Презентация по геометрии "Параллельность плоскостей".

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Определение Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются α ‖ β α β

Взаимное расположение плоскостей Пересекающиеся плоскости α ⋂ β β α Параллельные плоскости β α α ‖ β

Признак параллельности плоскостей Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны b1a1 b М a β α с Дано: α; β; a⊂α; a1⊂ β; a || a1; b⊂α, b1⊂ β; b || b1; Доказать: α a ⋂ b = M. || β

Доказательство Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c. Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой плоскости β. Прямая a2 параллельна прямой b2, значит она параллельна и самой плоскости β (признак Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из параллельности прямой и прямых a1 или a2 пересекает прямую c, то есть имеет с плоскости). ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β, значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β. Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.

1 свойство параллельных плоскостей Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны Дано: α, β, γ, α ‖ β γ ⋂ α = a, γ ⋂ β = bДоказать: a || b γ b a β α

Доказательство Пусть α и β - параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их. Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a. Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b. Линии пересечения a и b лежат в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

2 свойство параллельных плоскостей Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны α β C A D B γ Дано: α; β; γ; α ‖ β; γ ⋂ α = AC; γ ⋂ β = BD; AB ‖ CD. Доказать: AB = CD

Доказательство Пусть α и β - параллельные плоскости, а a и b – параллельные прямые, пересекающие их. Через прямые a и b можно провести плоскость - эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну. Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD. По предыдущей теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть AB=CD

Спасибо за внимание!