Презентация по математике "Обратная функция"

Обратная функция

Повторим Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определенному правилу f число у, то, говорят, что на этом множестве задана функция. D(f) – область определения функции; х – независимая переменная или аргумент; у – зависимая переменная; множество всех значений y=f(x), xϵХ называют областью значений функции и обозначают E(f).

•   Если функция принимает каждое свое значение у только при одном значении x, то эту функцию называют обратимой.       Пусть обратимая функция. Тогда каждому из множества значений функции соответствует одно определенное число из области определения, такое, чтоЭто соответствие определяет функцию от , которую обозначим . Поменяем местами и : Функцию называют обратной к функции . Обозначают .

y 0 5 x y 5 0 x   1. D(y)= (; 5) 2. E(y)= (; 0)   1. D(y)= (; 0) 2. E(y)= (; 5)

Свойства обратных функций: •   1. Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции , а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции 2. Монотонная функция является обратимой: а) если функция возрастает, то обратная к ней функция также возрастает; б) если функция убывает, то обратная к ней функция также убывает.

Пример •   Показать, что для функции существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение. Решение: Функция возрастает на R. Значит, обратная функция существует на R. Решим уравнение относительно . Получим, Поменяв местами и получим: Это и есть искомая обратная функция.

Пример •   Дана функция Доказать, что для нее существует обратная записать аналитическое выражение обратной функции в виде и построить график обратной функции. функция,

она имеет •   Решение: Функция возрастает на промежутке обратную значит, функцию. . Из уравнения Промежутку принадлежат лишь значения функции . находим: или

•   Поменяв местами и получим График этой функции получается из графика функции с помощью симметрии относительно прямой .