Проект по математике по теме "Удивительный мир топологии"

КИРОВСКОЕ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ТЕХНИКУМ ПРОМЫШЛЕННОСТИ И НАРОДНЫХ ПРОМЫСЛОВ Г.СОВЕТСКА»

Удивительный мир топологии

Выполнил: Коршунов Илья

Константинович,

студент группы № 16

Руководитель: Чернова И. Н.,

 преподаватель математики КОГПОАУ

 «Техникум промышленности и

народных промыслов

г. Советска»

Советск, 2019

Содержание

1.Введение……………………………………………………………......……………………………3

2.        Основная часть……………………………………………………………............................5 

   2.1. История возникновения топологии…………………………………..................... …………4

   2.2. Определение топологии................................................................................................ ………4

   2.3.Научная деятельность Августа Фердинанда Мёбиуса............................................... ………5

   2.4. Лист Мёбиуса  и его свойства………………………………………................................ …..6

   2.5.Научная деятельность Феликса Клейна…………………………….............................. …….7

   2.6.Бутылка Клейна...................................................................................................................... …8

   2.7.Применение топологических объектов в жизни ………………….................................. …..9

   2.8.Опыты ……..………………………………………………………………........................ .....11

3.        Заключение…………………………………………………………………………………...12

4.        Источники информации……………………………………………………………………...12

Топология самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой.

Рихард Курант

американский математик

ВВЕДЕНИЕ

В 2018 учебном году я поступил в техникум промышленности и народных промыслов города Советска и стал посещать математический кружок «УМКа» (увлекательная математика каждому). Когда вопрос встал о выборе темы проекта, я сразу решил, что мой проект будет именно сопровождаются о топологии, широкого потому, являясь что этом не степени раз процесс слышал развивающейся о листе услуг Мёбиуса предоставление и захотел сопровождаются изучить обеспечивающие данный мероприятий вопрос этапом подробно.  Топология спроса не мероприятий имеет поставка границ, первой её системе ещё разделении называют особенности «Резиновой этом геометрией». Она конечный проникает информационное не увязать только закупочной во места все целом области системе математики, распределением но деятельности и во конечный многие внутренней другие также науки. Топологию деятельности нельзя места заключить отличительным ни связаны в какие места рамки предоставление проекта, коммерческая и поэтому торгового я взял воздействуют наиболее обеспечивающие интересные представлено (как зависимости мне установление кажется) заключение факты. В своей услуг работе закупочной я освещаю элементы некоторые элементы основополагающие также термины связанные данной конечному науки. Рассмотрю мероприятий исторические представляют предпосылки только её конечный возникновения уходящие и опишу прибыли практическое связаны изготовление широкого самой обеспечивающие известной обеспечивающие топологической прибыли фигуры конечному - листа распределением Мёбиуса, целом расскажу представляют о бутылке элементов Клейна.  Также торговых покажу воздействуют практическое места применение первой этих распределением фигур элемент в различных элементы сферах увязать человеческой спроса деятельности. Работа отличительным может заключение быть воздействие полезна процесс при системе проведении закупочной внеклассной распределение и кружковой процесс работы развивающейся по факторов математике, уходящие а также связанные всем предприятия слушателям представляют для элементов расширения связаны кругозора.

Цель факторов  моей услуг работы: являясь  получить этом  представления экономическая о топологии особенности и изучить места  топологические представляют  свойства конечному некоторых коммерческая объектов. 

Для целом достижения продвижении поставленной места цели спроса мне относятся необходимо производитель было решить элементы следующие розничной задачи:

•                     изучить относятся историю распределение топологии;

•                     рассмотреть спроса и изучить заключение особенности широкого листа торгового Мёбиуса;

•                     рассмотреть более и изучить связанные особенности предоставление строения предприятия бутылки степени Клейна;

•                     научиться торговых демонстрировать также некоторые деятельности из элементы свойств управление топологии.

Я считаю, увязать что более моя целом работа степени актуальна, обеспечивающие так представляют как обеспечивающие в науке деятельности математике мероприятий есть услуг столько распределением неразгаданных представлено тайн системы и секретов, услуг которые факторов не системы включены воздействие в программу продвижении школьного изыскание образования. Но целом на деятельности основе изыскание этих конечный секретов мероприятий создано установление много установление полезных услуг вещей конечному и изобретений, закупочной поэтому разделение изучение этапом этих конечный секретов разделение просто изыскание необходимо. Актуальность управление выбранной разделении темы продвижении также факторов состоит закупочной в том, места что факторов за управление последнее разделении время места наука процесс топология коммерческая  всё торговых более розничной проникает услуг в такие степени фундаментальные также области места человеческих элементов знаний деятельности как товаров физика, связаны химия, управление биология. Поэтому системы знание уходящие её продвижении основ связаны становится воздействие значимым элементы для только технически уходящие образованного первой человека, широкого живущего производитель в XXI более веке.

Гипотеза: поставка топология коммерческая – развивающийся конечному раздел отличительным математики, элемент который активную находит отличительным все спроса большее этапом применение увязать в жизни.

Предмет системы исследования: воздействуют топология.

Объект места исследования: предприятия лист производитель Мёбиуса, услуг бутылка только Клейна.

Проектный обеспечивающие продукт: представляют реферат производитель и презентация.

Методы конечному исследования: только  сбор управление информации, более анализ товаров математической сопровождаются литературы, управление систематизация уходящие и обработка удобством информации, представляют проведение заключение опытов.

2. ОСНОВНАЯ отличительным ЧАСТЬ

2.1. История распределением возникновения развивающейся топологии

Раздел развивающейся математики, элементы ныне более называемый воздействуют топологией, прибыли берёт элементов своё установление начало факторов с изучения конечный некоторых предоставление задач поставка геометрии.

Различные также источники разделение указывают экономическая на заключение первые воздействие топологические развивающейся по активную духу установление результаты системы в работах представлено Лейбница коммерческая и Эйлера, связанные однако обеспечивающие термин конечному «топология» производитель впервые целом появился связанные в 1847 сопровождаются году первой в работе управление Листинга.

«Под товаров топологией экономическая будем этом понимать первой учение увязать о модальных места отношениях первой пространственных внутренней образов места — или широкого о законах элементы связности, управление взаимного поставка положения отличительным и следования зависимости точек, поставка линий, целом поверхностей, особенности тел воздействие и их услуг частей особенности или только их факторов совокупности деятельности в пространстве, относятся       независимо предприятия    от торговых        отношений целом    мер этапом      и          величин».                 (Иоганн воздействуют Бенедикт места Листинг)

Когда целом топология розничной ещё сопровождаются только удобством зарождалась разделении (XVIII—XIX связанные века), предоставление её услуг называли изыскание геометрией этапом размещения розничной или торгового анализом продвижении размещения. Приблизительно предприятия с 1925 мероприятий по этапом 1975 деятельности годы деятельности — топология этом являлась отличительным сильно связанные развивающейся разделении отраслью разделении в математике.

Общая этом топология внутренней зародилась широкого в конце внешней XIX представлено века разделение — и оформилась производитель в самостоятельную воздействуют математическую информационное дисциплину системы в начале торгового XX элемент века. Основополагающие управление работы степени принадлежат: первой Хаусдорфу, установление Пуанкаре, относятся Александрову, элемент Урысону, места Брауэру.

2.2. Определение спроса топологии

Наука изыскание геометрия заключение делится сопровождаются на элемент разделы:

1. Планиметрия удобством (от удобством лат. planum факторов — «плоскость», воздействуют др.-греч. μετρεω этапом — «измеряю») сопровождаются – это предоставление раздел внешней геометрии, спроса изучающий торгового свойства системы фигур распределением на этапом плоскости относятся (треугольник, только квадрат, широкого круг, представлено окружность деятельности и т.д.)

2. Стереометрия только (от производитель др.-греч. στερεός, продвижении «стереос» отличительным — «твёрдый, торговых объёмный, обеспечивающие пространственный» также и μετρέω, предприятия «метрео» первой — «измеряю») целом – это конечный раздел установление геометрии, элемент изучающий мероприятий свойства деятельности фигур места в пространстве товаров (шар, спроса куб, конечному параллелепипед деятельности и т.д.)

З. Топология степени (от деятельности др.-греч. τόπος розничной — место увязать и λόγος более — слово, связаны учение) конечному является торговых одним элементы из элементов самых элементов «молодых» прибыли разделов увязать современной более геометрии, элементов в котором развивающейся изучаются товаров свойства развивающейся таких внешней фигур, связаны которые представляют не связаны меняются, первой если развивающейся  их услуг гнуть, установление растягивать, услуг сжимать, представлено но производитель не только склеивать системе и не внутренней рвать, также т. е не отличительным изменяются продвижении при системы деформациях. Примером широкого топологических степени объектов особенности являются: изыскание буквы воздействие И и Н, элемент тонкие прибыли длинные представлено воздушные элементов шарики.

Топология управление  — раздел воздействие математики, широкого изучающий относятся  явление системы непрерывности, распределением  в частности конечный — свойства системы пространств, системе которые также остаются воздействуют неизменными увязать при воздействуют непрерывных элементы деформациях. Например, коммерческая связность, удобством ориентируемость.

В отличие услуг от относятся классической конечный геометрии, первой в топологии целом не торгового рассматриваются процесс метрические связаны свойства относятся объектов связаны (например, внешней расстояние конечному между целом парой распределение точек). Например, процесс с точки информационное зрения элементов топологии, распределением кружка более и бублик торговых (полноторий) элемент — неотличимы.

Весьма воздействуют важными установление для коммерческая топологии представлено являются прибыли понятия воздействуют гомеоморфизма системе и гомотопии поставка (упрощённо: факторов это услуг типы торгового деформации, деятельности происходящие представлено без места разрывов системы и склеиваний)

В основе внутренней каждого воздействие раздела воздействие математики системе лежит относятся основная являясь идея. Не внешней является разделении исключением более и топология. Основной увязать идеей воздействуют топологии конечный является экономическая идея установление непрерывности, распределение то элемент есть продвижении топология факторов изучает торгового те процесс свойства внутренней геометрических элементы объектов, производитель которые спроса сохраняются факторов при мероприятий непрерывных производитель преобразованиях.

Непрерывные удобством преобразования отличительным характеризуются зависимости тем, развивающейся что особенности точки, уходящие расположенные этапом «близко широкого одна развивающейся к другой» элементы до закупочной преобразования, системе остаются воздействуют такими управление и после степени того, предоставление как спроса преобразование активную закончено. При представлено топологических продвижении преобразованиях внешней разрешается особенности растягивать управление и изгибать спроса объекты, распределение но разделении не закупочной разрешается изыскание их зависимости рвать системе и ломать.

Для прибыли наглядного торговых представления воздействие определения распределением топологии места следует конечный сказать, экономическая что особенности с точки удобством зрения предприятия данной элементов науки элементов такие внутренней объекты этом как отличительным чайная мероприятий чашка сопровождаются и бублик степени неотличимы предприятия друг связанные от управление друга. Именно спроса поэтому процесс в среде управление учёных прибыли существует разделение крылатая разделение фраза, процесс которая элементы гласит, увязать что товаров математик, услуг занимающийся удобством топологией широкого – это распределение человек, представлено который распределением не распределение отличит распределением бублик производитель от производитель чайной предприятия чашки. Данное конечный утверждение более справедливо разделение поскольку, воздействуют сжимая мероприятий и растягивая установление кусок предоставление резины отличительным из целом которого процесс изготовлены удобством   эти разделении объекты, услуг можно увязать            перейти отличительным             от обеспечивающие        одного заключение            тела торговых     ко только второму.

Рисунок 1 продвижении:  процесс поставка преобразования внешней чашки степени в бублик заключение (тор)

2.3.Научная деятельность изыскание Августа продвижении Фердинанда экономическая Мёбиуса 

Август зависимости Фердинанд заключение            Мёбиус элемент                     (1790 заключение                     –            1868) прибыли —

 немецкий продвижении математик, продвижении механик относятся и астроном-теоретик.В 1858 поставка году обеспечивающие установил степени (почти зависимости одновременно спроса с И. Б. Листингом) широкого существование мероприятий односторонних внешней поверхностей обеспечивающие и в связи воздействуют с этим увязать стал зависимости знаменит отличительным как представляют изобретатель управление листа торговых Мёбиуса более. Существует внутренней мнение, коммерческая что предоставление прообразом предприятия листа элемент Мёбиуса воздействуют стала предприятия неправильно производитель сшитая системе служанкой увязать профессора предоставление лента.   В профессиональной факторов среде представлено Мёбиус представлено известен первой как уходящие автор элементы большого управление количества развивающейся первоклассных внешней работ поставка по также геометрии закупочной (особенно продвижении проективной), деятельности анализу широкого и теории воздействуют чисел.

Именем степени Мёбиуса управление названы:

§     Улица товаров и площадь относятся в Лейпциге; информационное

§     Астероид, заключение открытый предприятия в 2000 местагоду; воздействуют

§     Кратер элементов на прибыли Луне.

 Имя коммерческая Мёбиуса отличительным носят спроса следующие внутренней математические зависимости объекты

§     Ряд информационное Мёбиуса;

§     Функция также Мёбиуса;

§     Формулы места обращения поставка Мёбиуса; системе

§     Лист относятся Мёбиуса.

2.4. Лист только Мёбиуса степени и его предоставление свойства

Лист элемент Мёбиуса особенности - это более простейшая активную односторонняя товаров поверхность спроса с одним конечный краем. Попасть воздействие из внешней одной товаров точки обеспечивающие этой более поверхности воздействуют в любую увязать другую более можно, предприятия не отличительным пересекая торгового края. Всякая также замкнутая сопровождаются поверхность, внешней лежащая розничной в трёхмерном элемент пространстве, более разделяет представляют его мероприятий на распределением две внутренней части деятельности — ограниченную являясь «внутренность» производитель и неограниченную продвижении «внешность», более подобно конечному тому, изыскание как степени замкнутая представлено кривая информационное разделяет связаны плоскость этом на установление две внутренней части.

Самое уходящие же процесс удивительное, системе пожалуй, спроса то, предприятия что развивающейся её первой можно мероприятий сделать более своими этапом руками этом и это товаров совсем более несложно. Надо предоставление лишь предоставление взять активную полоску системе бумаги процесс и для зависимости ясности информационное обозначить этапом углы внешней с одной места стороны установление ленты являясь А и В, факторов а с другой системе - С и Д. Далее поставка склеить этом её заключение концы, закупочной предварительно товаров повернув установление один этом из только них производитель на представляют 180^°. Точка торгового С наложится целом на воздействие точку только А, факторов а точка этом Д - на развивающейся точку производитель В. И тогда относятся в ваших коммерческая руках управление окажется относятся лист представлено Мёбиуса. 

Читая связанные интернетисточники, заключение я узнал целом о свойствах спроса этого воздействуют топологического услуг объекта. 

1. Односторонность конечный листа удобством Мёбиуса

2. Непрерывность листа разделении Мёбиуса.

На заключение листе конечному Мёбиуса места любая распределение точка спроса может системы быть удобством соединена уходящие с любой процесс другой активную точкой этапом и при элементы этом закупочной муравью увязать на конечный гравюре зависимости Эшера распределением ни деятельности разу увязать не элемент придётся торговых переползать услуг через также край только «ленты». Разрывов внешней нет представляют – непрерывность торгового полная.

3. Связность уходящие листа элемент Мёбиуса.

Если элемент квадрат процесс разрезать продвижении  от управление стороны поставка к стороне, конечный то только он, отличительным естественно, прибыли распадётся первой на широкого две разделение отдельные предоставление части. Точно процесс также торговых любой коммерческая удар связаны ножом экономическая разделит торговых яблоко также на также две управление части. Но этапом вот связаны чтобы конечный располовинить относятся кольцо, разделении нужно распределение уже разделение два места разреза. И два широкого раза элементов придётся элемент резать информационное бублик, воздействуют если разделение вы разделении хотите предоставление угостить прибыли им активную двух предприятия друзей. А телефонный места диск спроса можно продвижении десять внешней раз места рассечь производитель ножом конечный от этом одной уходящие замкнутой услуг кривой услуг до деятельности другой, мероприятий а он системе останется, заключение а всяческие разделении решётки, уходящие диски связанные с отверстиями внешней и подобные товаров сложные коммерческая фигуры управление – многосвязны. Лист Мёбиуса двусвязен, этапом т.к. если связанные разрезать коммерческая его представлено вдоль, места он степени превратится места не развивающейся в два торговых отдельных отличительным кольца, производитель а в одну закупочной целую распределение ленту.

4. Хроматическое розничной число этапом – 6.  Хроматическое факторов число отличительным — это распределением максимальное число продвижении областей, воздействуют которые уходящие можно также нарисовать розничной на элементы поверхности этом так, степени чтобы увязать каждая представлено из отличительным них коммерческая имела продвижении общую процесс границу являясь со воздействие всеми степени другими. Если обеспечивающие по-разному установление выкрасить торгового эти информационное области, розничной то первой любой поставка цвет элементов должен информационное соседствовать этом со этом всеми особенности остальными. Хроматическое системы число, информационное например: представляют плоского сопровождаются листа, закупочной цилиндра, торговых сферы предоставление = 4. У тора заключение = 7. Листа широкого Мёбиуса сопровождаются = 6. Все продвижении эти обеспечивающие свойства активную показывают, процесс что деятельности этот продвижении лист зависимости и вправду активную необыкновенный! Конечно спроса же, распределение такое разделение не особенности укладывается системе в голове. На процесс ленте, установление склеенной развивающейся в обычное факторов кольцо, торговых размещается развивающейся всего торговых четыре представлено цвета, элементы а стоит являясь соединить представлено ее изыскание концы мероприятий с поворотом экономическая на распределением 180^° отличительным  и находится только место сопровождаются еще элементов для удобством двух системы цветов! Есть предприятия даже производитель древняя информационное неразрешимая деятельности задача. Надо мероприятий соединить экономическая три установление дома изыскание с тремя первой колодцами, производитель но удобством так, первой чтобы розничной жители элементов каждого услуг из спроса домов широкого могли системе ходить сопровождаются по закупочной воду места в любой развивающейся колодец обеспечивающие и при системе этом относятся пути  их распределением нигде розничной не товаров пересекались. Сделать элементов этого широкого не розничной умудрился разделение никто, этом но воздействуют лишь предприятия сравнительно относятся недавно увязать математики разделении строго связанные доказали, элемент что мероприятий задача системы неразрешима распределением (неразрешима системы на установление плоскости, степени а на этапом торе, торгового то сопровождаются есть установление бублике, внешней например, отличительным все сопровождаются получается предприятия просто). А теперь широкого взгляните коммерческая на розничной рисунок 3.  Если удобством склеить предоставление эту предприятия полоску места бумаги производитель так, представлено чтобы розничной совпали конечный одинаковые установление буквы связанные на факторов ее продвижении краях, поставка то заключение проблема деятельности водоснабжения воздействие решается. Разумеется, конечный получится более все факторов тот торгового же этом лист разделение Мёбиуса. А теперь конечному раскрасьте связанные карту установление путей воздействие водовозов зависимости - и вот факторов вам обеспечивающие шесть факторов цветов, системе живущих коммерческая в дружном информационное соседстве. Но, торговых конечно, этом как изыскание и раньше, конечному надо степени предполагать, увязать что мероприятий все этапом события представляют происходят этом не деятельности на зависимости листе, отличительным а внутри отличительным него. 

2.5. Научная также деятельность элементов Феликса мероприятий Клейна

Именем только Феликса информационное Клейна товаров названы:

§     Математический прибыли центр места в Германии;

§     Кратер элементы на места обратной производитель стороне более Луны;

§     Приз продвижении Европейского внешней математического также общества распределением и Технологического активную университета представлено Кайзерслаутерна целом (присуждается зависимости молодым представляют математикам товаров Европы являясь в ходе увязать Европейского воздействие математического первой конгресса целом (каждые сопровождаются 4 года) факторов за управление практически элементов полезные распределение работы только в области разделение прикладной распределением математики);

§     Медаль продвижении Международной элементы комиссии продвижении по отличительным математическому широкого образованию.

Имя степени Клейна разделение носят закупочной следующие разделение математические являясь объекты:

§     группа разделении Клейна;

§     модель целом (интерпретация) экономическая Клейна; системы

§    

2.6.  Бутылка торговых Клейна

Бутылка информационное Клейна элементов — это элемент определённая деятельности неориентируемая предприятия поверхность торгового, т.е. двумерное разделении многообразие (Рисунок 4). Бутылка развивающейся Клейна представлено впервые элементов была развивающейся описана места в 1882 зависимости г. немецким внутренней математиком элементы Ф. Клейном. Она розничной тесно конечный связана торгового с лентой конечному Мёбиуса факторов и проективной обеспечивающие плоскостью. Название, воздействие по-видимому, отличительным происходит предоставление от розничной неправильного этом перевода широкого немецкого относятся слова элементы Fläche связанные (поверхность), торговых которое распределение в немецком обеспечивающие языке разделение близко внешней по первой написанию элемент к слову изыскание Flasche связанные (бутылка), внутренней затем системы это более название связаны вернулось воздействуют в таком внешней виде услуг в немецкий увязать язык.

Способ факторов № 1. Получение степени бутылки активную Клейна элементов из более бумаги. Прежде установление всего, относятся нужно степени взять факторов бумажный управление квадрат,

перегнуть изыскание его зависимости пополам розничной и соединить конечному клейкой разделении лентой установление его коммерческая стороны. На элементы обращенной являясь к вам системе половине более квадрата системы сделайте сопровождаются прорезь, внутренней перпендикулярную изыскание склеенным закупочной сторонам. Расстояние мероприятий между обеспечивающие прорезью процесс и верхним конечный краем первой трубки торговых должно мероприятий быть внешней равно сопровождаются примерно элементы четверти сопровождаются стороны торгового квадрата. Согнув товаров модель элементов пополам установление вдоль информационное пунктирной распределение прямой, экономическая протащите являясь нижний процесс край разделение трубки прибыли сквозь развивающейся прорезь удобством и склейте экономическая друг воздействуют с другом установление верхнее изыскание и нижнее уходящие основания внутренней трубки. Правда, предоставление там, широкого где факторов поверхность степени самопересекается, воздействуют в нашей представляют модели представлено прорезь, связанные но также легко прибыли представить целом себе, разделении что розничной края розничной этой коммерческая прорези производитель соединены места так, внутренней чтобы удобством поверхность уходящие во деятельности всех торгового своих внутренней точках также была спроса непрерывна установление и не увязать имела также края. 

Способ относятся № 2. Получение места бутылки элемент Клейна воздействуют из коммерческая стандартной связаны пластмассовой связаны бутылки. Необходимо торговых взять целом бутылку внешней с отверстием целом в донышке, прибыли вытянуть удобством горлышко, элементы изогнуть конечный его связанные вниз, связаны и продев этапом его уходящие через элемент отверстие связаны в стенке продвижении бутылки, установление присоединить удобством к отверстию предприятия на активную дне элементы бутылки. 

Способ системы № 3. Получение установление бутылки информационное Клейна внешней из места одного сопровождаются цилиндра. Один товаров из обеспечивающие краёв производитель цилиндра разделение изгибается управление в обратную первой сторону, этапом проходит этапом сквозь прибыли цилиндр связаны и склеивается мероприятий с другим коммерческая краем. Чтобы предоставление совершить воздействие это закупочной склеивание, разделение необходимо процесс исказить деятельности ширину степени цилиндра. 

Способ этапом № 4. Получение уходящие бутылки деятельности Клейна целом из прибыли ткани. Целесообразно закупочной взять товаров кусок коммерческая носка спроса или этапом колготок элемент и проделать товаров с ними являясь то системе же, удобством что воздействуют и с цилиндром. 

Способ также № 5. Получение удобством бутылки воздействуют Клейна управление склеиванием сопровождаются двух широкого листов элементы Мёбиуса. Бутылка информационное Клейна факторов может связаны быть связаны получена более склеиванием элементов двух услуг лент заключение Мёбиуса предоставление по воздействуют краю. 

Способ предоставление № 6. Получение особенности бутылки управление Клейна системе из представлено пластилина. Относясь внешней к своей предоставление работе деятельности с творчеством, закупочной я придумал относятся способ, являясь принцип разделение которого широкого не мероприятий наблюдается розничной  у вышеперечисленных. Чтобы связанные получить этом бутылку производитель Клейна торгового из представляют пластилина, относятся нужно внешней взять деятельности пластилин широкого и «строить» элемент бутылку, более начиная установление снизу. 

Способ распределением № 7. Чтобы также построить места модель уходящие бутылки уходящие Клейна, розничной необходимо системы взять сопровождаются бутылку поставка с двумя этом отверстиями: развивающейся в донышке особенности и в стенке. Вытянуть торговых горлышко, только изогнуть товаров его разделении вниз, розничной и продев этапом его спроса через этапом отверстие предоставление в стенке внешней бутылки продвижении (для этапом настоящей поставка бутылки представлено Клейна элементы в четырёхмерном увязать пространстве первой это коммерческая отверстие экономическая не степени нужно, предприятия но конечному без услуг него представляют нельзя широкого обойтись процесс в трёхмерном изыскание евклидовом элементов пространстве), обеспечивающие присоединить связаны к отверстию мероприятий на связанные дне разделение бутылки. 

В отличие информационное от этом обыкновенного также стакана, системе у этого разделении объекта разделении нет элемент «края», обеспечивающие где внутренней бы производитель поверхность распределение резко места заканчивалась. В отличие отличительным от разделение воздушного производитель шара, системе можно факторов пройти первой путь изыскание изнутри воздействуют наружу, управление не экономическая пересекая распределением поверхность широкого (то отличительным есть системы на зависимости самом услуг деле только у этого товаров объекта удобством нет управление «внутри» факторов и нет производитель «снаружи»).

Подобно информационное ленте представляют Мёбиуса, обеспечивающие бутылка изыскание Клейна услуг является степени двумерным этом дифференцируемым представляют неориентируемым первой многообразием. В отличие торговых от особенности ленты закупочной Мёбиуса, связаны бутылка этапом Клейна также является первой замкнутым представляют многообразием, обеспечивающие то воздействуют есть разделение компактным товаров многообразием обеспечивающие без продвижении края.

Бутылка управление Клейна относятся не широкого может прибыли быть зависимости вложена распределением (только поставка погружена) также в трёхмерное торгового евклидово представляют пространство установление R3, первой но внутренней вкладывается поставка в R4.

Бутылка товаров Клейна разделении может развивающейся быть зависимости получена представлено склеиванием розничной двух удобством лент системе Мёбиуса изыскание по внешней краю.

Если заключение разрезать заключение бутылку представлено Клейна особенности пополам разделение вдоль товаров её предоставление оси увязать симметрии, экономическая то этапом результатом процесс будет уходящие лента элемент Мёбиуса. 

В отличие места от целом обычной целом бутылки этом бутылка воздействие Клейна розничной не торгового имеет увязать края, сопровождаются а еe сопровождаются поверхность этом нельзя только разделить торговых на системе внутреннюю представлено и наружную. Та относятся поверхность, товаров которая спроса кажется коммерческая наружной, изыскание непрерывно факторов переходит особенности в ту, этом которая закупочной кажется воздействие внутренней, информационное как более переходят внутренней друг воздействуют в друга прибыли две, воздействуют на целом первый уходящие взгляд связаны различные, мероприятий "стороны" мероприятий листа разделении Мебиуса. К сожалению, связанные в трехмерном только пространстве внутренней нельзя прибыли поcтроить обеспечивающие бутылку развивающейся Клейна, развивающейся поверхность представляют которой связанные была торговых бы зависимости свободна этапом от продвижении точек конечный самопересечения.    

Свойства относятся Листа отличительным Мёбиуса товаров и бутылки воздействие Клейна этапом абсолютно целом идентичны:

хроматический элемент номер, широкого непрерывность, распределение ориентированность товаров и односторонность. 

1. Хроматический также номер мероприятий – 6.

2. Непрерывность. Если изыскание вы управление сравните зависимости схему элементов самолётных заключение маршрутов торгового и географическую связанные карту, управление то разделении убедитесь, торгового что развивающейся масштаб прибыли Аэрофлотом экономическая далеко воздействуют не системы выдержан конечному – скажем, удобством Свердловск связанные может закупочной оказаться распределение на обеспечивающие полпути предоставление от управление Москвы спроса до установление Владивостока. И всё-таки, разделении что-то только общее связанные между места географической элемент картой особенности есть. Москва только действительно связаны связана торгового со услуг Свердловском, сопровождаются а Свердловск деятельности – с Владивостоком. И поэтому предприятия тополог изыскание может, этапом как развивающейся угодно информационное деформировать предоставление карту, этом лишь производитель бы процесс точки, системы ранее системы бывшие воздействие соседями, внешней оставались удобством одна распределением подле только другой сопровождаются и дальше. А, зависимости значит, управление с топологической более точки процесс зрения зависимости круг системе неотличим более от являясь квадрата распределением или связаны треугольника, производитель потому увязать что уходящие их коммерческая легко обеспечивающие преобразовать этом один зависимости в другой, представлено не представляют нарушая коммерческая непрерывности. 

3. Ориентированность. Конечно, внешней можно деятельности было являясь подробно управление рассказать, конечному что предоставление это широкого такое. Но деятельности лучше разделении дать конечный определение закупочной «от торговых противного»: являясь это элементы то, системы чего более нет сопровождаются у бутылки системы Клейна! Вообразите, обеспечивающие что распределением в ней элементы заключён развивающейся целый системы плоский удобством мир, распределение где степени есть системы только продвижении два поставка измерения, деятельности а его элемент обитатели представлено – не заключение симметричные распределение рожицы, связаны не более имеющие, управление как конечному и сама обеспечивающие бутылка торговых никакой только толщины. Если элемент эти развивающейся несчастные относятся создания производитель пропутешествуют товаров по увязать всем целом изгибам розничной бутылки места и вернутся поставка в родные процесс пенаты, заключение то факторов в изумлении мероприятий обнаружат, распределением что процесс превратились конечный в своё обеспечивающие собственное распределение зеркальное торгового отображение. Конечно, производитель всё торговых что прибыли случится отличительным только, торговых если системе они процесс живут предоставление в бутылке, связаны а не конечный на продвижении ней. 

4. Односторонность.  Лист предприятия Мебиуса распределение – это уходящие односторонняя внешней поверхность активную с краем. Если отличительным путешествовать первой по установление листу экономическая Мёбиуса, торговых то, целом даже деятельности если торговых нигде производитель не обеспечивающие пересечешь обеспечивающие край, отличительным все внутренней равно распределением можно связанные побывать элементов с обеих торгового сторон более полоски!Если начать обеспечивающие красить информационное одну воздействие из более сторон товаров листа, деятельности то относятся выкрашенным разделении окажется этапом весь внешней лист, экономическая даже деятельности если связаны мы более и не конечному перейдем распределением через его край. Оказывается, в трехмерном пространстве такие поверхности могут существовать только если разрешать им пересекать сами себя, такова бутылка Клейна.

2.7.  Применение топологических объектов в жизни

Топологические объекты очень распространены в обыденной жизни и мы даже этого не замечаем. Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике:

§     Полоса ленточного конвейера, шлифовальная лента, выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.

§     В системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

§     В матричных принтерах красящая лента имеет вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию.

§     В строительстве автобанов,  там расположение дорог въезда и выезда с трассы сделаны так, чтобы у машин было меньше помех, а следовательно меньше вероятность столкновения.

§     Удивительные особенности листа Мёбиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

§     Знак ленты Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

§     Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности — Мауриц  Корнелис Эшер

§     Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.

§     Архитектурные сооружения имеют вид знаменитой ленты Мёбиуса.

Например, аттракцион «Американские горки», являющийся  подобием  «необыкновенного листа», многих людей приводят в восторг.

§     В Казахстане  планируется строительство грандиозной библиотеки. За основу архитектурного объекта выбраны пять форм: круг, ротонда, арка, юрта и   они  соединятся в форме ленты Мёбиуса.  Как лента Мёбиуса, плавно и без остановок, посетители смогут переходить с внутренней части библиотеки на внешнюю, и с вершины здания на нижнюю часть. 

§     В Германии находится лестница в форме петли, а в Китае – буддийский храм с похожей конфигурацией.

§     Восхищают своей формой башни «Absolutetowers» в Торонто.

§     В наше время модны снуды (шарфы, но сшитые по-другому принципу), которые можно носить как объемный воротник если намотать его, или как воротник — хомутик, а также можно надевать как жилет. А лента Мёбиуса это тот же снуд, только перевернутый.

§     Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти: спираль замыкается сама на себя, и происходит самоуничтожение.

§     Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта

§     Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Роджера Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа.  Лента Мёбиуса фигурирует в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка,  «Некроскоп» Брайана Ламли, «На ленте Мебиуса» Марка Клифтона и «Лист Мебиус» Армина Дейча.  По мотивам последнего рассказа снято несколько художественных фильмов «Мёбиус» производства СССР, Германии, Аргентины. 

§     Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации.  

2.8. Опыты

Для подтверждения удивительных свойств листа Мёбиуса решил практически сделать ряд экспериментов и продемонстрировать их студентам с целью развития логического мышления и расширения кругозора.

 Опыт № 1(проверка свойства — односторонность) В наше время мы привыкли встречаться с двусторонними предметами (объектами, фигурами). Изучив свойства ленты Мёбиуса и узнав, что она односторонняя решил это проверить. Закрасил одну сторону ленты Мёбиуса.

Результат: Лист Мёбиуса закрасился полностью, а это значит, поверхность листа Мёбиуса односторонняя.

 Опыт № 2 (проверка свойства — непрерывность). Сделал изначально обычное кольцо и кольцо Мёбиуса. Нарисовал символ на одной стороне каждого кольца и начертил непрерывную линию посередине, начиная с символа, пока не вернется в первоначальное место.

Опыт № 3 – разрезание колец, склеенных различным способом

Результат этого опыта зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. 

( Рисунок 8)

Если разрезать лист Мёбиуса  на расстоянии в одну треть ширины от края, то получается два кольца: одно большое и сцеплённое с ним маленькое. Меньшее –   кольцо Мёбиуса (односторонняя поверхность) и большее - «Афганская лента» (двусторонняя поверхность).  Эти кольца сцеплены друг с другом.( Рисунок 9)

                                                                     два кольца той же длины, сцепленные друг с другом

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Топология - это часть геометрии посвященная изучению феномена непрерывности. Она является одной из самых молодых наук и стала отдельной областью математики примерно 90 лет назад, но само её развитие приходится на последние 70 лет. Знаменитейшими учеными этой области являются Август Фердинанд Мёбиус и Феликс Христиан Клейн. Отчасти благодаря им топология стала так широко применяться в сферах общественной деятельности.Топология очень интересный  раздел математики. Помимо общественной жизни топология может помочь и в решении математических задач,  но для этого требуются значительные знания математики. Топология не изучается в курсе математики средней школы, да и в ВУЗах изучается невезде. Работая над своим проектом, я получил представление о топологии, изучил топологические свойства листа Мёбиуса и бутылки Клейна, показал практическое применение топологических объектов в жизни, т. е. цель работы достигнута, задачи решены. Моя гипотеза о том, что топология – развивающийся раздел математики, который находит все большее применение в жизни, подтвердилась. Самое главное для меня в этом проекте это формирование умения познавать новое, планировать свою работу и осуществлять её, что необходимо будущему специалисту, чтобы быть конкурентно-способным на рынке труда. 

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ

1.                 М.Гарднер  «Математические чудеса и тайны» «Наука» 1978 г.

2.                 Ерохин М. А. Исследование листа Мёбиуса с точки зрения математики // Молодой ученый. — 2014. — №4. — С. 6-12. 

3.                 https://ru.wikipedia.org/wiki/Топология

4.                 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8% D1%83%D1%81,_%D0%90%D0%B2%D0%B3%D1%83%D1%81%D

1%82_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D

0%B0%D0%BD%D0%B4

5.                 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B5%D0%B9% D0%BD,_%D0%A4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D1%81

6.                 https://pikabu.ru/story/vaza_kleyna_3954077

7.                 https://econet.ru/articles/67911-lenta-mebiusa-zagadka-sovremennosti

8.                 https://www.livemaster.ru/topic/962759-mebius-i-ego-lenta  

9.                 https://infourok.ru/rezinovaya-geometriya-ili-topologiya-glazamiuchaschegosya-1541005.html

10.             http://mognovse.ru/nls-issledovateleskaya-rabota-po-matematike-etotzagadochnij-l.html

11.             http://iteach.vspu.ru/07-2017/13874/

Скачано с www.znanio.ru