ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

применение преобразований целых выражений

Цели: закрепить умение использовать различные способы разложения многочлена на множители; рассмотреть решение некоторых задач с применением разложения на множители.

Ход урока

I. Устная работа.

Разложите многочлен на множители.

а) 4y⁵ – 6y⁸;                       б) 4900 – а²;                                             в) x² – ;

г) y² – 6y + 9;                                    д) 81x² – y²;                     е) 25a² – 10a + 1;

ж) у³ + 8;                            з) 121n² – m¹⁰.

II. Формирование умений и навыков.

На этом уроке следует рассмотреть, как могут быть применены различные способы разложения на множители при решении задач. Можно выделить три направления такого применения:

1) для упрощения вычислений на калькуляторе;

2) для решения уравнений;

3) для доказательства некоторых утверждений.

В соответствии с этим все задания можно разделить на три группы.

1-я группа

Сначала необходимо рассмотреть пример 4 из учебника, показывающий, как можно рационально выполнить вычисления на калькуляторе, если использовать разложение на множители. Для закрепления следует выполнить № 948.

2-я группа

1. № 949.

Решение:

а) х³ – х = 0.

    х (х² – 1) = 0;

    х (х – 1) (х + 1) = 0;

    х = 0,   или   х – 1 = 0,   или   х + 1 = 0.

Ответ: 0; –1; 1.

б) 9х – х³ = 0.

    х (9 – х²) = 0;

    х (3 – х) (3 + х) = 0;

    х = 0,   или   3 – х = 0,   или   3 + х = 0.

Ответ: –3; 0; 3.

в) х³ + х² = 0.

    х² (х + 1) = 0;

    х² = 0   или   х + 1 = 0;

    х = 0    или   х = –1.

Ответ: –1; 0.

г) 5х⁴ – 20х² = 0.

    5х² (х² – 4) = 0;

    5х² (х – 2) (х + 2) = 0;

    5х² = 0,  или   х – 2 = 0,   или   х + 2 = 0;

    х = 0,     или   х = 2,         или    х = –2.

Ответ: –2; 0; 2.

2. Можно предложить учащимся решить более сложные уравнения.

а) 2x³ – x² – 18x + 9 = 0;                                        б) 2x³ + 3x² = 2x + 3.

Решение:

а) 2x³ – x² – 18x + 9 = 0.

    (2x³ – x²) – (18x – 9) = 0;

    x² (2x – 1) – 9 (2x – 1) = 0;

    (2x – 1) (x² – 9) = 0;

    (2x – 1) (x – 3) (x + 3) = 0;

    2х – 1 = 0,    или   х – 3 = 0,   или   х + 3 = 0;

    х = ,          или   х = 3,         или   х = –3.

Ответ: –3; ; 3.

б) 2x³ + 3x² = 2x + 3.

    (2x³ + 3x²) – (2x + 3) = 0;

    x² (2x + 3) – (2x + 3) = 0;

    (2x + 3) (x² – 1) = 0;

    2х + 3 = 0,   или   х – 1 = 0,    или   х + 1 = 0;

    х = ,      или   х = 1,          или   х = –1.

Ответ: –1,5; –1; 1.

3-я группа

1. № 951.

Решение:

Разложим данный многочлен на множители:

Получили произведение трёх последовательных целых чисел. Так как числа последовательные, то хотя бы одно из них чётно, то есть кратно 2, а другое кратно 3. Это означает, что всё произведение кратно 6.

2. № 952.

Решение:

Пусть 2п + 1 и 2п + 3 – два последовательных нечётных числа. Найдем разность их квадратов.

(2п + 3)² – (2п + 1)² = ((2п + 3) – (2п + 1)) ((2п + 3) + (2п + 1)) =

= (2п + 3 – 2п – 1) (2п + 3 + 2п + 1) = 2 (4п + 4) = 8 (п + 1).

Значит, исходное выражение делится на 8.

III. Итоги урока.

– Какие вы знаете способы разложения на множители?

– Опишите суть каждого способа.

– При решении каких задач пригодится умение раскладывать многочлен на множители?

Домашнее задание: № 950; № 953; № 998 (а); № 1012 (а, г).