Презентация по математике на теме "Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли" (11 класс)

Математ ика Тема: «Построение графика неявно  заданной функции на примере  лемнискаты Бернулли» Е.М. Сухачева

Цель: ознакомление с лемнискатой. Задачи: • Дать определение лемнискаты Бернулли Бернулли • Вывести уравнение лемнискаты • Построить лемнискату • Использовать лемнискату как траекторию движения

Определение неявно заданной  функции Рассмотрим функцию, заданную неявно  уравнением F(x, y)=0. В зависимости от того, какой является функция  F(x ,y)­алгебраической или трансцендентной, ­  кривые также делятся на алгебраические и  трансцендентные. Пример: лемниската Бернулли.

Определение лемнискаты Лемниската –        это кривая, у которой  произведение расстояний  каждой ее точки до двух  заданных точек ­ фокусов  ­ постоянно и равно  квадрату половины  расстояния между ними.  МF₂∙MF₁=(½ F₂F₁)²

Историческая справка Название происходит от греч. λημνισχος (лемнискос) — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению. В 1694 г. Якоб Бернули в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он  задает уравнением. 2 (2 ха  0 ( х у 22 )   2 2 2 у ) Он отмечает сходство этой линии с цифрой 8 и узлообразной повязкой, которую он именует «лемниском». Отсюда называние лемниската. Лемниската получила широкую ивестность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682 – 1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги лемнискаты, не выражается через элементарные функции. Лемниската есть частный вид линии Кассини.

Вывод уравнения лемнискаты Пусть фокусы имеют координаты: F1(­a;0) и F2 (а;0); М(х, у)  произвольная точка геометрического места,  то по условию 2 MFMF  2 1 21FF 2/1(  Подставляя в это равенство выражения y ( )0 получим искомое уравнение данного геометрического места MF MF  ax ) )0  ax ) ( ) ( y  2 ;  2  2   2 ,  2 ( 1     ax  2   2 y        ax  2   2 y 2   a 

Преобразование уравнения  лемнискаты Дальнейшая цель­ получить уравнение лемнискаты Бернулли в  более простом виде.  Возводя в квадрат обе части уравнения и группируя члены,  2  а ]2) ах  2  [( х  2 у 2  а ]2) ах   а 4 2 находим 2 х у [(  отсюда 2 х ( 2 ха ( 22 ) 2   у 2  2 у )  0

Построение графика  лемнискаты у  ) 2 ха ( 2 2 ( х  22 ) у 2 2   0 90 Т.к х и у входят в это уравнение  только в чётных степенях, то  лемниската симметрична  относительно координатных осей. Построить график данной функции  затруднительно.  Запишем это же уравнение в  полярной системе координат. 3 sin 2( ) 180 0 0.75 1.5 2.25 3 0 270 

Уравнение лемнискаты в полярной  системе координат 2 (  х 22 ) Поскольку х =  cos  у ρ 2  2 ха (2 ρ φ , у =    sin , х 2 у )  0 лемнискаты в полярных координатах примет вид φ 2+у2= ρ2, то уравнение  ρ  ρ 4=2а2  (cos 2 или ­ sinφ )φ 2  ρ 2=2а2 cos2 .φ

Способы построения Существует  разные способа построения  лемнискаты.  Первый способ ­ с помощью  двух угольников и нарисованной на листе бумаги  окружности. Вершина острого угла одного из  угольников находится в центре окружности,  вершина прямого угла другого ­на окружности способ Маклорена (метод секущих)

Способы построения Второй способ ­ с   помощью шарнирного  устройства, две точки  которого закреплены на  плоскости. Механизм Ватта

Применение   .5 2 cos 2 ( )  90 120 60 150 180 210 0 0.2 0.4 0.6 30 0 330 240 270  300 В технике лемниската применяется, в частности, в качестве переходной  кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на  железнодорожных линиях в горной местности и на трамвайных путях. . В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно  указать, что линия поля, создаваемого двумя параллельными токами,  текущими по бесконечно длинным проводникам в плоскости, к ним  перпендикулярной, является лемнискатой.