Презентация по геометрии "Все о четырехугольниках" (9 класс)

Все о четырехугольниках Все о четырехугольниках                  (теория)                   (теория) Ершова Любовь Германовна Ершова Любовь Германовна учитель математики учитель математики МАОУ СОШ №1 г. Кунгур Пермский край МАОУ СОШ №1 г. Кунгур Пермский край

Содержание Содержание Определения Параллелограмм       а) Свойства параллелограмма Прямоугольник, ромб, квадрат       а) Свойства прямоугольника, ромба, квадрата  Трапеция (определения, виды)          а) Свойства трапеции Свойства вписанных и описанных четырёхуго льников Формулы площадей        а) прямоугольника и квадрата         б) параллелограмма          в) ромба         г) трапеции         д) произвольного четырёхугольника

Определения Определения  Четырёхугольник  Соседние вершины  Противолежащие вершины  Диагонали четырёхугольника Четырёхугольник – это многоугольник с  четырьмя вершинами и четырьмя сторонами Соседние вершины – вершины, являющиеся  концами одной из сторон четырёхугольника  Противолежащие вершины – вершины не  являющиеся соседними Диагонали четырёхугольника – отрезки,  соединяющие противолежащие вершины. Соседние стороны – стороны, исходящие из  одной вершины. Противолежащие стороны – стороны, не  являющиеся соседними. Периметр – сумма длин всех сторон  четырёхугольника.  Соседние стороны  Противолежащие стороны  Периметр

Параллелограмм Параллелограмм Параллелограмм – это  Параллелограмм  четырехугольник, у которого  противолежащие  стороны  параллельны

Свойства параллелограмма Свойства параллелограмма 1.1. Противолежащие стороны параллелограмма  равны 2.2. Противолежащие углы параллелограмма равны 3.3. Диагонали параллелограмма пересекаются и  точкой пересечения делятся пополам Утверждения, обратные свойствам 1­31­3, являются  признаками параллелограмма, т.е.   если противолежащие стороны  четырёхугольника равны, то этот  параллелограмм четырёхугольник ­ параллелограмм

Свойства параллелограмма Свойства параллелограмма  44. Сумма квадратов диагоналей  параллелограмма равна удвоенной  сумме квадратов его сторон.            т.е. (2 a ) 2 d 1 d 2 2 2 2 b     аа dd22 dd11 вв

Прямоугольник, ромб, квадрат Прямоугольник, ромб, квадрат Прямоугольник - это Прямоугольник параллелограмм, у которого все углы прямые Ромб – это параллелограмм, у Ромб которого все стороны равны. Квадрат – это прямоугольник, у Квадрат которого все стороны равны. Квадрат – это ромб, у которого Квадрат все углы прямые.

Свойства прямоугольника,  Свойства прямоугольника,  ромба и квадрата ромба и квадрата 1.1. Диагонали прямоугольника равны. 2.2. Диагонали ромба пересекаются 3.3. Диагонали ромба являются 4.4. Диагонали квадрата: 1) равны 2) пересекаются под прямым углом 3) являются биссектрисами его под прямым углом. биссектрисами его углов. углов

Свойства прямоугольника,  Свойства прямоугольника,  ромба и квадрата ромба и квадрата 5.5. Для прямоугольника, ромба и квадрата справедливы все свойства параллелограмма.

Трапеция (определения) Трапеция (определения)  Трапеция  Основания трапеции  Боковые стороны трапеции Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Основания трапеции – её параллельные стороны. Боковые стороны трапеции – непараллельные, противолежащие стороны трапеции Высота трапеции – это отрезок  Высота трапеции перпендикуляра от любой точки одного основания до её другого основания(или его продолжения) Средняя линия трапеции – отрезок соединяющий середины боковых сторон трапеции.  Средняя линия трапеции

Виды трапеции Виды трапеции Равнобокая Равнобокая (равнобедренная) (равнобедренная) Прямоугольная Прямоугольная

Свойства трапеции Свойства трапеции 1.1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их ba полусумме. MN   2 2.2. У равнобокой трапеции углы при основании (верхнем и нижнем) равны.

Свойства трапеции Свойства трапеции 3.3. Пусть АВСАВСDD – трапеция с основаниями ААDD и ВСВС, точка ЕЕ- точка пересечения её диагоналей. ВВ СС SS∆∆АВЕАВЕ SS∆D∆DСЕСЕ ЕЕ АА DD Тогда SS∆∆АВЕАВЕ = Данное свойство верно для любых = SS∆D∆DСЕСЕ трапеций.

Свойства вписанных и описанных  Свойства вписанных и описанных         четырёхугольников        четырёхугольников 1.1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180° ВВ А + С = В А + С = В АА + + DD = 180 = 180°° СС DD

Свойства вписанных и описанных  Свойства вписанных и описанных         четырёхугольников        четырёхугольников 2.2. Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны. вв а + с = а + с = аа в + в + dd сс dd

Свойства вписанных и описанных  Свойства вписанных и описанных         четырёхугольников        четырёхугольников 3.3. Если четырёхугольник вписан в окружность, то произведение его диагоналей равно сумме произведений его противолежащих сторон. АСАС··ВВDD = = АВАВ··ССDD + А + АD·D·ВСВС СС ВВ АА DD

Формулы площадей  Формулы площадей                     четырёхугольников                    четырёхугольников а а – сторона; dd – диагональ Квадрат: Квадрат: S = a² S = a² S =1S =1//2·d² 2·d² аа dd Прямоугольник: а, ва, в – стороны; Прямоугольник: – стороны; dd – диагональ; ββ – угол между диагоналями S = a· ·SinSin ββ dd вв S = a·в в S =1S =1//2·d²2·d² ββ аа

Формулы площадей                        Формулы площадей                                          четырёхугольников                 четырёхугольников  Параллелограмм: а, ва, в – стороны; Параллелограмм: – стороны; αα – угол между сторонами; – угол между сторонами; d1d1 ии d2d2 – диагонали; ββ – угол между угол между диагонали диагоналями; hhaa ии hhвв - высоты, - высоты, диагоналями проведенные к сторонам аа и и вв проведенные к сторонам соответственно соответственно S = S = aa··hhaa = = вв··hhвв S = S = a·a·вв·Sin·Sinαα аа hhвв S =1S =1//2·d2·d11dd22 ·SinSin αα ββ вв hhaa

Формулы площадей                        Формулы площадей                           Ромб: аа – сторона; Ромб:                четырёхугольников                четырёхугольников – сторона; αα – угол – угол между сторонами; d1d1 ии d2d2 – между сторонами; диагонали; hh – высота – высота диагонали; S = a·hh S = a· S = S = аа hh a²·Sinαα a²·Sin dd22 S S =1=1//2·d2·d11dd22 dd11

– угол между сторонами; dd11 ии Формулы площадей                        Формулы площадей                                          четырёхугольников                четырёхугольников Трапеция: а, ва, в – основания; Трапеция: – основания; αα – угол между сторонами; диагонали; ββ – угол между угол между dd22 – диагонали – высота; mm – – диагоналями; hh – высота; диагоналями средняя линия средняя линия S = S = mm··hh S =1S =1//22 ·d·d11dd22 ·SinSin ββ S S hh =1=1//2·2·(а+в) mm аа d1d1 ββ (а+в)· · hh вв d2d2

Запомним h a h a h a h a S = axh b h a S =  a+b 2 xh

Формулы площадей                        Формулы площадей                                          четырёхугольников                четырёхугольников Произвольный  Произвольный  четырёхугольник: dd11 ии dd22 – четырёхугольник: диагонали; ββ – угол между угол между диагонали диагоналями диагоналями ββ S S =1=1//22 ·d·d11dd22 ·SinSin ββ dd22 dd11

Используемые ресурсы Л.С. Атанасян. Учебник геометрии 7-9.М.: «Просвещение», 2009 г. Т.С. Степанова. Математика. Весь  школьный курс в таблицах., Минск,  «Букмастер»,2012 https://www.google.com/search?hl=ru&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1382&bih=732&q= %D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA %D0%B0&oq=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC %D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA %D0%B0&gs_l=img.1.0.0l10.11499.13684.0.20805.10.7.0.3.3.0.113.481.6j1.7.0...0.0...1ac.1.7.img.Z Rxa7gaF­MI#imgrc=hBP2SMLPpmMX9M%3A%3BLrDnnfsdseyC3M%3Bhttp%253A%252F %252Fimg16.slando.ua%252Fimages_slandocomua%252F74852745_1_644x461_podgotovka­k­ zno­matematika­harkov.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fkharkov.kha.slando.ua%252Fobyavlenie %252Fpodgotovka­k­zno­matematika­ID5e1v1.html%3B527%3B461