Презентация по математике "Вписанный треугольник" (11 класс)

Н ЕК О ТО РЫ Е СВ ЕД ЕН И Я И З П Л А Н И М ЕТРИ И В П И СА Н Н Ы Й Ч ЕТЫ РЕХ У ГО Л Ь Н И К

Окружностью, описанной  около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника.  В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписан ным четырёхугольником.

Если четы рёхугольник вписан в окруж ность, то суммы величин его противополож ны х углов равны 180°. Доказательство. Угол  ABC является  вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC   равна половине угловой величины дуги ADC. Угол  ADC  является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC. Поэтому величина угла  ADC равна половине угловой величины дуги ABC. Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.       Если рассмотреть углы BCD и BAD, то рассуждение будет аналогичным.

Если у четы рёхугольника суммы величин его противополож ны х углов равны 180°, то около этого четы рёхугольника мож но описать окруж ность. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A, B и С  четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга . рассматривается аналогично.       Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E, и соединим отрезком точку E с точкой A  (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE  вписан в окружность, то в силу теоремы 1сумма величин углов ABC и AEC равна 180°. При этом сумма величин углов ABC  и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC. Возникает противоречие, поскольку угол ADC является  внешним углом треугольника ADE  и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC, не смежного с ним.   Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга,

О круж ность, описанная около параллелограмма Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

О круж ность, описанная околоромба Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

О круж ность, описанная около трапеции Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Произвольны й вписанны й четы рёхугольник Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по  формуле Брахмагупты: где a, b, c, d  –  длины сторон четырёхугольника,  а p  – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четы рёхугольника  равно сумме произведений противополож ны х сторон