Презентация по математике "Решение задач на смеси, сплавы и растворы" (6-9 классы)

МОУ «Средняя школа №43» г. Петрозаводск Решение задач на смеси,  сплавы и растворы Рулева Т.Г.

Закон сохранения объема  и массы        Человеку часто приходится смешивать различные жидкости,  порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что­либо  водой. В задачах такого типа эти операции приходится проводить  мысленно и выполнять расчеты. Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор),  то  V = V1 + V2  и m = m1+ m2– сохраняется объем и масса. Примеры: 1.Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве  4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11­ масса  меди. 2.Если имеется 40%­й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема  занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в  растворе равна 0,4. Рулева Т.Г.

Немного теории  Абсолютное содержание вещества в смеси – это  количество вещества, выраженное в единицах  измерения (грамм, литр и др.)   Относительное содержание вещества в смеси – это  отношение абсолютного содержания и общей массы  (объему) смеси.  Относительное содержание вещества в смеси называют  процентным содержанием или концентрацией.  Рулева Т.Г.

ЗАДАЧА №1 100% 90% 300г 270г 300*90:100 100% 30% 900г 270г 300*90:100 300+900 Смешивают 300г 90%­го  раствора соли и 900г 30%­го  раствора той же соли. Определите процентное содержание  соли в полученном растворе.                                                                              Ответ: 45% 100% 45% 540*100:1200 1200г 540г 270+270 Рулева Т.Г.                                                                              Ответ: 45%100%100%300г900гСмешивают 300г 90%­го раствора соли и 900г 30%­го раствора той же соли.Определите процентное содержание соли в полученном растворе.

ЗАДАЧА №2 Cu Zn Cu Zn М     С 65% 200 ­ х 65% =0,65   М     С    15% х 15% =0,15                                            Имеются два сплава меди со  свинцом. Один сплав содержит  15% меди, а другой 65%.  Сколько нужно взять каждого  сплава, чтобы получилось 200г  сплава, содержащего 30% меди? Рулева Т.Г. 30% 200 0,15х+0,65(200­х) = 0,3*200 0,15х ­ 0,65х = ­130 + 60 ­ 0,5х = ­70 х = 140 200 ­ 140 = 60 Ответ: 140г первого и 60г второго                                             Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?CuZnCuZn15%65%30%200х200 ­ х

ЗАДАЧА №3 Песок Цемент Щебень Ответ: 93 ведра бетона Рулева Т.Г. Чтобы залить фундамент требуется  бетон. Для его приготовления нужен  цемент, песок, щебень и вода. Вода  составляет 75% от количества цемента,  песка нужно взять в 2 раза больше, а  щебня в 4 раза больше цемента.  Сколько можно получить бетона из 12 ведер цемента? Чтобы залить фундамент требуется бетон. Для его приготовления нужен цемент, песок, щебень и вода. Вода составляет 75% от количества цемента, песка нужно взять в 2 раза больше, а щебня в 4 раза больше цемента. Сколько можно получить бетона из12 ведер цемента?

Смешали 30%­й раствор соляной кислоты с 10%­ м раствором и получили 600 г 15%­го раствора.  Сколько г каждого раствора надо было взять?   Решение 1. Обозначим x массу первого раствора, тогда масса  второго (600 ­ x). Составим уравнение:       30x + 10* (600 ­ x) = 600 *15         x = 150  Решение 2: с использованием графика.      Приравнивание площадей  равновеликих прямоугольников:                                                                        15x = 5 (600­ x)                                                                                 x =150 n (%) 30 S1= S2 S2 S1 15   10                                                                  Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора                                                                           m(г) 600 0 x Рулева Т.Г.

Имеется лом стали двух сортов с содержанием  никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять лома  каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с  содержанием 30% никеля?  С использованием графика: (приравнивание площадей  равновеликих прямоугольников)       10*х = 25*(140 – х)              х = 100        140 – 100 = 40     Ответ: 100 т и 40 т Рулева Т.Г.   n(%) 40 30    5 0 S1 S1= S2 S2 x 140  m(г)

«Правило креста»   При решении задач на смешивание растворов разных  концентраций используется «правило креста». В точке  пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси.  У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают  концентрации составных частей смеси, а справа – разности  концентраций смеси и ее составных частей:  Например, для приготовления 30 г 80% раствора H3PO4  требуется взять 20 г 90% и 10 г 60% растворов кислоты.  Рулева Т.Г.

Имеется два кислотных раствора с концентрацией 20%  и 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и  образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты  в новом растворе?  Так как первый раствор 20 % ­ й, то в нем 0,2 объема занимает  «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л,  то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой»  кислоты.  Аналогично во втором растворе будет содержаться  0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.  При смешивании обоих растворов получим 0,5+1,5=2л  кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой»  кислоты.  Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе  есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%.            Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5% Рулева Т.Г.

В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности  и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько  процентов составляет жирность молока  в бидоне?  Обозначим искомую величину за Х.  По правилу квадрата получим:                           4 6 х 6 ­ х х ­ 3   х 3 4 6 6 х  Составим пропорцию:              =                 х = 4,8   Ответ: 4,8 % ­ жирность молока.                                                             Рулева Т.Г.

Сплавили два слитка серебра:  75 г 600­й и 150 г 864­й пробы.  Определите пробу сплава.      Пусть проба сплава равна х.    Составим диагональную схему:     Получаем:   (864 – х) : (х – 600) = 75 : 150    1728 – 2х = х – 600      х = 776. Ответ: сплав 776­й пробы. Рулева Т.Г.

Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы  находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7.  Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить  1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в  отношении 5: 11? Золото: Серебро = 2: 3 Золото: Серебро = 3: 7 Х кг Золото: Серебро = 5: 11 У кг            По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.              Определяем массу золота в каждом сплаве  и получаем уравнение             Аналогично массу серебра и получаем уравнение             Записываем одну из систем: 2    *х +   * у =   * 1 5 3 10 5 16 3    * х +    * у =    * 1 5 11 16 7 10      х + у = 1         х +    у =        5 16 3 10 2 5      х + у = 1        х +    у =  7 10              Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875 3 5 11 16 Рулева Т.Г. Ответ: 125 г золота  и 875 г серебра.

От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди  0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных  кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация  меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из  отрезанных кусков?  Обозначим массу отрезанного куска х (кг).   Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция       стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах       пропорциональны.   Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг).   После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди      стало 0,6(3­х) и 0,8(2­х), а после сплавления     0,6(3­х)+0,8х и 0,8(2­х)+0,6х mм(кг) 1,8+0,2х 1,6­0,2х   2,08,1 2,06,1                  =    ,  х = 1,2                                                   Ответ: 1,2 кг х х 3 2 Рулева Т.Г. 2 3 mc(кг)

Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди  на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12  кг меди и получили латунь, в котором 75% меди.  Сколько кг меди было в куске латуни первоначально?  Обозначим искомую величину за х.  Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его  содержание меди составляет р =        %. 100 х 2 х 11  Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу  квадрата получаем:  р 25                                                                                                                                 =                       х = 22,5                                                                                                                                          Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни.  2 х 12 75 ­ р 100 25 р75 75 11 Рулева Т.Г.

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6%  и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы  получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с  содержанием меди 8%? Аналитическая модель. Переведем проценты в дроби:  6%=0,06;  11%=0,11; 8%=0,08 Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать  0,06х т меди, а «богатой» руды надо взять (20­х) т, которая будет содержать  0,11(20 ­ х) т меди.  Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т  меди, то получим уравнение: 0,06х + 0,11(20 ­ х) = 20*0,08.  Решив уравнение, получим х = 12.                                         Ответ:  12т руды с 6% содержанием меди Рулева Т.Г.

Способ Л.Ф.Магницкого  для трех веществ  Некто имеет чай трех сортов –цейлонский по 5 гривен за фунт,  индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт.  В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай  стоимостью 6 гривен за фунт? 6 6 5 12 5 8 6 1 2 1 6 2/8 1 1/10  Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части  ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10  фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая  ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен Рулева Т.Г.

Задачи для самостоятельной работы 1. К 200г раствора содержащего 60% соли, добавили 300г раствора,  содержащего 50% той же соли. Сколько процентов соли содержится  в получившемся растворе?                             Ответ: 54%. 2. Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг  сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентное  содержание меди в получившемся сплаве.   Ответ: 65%.  3. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%.  Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы при смешивании с  «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?  Ответ:12т. 4*. Для приготовления маринада необходим 2% раствор уксуса.  Сколько нужно добавить воды в 100г 9% раствора уксуса, чтобы  получить раствор для маринада?                                        Ответ: 350г. Указание: В 100г 9% раствора содержится 9г уксуса. Если 9г уксуса составляют 2%  раствора, то вся масса раствора равна (9:2)*100 = 450(г).  Рулева Т.Г.

«Только из союза двоих, работающих вместе  и при помощи друг друга, рождаются великие  вещи».                           Антуан Де Сент­Экзюпери «При единении и малое растет,  при раздоре и величайшее распадается».                                                                                     Саллюстий Гай Крисп Домашнее задание: Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной  воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы  концентрация соли составляла 1,5%?   Рулева Т.Г.