Презентация по математике на тему "Производная и ее применение".

Производная

Происхождение производной. В конце 17 века в Европе образовались две крупные  математические школы. Главой одной из них был  Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и  сотрудники – Лопиталь, братья Бернулли, Эйлер жили  и творили на континенте. Вторая школа,  возглавляемая Исааком Ньютоном, состояла из  английских и шотландских ученых. Обе школы  создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути  к одним и тем же результатам –  к созданию дифференциального и  интегрального исчисления.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) Исаак Ньютон (1643 – 1727)

Происхождение производной. Ряд задач дифференциального исчисления был решен  еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида  и у Архимеда, однако основное понятие – понятие  производной функции – возникло только в17 веке в  связи с необходимостью решить ряд задач из физики,  механики и математики, в первую очередь следующих  двух: определение скорости прямолинейного  неравномерного движения и построения касательной к  произвольной плоской кривой. Первую задачу: о связи скорости и пути прямолинейно и  неравномерно движущейся точки впервые решил  Ньютон. Он пришел к формуле : v  lim  t t 1 2 s t 2 2   s 1 t 1

Памятник Ньютону в Кэмбридже.

Ньютон пришел к понятию производной, исходя из  вопросов механики. Свои результаты в этой области  он изложил в трактате «Метод флюксий и  бесконечных рядов». Написана работа была в 60­е  годы 17 века, однако опубликована после смерти  Ньютона. Ньютон не заботился о том, чтобы  своевременно знакомить математическую  общественность со своими работами.  Флюксией называлась производная функции – флюэнты. Флюэнтой таже в дальнейшем называлась первообразная  функция.

В подходе Лейбница к математическому анализу  были некоторые особенности. Лейбниц мыслил  высший анализ не кинематически, как Ньютон,  а алгебраически. Он шел к своему открытию от  анализа бесконечно малых величин и теории  бесконечных рядов. В 1675 году Лейбниц завершает свой вариант  математического анализа, тщательно продумывает его  символику и терминологию, отражающую существо  дела. Почти все его нововведения укоренились в науке  и только термин  «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690),  сам Лейбниц вначале называл его  просто суммой.

Памятник Лейбницу в Лейпциге.

По мере развития анализа выяснилось, что символика  Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично  подходит для обозначения многократного  дифференцирования, частных производных и т. д. На  пользу школе Лейбница шла и его открытость,  массовая популяризация новых идей, что Ньютон  делал крайне неохотно.

Работы Лейбница по математике многочисленны и  разнообразны. В 1666 году он написал первое сочинение: «О  комбинаторном искусстве». Сейчас комбинаторика и  теория вероятности одна из обязательных тем  математики в школе.

В1672 году Лейбниц изобретает собственную  конструкцию арифмометра, гораздо лучше  паскалевской — он умел выполнять умножение,  деление и извлечение корней. Предложенные им  ступенчатый валик и подвижная каретка легли в  основу всех последующих арифмометров. Лейбниц также описал двоичную систему  счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана  современная компьютерная техника.

Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему f ′(x) = lim∆f приращению аргумента, когда приращение аргумента ∆x стремится к нулю. ∆x→ 0

Нахождение производной называют дифференцированием 2  0С     kx 2 х  x    b k   1 х 2  x    1 х     1 2 х  n x  '  n nx 1

Таблица производных ′ f  (x) f (x) C 1/(2√x) ′ f  (x) 0 k 2x nxn–1 – 1/x2 cos x – sin x f (x) √x ex ax tg x ctg x ln x loga x kx + b x2 xn 1/x sin x cos x ex ax  lna 1/cos2x – 1/sin2x 1/x 1/(x lna)

Правила нахождения производной 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u + v)′ = u′ + v′ 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой точке производную, причем (Сu)′ = С∙u′

Правила нахождения производной 3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′ 4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем 1 v(x) v′= v 2 1( )′ –v

Правила нахождения производной 5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем u(x) v(x) u′v – uv′ ( )v u ′ = v 2 6.Производная сложной функции (f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′ (x)

2 x Примеры  x 3 4 )( )1 xg  : Ответ 3 xg )( x 2    4 3 x x x 2 7 3)( xf  )2   3 Ответ : 12 f x x )(  x 2)1 )( )3 2( xh  Ответ xh: )( 2(4 )1  2   2 21 x 4 x  x

Примеры cos 2 x x  sin x 2 y y   )4  x 2sin 2 y : Ответ  cos . 5) x  3 x   y 6 Ответ :  y x 6) 1). (2     x ) (2 y 1)   x 3 3 y e  e  3 ( e Ответ 3 x x : e (2 3 x x   1) x (2   3 1) 2 e x .

ЗАДАЧА №1 Тело, подброшенное вверх движется по закону   s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Найдите: 1) Скорость тела в начальный момент времени; 2) Наибольшую высоту подъёма тела. РЕШЕНИЕ. )( tv  )( tS подсказ ка 1) v (t) = s` (t) = 8 – 10t  ­ скорость  тела; 2) t= 0, v(0) = s`(0) = 8 м/с – скорость  тела в начальный момент времени   3) s (0,8)= 4+ 8∙0,8 – 5∙ 0,64 =7,2 м –  максимальная высота  броска  тела. Ответ: 8 м/с ; 7,2 м .

ЗАДАЧА №2          При каких значениях х значение  3 x производной функции                                       1 равно 0  x ( ) 2 f x   ( ) 6 x f x  x 3  x 6           2 3 ( ) f x 12     3 1 x 2 x x x 3 x 2 3 2 2  2 1  12  12  12 2 x 1     ( ) 2 3 f x f x  ( ) 0 x   2 0  3   1 D   x 6 12 0(: 6) 26 x         D 1 4 1 ( 2) 1 8 9;  1 3 2 x 2   1 3 2 1 x Ответ x 1  2, x 2   1  2 :

“При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила” И. Ньютон “Примеры учат больше, чем теория”. М. Ломоносов

Примеры 3 х х (  x  2 ) 3 23 х 5 x  2 2 x 2 )  xfа ) ( )   xf x )( ( 1  х )1( х  xf ( xfб ) ( ) ) x )5(   2  1 2  х 5

2 x  xfв ) ( ) 3  x xf ( ) 2  1 х 3  3 ) xfг x ) (  xf ( ) 3 x 2  х 1 2 х

Производная и ее применение

Найдите производные функций:      x x   21    8   x 2  4cos 2 x              х  sin x   x   1 ответ  Правильный 2 2 Правильный ответ 1 Правильный 2  Правильный ответ 4sin x x ответ   x x ответ Правильный sin x cos Найдите производные функций:

Найдите производную функции(устно): ответ ответ Правильный а) у = 6х5 – 7х3 + 2х2 – 5,   Правильный у/ = 30 х4 – 21х2 + 4х , б)  у = (4 – 5х)7,   у/ = 7∙(– 5)∙(4 – 5х)6  = – 35∙(4 – 5х)6   в) у = 8 + 3cosх,   Правильный у/ = 8 – 3sinх ответ г) у = 4sinх – 6 lnx,  у/ = 4 cos х –  6/х Правильный ответ

Найдите производную функции(устно):   Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ

3. 4. 5.

Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 к графику дифференцируемой в точке х0 функции f – это прямая, проходящая через функции f – это прямая, проходящая через точку (хо; f(xо)) и имеющая угловой точку (хо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(хо). коэффициент f ′(хо). у f(xo) 0 y = kx + b y = kx + b αα хо y = f(x) y = f(x) х k = f ′(xo) = tg   α – k = f ′(xo) = tg   α – это угловой коэффициент касательной. это угловой коэффициент касательной.

Общий вид уравнения касательной Алгоритм составления уравнения касательной y = f ′(xo)(x – xo) + y = f ′(xo)(x – xo) + f(xo) f(xo) 1о Находим значение функции в точке хо: f(xo). 2о Дифференцируем функцию: f′(x). 3о Находим значение производной в точке хо: f′(xo). 4о Подставляем эти данные в общее

•Одна из основных задач исследования  функции – это нахождение промежутков  её возрастания и убывания. Признак возрастания функции: Если f´(x)>0 в каждой точке  интервала I, то функция f возрастает  на I. Признак убывания функции: Если f´(x)<0 в каждой точке  интервала I, то функция f убывает на  I.

Алгоритм решения неравенств методом  интервалов: Выделить функцию y=f(x). 1. Найти область определения функции D(f).  Указать промежутки непрерывности. 2. Найти нули функции, решив уравнение   f(x)=0. 3. Определить знак функции между            её нулями в области определения.

Решите неравенство: 1.                                                   2x+5≠0, х ≠­2,5 2. f(x)=0, если                                        x1= 8, x2= ­2 3. -2 8 X - 2,5 Ответ:

Алгоритм нахождения промежутков  возрастания (убывания) функции y=f(x): 1.Найти производную функции f´(x).  2.Решить уравнение f´ (x) =0. 3.Найти знак производной на  каждом интервале. 4.Согласно признаку возрастания  (убывания) функции, найти  промежутки возрастания и  убывания.

Найдите промежутки возрастания и убывания  функции: 1.  2. f´(x)=0, если  3. f ´(x) f (x) Ответ:   0 1 X

Минимум функции Точка хо называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(xo). Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+», то хо – точка локального минимума функции f(x). ++ –– minmin f′(x) f(x) f(xо) – минимум функции f(xо) – минимум функции xo x

Максимум функции Точка хо называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(xo). Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–», то хо – точка локального максимума функции f(x). –– ++ x f′(x) f(x) maxmax xo f(xо) – максимум функции f(xо) – максимум функции

Алгоритм исследования функции на монотонность 1о Дифференцируем функцию: f′(x). 2о Находим критические точки из уравнения: f′ (x) = 0. 3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0. 4о Полученные данные изображаем на схеме: f′(x) –– f(x) 5o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х1]; [x2; x3]. б) Промежутки убывания: [x1; x2]; [x3; + ∞). ++ ++ x3 –– x1 x2 x

Алгоритм исследования функции на экстремумы 1о Дифференцируем функцию: f′(x). 2о Находим критические точки из уравнения: f′ (x) = 0. 3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0. 4о Полученные данные изображаем на схеме: f′(x) –– x3 f(x) 5o a) х1; x3 – точки максимума; x2 – точка минимума. б) f(x1); f(x3) – максимумы функции; f(x2) – минимум функции. ++ ++ x –– x1 x2

Примеры •   Пример 1. Найти точку максимума функции  у = х3 +3х2 ­24х+5 Решение: Требуется найти критическую точку, в которой знак  производной меняется с плюса на минус. Область определения функции:   Найдем критические точки функции: у/ =  3х2 +6х ­24 = 0 х2  + 2х ­8= 0, D = 4 ­ 4 1  (­8) = 4+32=36,  х1= (­ 2 + 6) / 2=  2, х2= (­2­ 6) / 2=­4 , ­Критические точки. Исследуем знак производной на интервалах, разделенных  критическими точками:                                                                           х                                    ­  4                   2                                               max               min Ответ: x = ­ 4.

•   Пример 2. Найдите точки экстремума функции и определите их характер. y= x 4 8x2. Решение: y = x 4 8x2  , D(y) = R , y  = (x 4  8x2)  = 4x 3 – 16x,  y  = 0,  4x 3 – 16x = 0, 4x(x2 4) = 0, 4x(x2)  (x2) = 0,                                        x1= 0   или   х2=0   или х2=0                                                             х2 = 2             х3 =2 х1= 0, х2 = 2, х3 = 2 – это стационарные точки.                                                                                                                     ­2                 0                  2                           х Функция убывает на  (­;2,  на 0; 2.   Функция возрастает на ­2; 0, на 2; +). х3 = 2, х2 = 2 – это точки минимума.  х1= 0 – это точка максимума. Ответ: х3 = 2, х2 = 2– это точки минимума,  х1= 0 – это точка максимума.