  Каждая координата середины отрезка равна          полусумме соответствующих координат его концов. соответствующих координат его концов. полусумме  zz11++zz22           }}   ;           ;           xx11++xx22 yy11++yy22           ;           ; {{           OCOC 22 22                               yy11++yy22 xx11++xx22 zz11++zz22          ;;                     ; ;                     ) )  CC((           22 22                                           22 zz AA((xx11;;yy11;;zz11)) 22 Полусумма ординат Полусумма ординат BB((xx22;;yy22;;zz22)) yy ** yy11++yy22 yy  =            =           ;; 22 ОО xx Полусумма абсцисс Полусумма абсцисс ** xx11++xx22 xx  =           =            ;; 22 Полусумма аппликат Полусумма аппликат ** zz  = =  zz11++zz22 22

424 (aa))      № № 424 ( отрезка  0; 3;­4), BB((­2;2;0),  AA((0; 3;­4),      Найдите координаты середины  ­2;2;0), середина – точка MM (   ;      ;    ) ­1­1(   ;      ;    ) 2,52,5 ­2­2 Полусумма абсцисс Полусумма абсцисс Полусумма ординат Полусумма ординат xx11++xx22 xx  =           =            ;; 22 0+(­2) x =x = 0+(­2) 22 = ­1= ­1 yy11++yy22 yy  =            =           ;; 22 yy    == 3 +23 +2 22 = 2,5= 2,5 Полусумма аппликат Полусумма аппликат zz11++zz22 zz  = =                      ;  ;     22    ­4 +0 ­4 +0 zz    =          =          22 = ­2= ­2

Найдите координаты  середины отрезков RR(2(2;;77;4);4); ;  M(­2;7;2);   C  M(­2;7;2);   C PP((­5;1;3) RR((­3;0;­3) CC((0; 7; 3 0; 7; 3)) 4 + 2   7 + 7   2+(­2)   2+(­2)   4 + 2   7 + 7          ;        )           ; ;         ((           ;        ) 22 22 22 ­5+(­5)  3 +(­9) 1 + 7   ­5+(­5)  3 +(­9) 1 + 7          ;          )           ; ;               ((           ;          ) ­5;1;3);  ;  D(­5;7;­9);  C     D(­5;7;­9);  C        22 22   ­3+0  ­3+0  0+5  ­3+(­5)  0+5  ­3+(­5)           ));;      ;;                 ; ;             ((              22 22 22 ­6+2   9+(­6)   CC((­2;­2;1,5 0+(­4)   9+(­6)   ­6+2   0+(­4)             ; ;                ;;                   ));;       ((           ­2;­2;1,5)) 22 22 22 ­3;0;­3);  ;  N(0;5;­5);  C N(0;5;­5);  C CC((­1,5;2,5;­4 ­1,5;2,5;­4)) CC((­5; 4;­3 ­5; 4;­3)) AA((0;­6;9) 0;­6;9); ;  B(­4;2;­6);  C  B(­4;2;­6);  C 22 AA((7;7;77;0);0);  ;  B(­2;0;­4);   C B(­2;0;­4);   C RR((­7;4;0) ­7;4;0); ; T(­2;­7;0);   C T(­2;­7;0);   C 7+(­2)   7 + 0   0+(­4) 7 + 0   7+(­2)   0+(­4)        ;;                   ));;           ; ;               ((           22 22 22 0+0  ­7+(­2)  4+(­7)   4+(­7)   ­7+(­2)  0+0       ));;        ;;                ; ;               ((              22    22 22 CC((2,5; 3,5;­2 2,5; 3,5;­2)) CC((­4,5;­1,5;0 ­4,5;­1,5;0))

Найти координаты середин отрезков.                               RR(2(2;;77;;44));  ;  M(­2;7;2);     M(­2;7;2);     CC PP((­5;1;3)    RR((­3;0;­3) ((                          )) ((                            ))                 ((            )) ­5;1;3);  ;  D(­5;7;­9);   C    D(­5;7;­9);   C    ­3;0;­3); ; N(0;5;­5);    C N(0;5;­5);    C AA((0;­6;9) 0;­6;9); ;  B(­4;2;­6);   C  B(­4;2;­6);   C AA((7;7;77;0);0);  ;  B(­2;0;­4);    B(­2;0;­4);     CC ((                            ))                 ((            ))                 ((            )) RR((­7;4;0) ­7;4;0);  ;  T(­2;­7;0);  T(­2;­7;0);    C C Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов.                               Проверить.

Обратная задача. Обратная задача. yy11 zz11 xx11 AA((5; 4;­6) 5; 4;­6)          AA((5; 4; ­6);   5; 4; ­6);             Дано:  C(­3; 2; 10) – середина отрезка  ABAB C(­3; 2; 10) –  Найти:  BB((aa; ; b;cb;c)) xx11++xx22 xx  =           =            ;; 22   5 + 5 + aa =            ;; ­3­3=           = 5 + aa – – 66  = 5 +  aa  = = – – 1111   22 22 yy11++yy22 yy  =            =           ;; 22 4 +4 +  bb =            ;; 2 2 =           22  + bb 44  = = 44 +  bb  = 0= 0 22 yy xx zz C(­3; 2;10) C(­3; 2;10) yy22 xx22 zz22 BB((aa; ; b;cb;c)) zz11++zz22 22 ­6 +­6 +  cc 22 22 =             10 10 =           zz  = =  = ­6 + cc 2020  = ­6 +  cc  = 26= 26 ­11; 0;26) BB((­11; 0;26)

a a {{xx;;yy;;zz}} Вычисление длины вектора по его координатам Вычисление длины вектора по его координатам По правилу параллелепипеда OAOA22= OA= OA11 OAOA  22= =   OAOA11   22  + OA+ OA22 22  + +   OAOA22   zz AA33 22   22  + OA+ OA33 22  + +   OAOA33   22   AA aa yy  jj zzkk ОО xxii = =  xx yy OAOA11  = = xxii OAOA22  = = yy  jj = =  = =  zz OAOA33  = = zzkk yy AA22 AA11 xx   aa   aa ** 2 2 = =  xx= =  2 2 xx +       yy 2 +        + +  zz 2 2 +     +       + +  yy   zz

zz ОО Расстояние между двумя точками  Расстояние между двумя точками  dd   MM22((xx22;;yy22;;zz22)) yy –– MM22((xx22;;yy22;;zz22)) MM11((xx11;;yy11;;zz11)) MM11MM22 { {xx22–x–x11; ; yy22–y–y11;;zz22–z–z11}} xx MM11((xx11;;yy11;;zz11))   aa 2 xx= =  ** 2 +     +       + +  yy 2   zz  =  ((xx22–x–x11))22+(+(yy22–y–y11))22+(+(zz22–z–z11))22 ((xx22–x–x11))22+(+(yy22–y–y11))22+(+(zz22–z–z11))22 MM11MM2 2  =  dd = = **

№ № 426 ( 426 (aa))           Найдите длину вектора АВ  ;2)  и    B(1;­2;3) B(1;­2;3) AA(­1(­1;;00;2)   1 1 способ способ 11)) –– B(1;­2;3) B(1;­2;3) AA(­1(­1;;00;2);2) AB{2;­2;1} AB{2;­2;1} 2)2)  + zz22   = =  xx22 +    aa  + yy22 +  AB  =AB  = 2222++(­2) (­2)22+1+122 =   9=   9 = 3= 3 22  способ способ AB  =AB  = ((xx22–x–x11))22+(+(yy22–y–y11))22+(+(zz22–z–z11))22 AB  =AB  = (1(1++1)1)22+(+(––22––0)0)22+(3–2) +(3–2)22

№ № 426 (б) 426 (б)           Найдите длину вектора АВ  AA(­35(­35;;­17­17;2;200)  )  и    B(B(­34­34;­;­55;;88))   aa xx22 +  2)2) 1 способ 1 способ = =  1 1 способ способ B(B(­34­34;;  ­­55;; 8 8)) AA(­35(­35;;­17­17;2;200)) 11)) –– AB{AB{ 1 1;; 1 12;2;­­1122}}  + yy22 +   + zz22   AB  =AB  = 1122++121222++(­(­112)2)22  == = = 1717 =  =  289289 22  способ способ ((xx22–x–x11))22+(+(yy22–y–y11))22+(+(zz22–z–z11))22 AB  =AB  = 2 способ 2 способ AB  =AB  = ((­34­34++3535))22+(+(––55++1717))22+(+(88–2–200))22   2 способ2 способ 1 способ1 способ