Проектная работа " Число пи"

Число π

Работу выполнила: ученица 8В класса
Яранцева Ксения

МБОУ « Средняя общеобразовательная школа № 7»

2019 уч. год
г. Йошкар-Ола

Причина выбора темы

Математика- царица наук. Её можно изучать вечно особенно, если есть стремление.
Мне показалась интересной тема «число π» и я решила узнать о нём больше. я думаю, что узнать об этом загадочном числе, которое изучают и в наши дни, будет интересно узнать больше не только мне, но и другим ученикам.

План

1. Обсуждение темы  2. Поиск информации 3. Вывод

Узнать что такое число.

Найти определение числа пи и его значение
Выяснить историю происхождения числа пи
Найти его свойства
Выяснить где его используют
Узнать дату празднования числа пи

Число- это 1. основное понятие математики - величина, при помощи которой производится счёт. (из словаря С.И. Ожегова) 2. основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей.
Для его обозначения на письме служат цифры, а так же символы математических операций.

343 1 5 -7 ≈3,14 10…

Что такое число ПИ?

Число ПИ — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру. Обозначается буквой греческого алфавита «π».
π является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли 1/π к кольцу периодов.

День рождения числа пи

История

Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.
Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.
История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода:
древний период
классическая эра эра
цифровых компьютеров

Древний(геометрический) период

Древнейшие приближения относятся к третьему тысячелетию до н. э. В Древнем Вавилоне принимали π =3.
Самые ранние из известных приближений, отличных от числа 3, датируются около 1900 года до н. э.: 25/8 = 3,125 и 256/81 ≈ 3,16. Ведийский текст «Шатапатха-брахмана» даёт π как 339/108 ≈ 3,139.
Китайский философ и ученый Чжан Хэн(во II веке) предложил для числа π два эквивалента: 92/29 ≈ 3,1724 и √10 ≈ 3,1622.
Около 265 года н. э. Лю Хуэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм для вычисления π с любой степенью точности, проведя вычисление на 3072-угольнике.
Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления π и получил приближённое значение 3,1416, но с 96-угольником.
В 480-х годах китайский Цзу Чунчжи продемонстрировал, что π ≈ 355/113, и показал, что 3,1415926 < π < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику.

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления π: он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники, принимая диаметр окружности за единицу, рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку 3 10/71 < π < 3 1/7 и предложил для приближенного вычисления π верхнюю из найденных им границ:-22/7 ≈ 3,142857142857143.
Следующее приближение в европейской культуре связано с астрономом Клавдием Птолемеем, который создал таблицу хорд с шагом в полградуса, что позволило ему получить для π приближение 377/120, равное приближённо вычисленной им половине периметра 720-угольника, вписанного в единичную окружность. Леонардо Пизанский, принимая приближение Птолемея за нижнюю границу для π, приводит свое приближение — 864/275. Но оно оказывается хуже, чем у Птолемея, поскольку последний ошибся при определении длины хорды в полградуса в большую сторону, в результате чего приближение 377/120 оказалось верхней границей для π.

Классический период

Ряд Мадхавы — Лейбница. Мадхава смог вычислить π как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Но этот рекорд был побит в 1424 году.
Первым крупный вклад внёс Людольф ван Цейлен, затративший 10 лет на вычисление числа π с 20-ю десятичными цифрами(596год). После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа π. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число π иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».
Лудольфово число — приближённое значение для числа π с 32 верными десятичными знаками.
Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета для приближения числа πнайденная Франсуа Виетом в 1593 году.
Другим известным результатом стала формула Валлиса, выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.

    ,

Эра цифровых(компьютерных) вычислений

Отметка в миллион знаков после запятой была пройдена в 1973 году.
В начале XX века Сриниваса Рамануджан обнаружил множество формул для числа π.
Братья Чудновские в 1987 году нашли формулу, с помощью которой получено 1 011 196 691 цифра десятичного разложения.
Ясумас Канад и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления π вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков.
В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.
31 декабря 2009 года Фабрис Беллар рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов.
2 августа 2010 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой, а 19 октября 2011 года с точностью в 10 триллионов.
Голландский математик Брауэр привёл в качестве примера бессмысленной задачи поиск в десятичном разложении π последовательности 0123456789. В конце XX века эта последовательность была обнаружена, она начинается с 17 387 594 880-го знака после запятой

Фабрис Беллар

свойства

Трансцендентность
Иррациональность
Соотношения

трансцендентность

π  — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.
Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа пи, то доказательство трансцендентности пи положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа еπ. В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального n числа π и еπ√n алгебраически независимы, откуда, в частности, следует трансцендентность чисел π+ еπ, πеπ и еπ√n

Иррациональность

π – иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби , где m и n – целые числа => его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим.
Иррациональность числа пи была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году путём разложения тангенса в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π2.

Соотношения

Известно много формул для вычисления числа π.
Формула Виета для приближения числа пи. Это первое явное представление пи с бесконечным числом операций.

Формула Валлиса
Ряд Лейбница
Другие ряды
Кратные ряды
Пределы
Тождество Эйлера
Интеграл Пуассона или интеграл Гаусса
Интегральный синус
Выражение через дилогарифм
Через несобственный интеграл

Применение числа пи

Большинство математических проблем так или иначе связано с числом Пи.
Число Пи также может упоминаться как «круговая постоянная», «архимедова константа» или «число Лудольфа».
В XVII веке число Пи вышло за пределы круга и стало применяться в записи таких математических кривых, как арка и гипоциклоида. Произошло это после открытия того, что ряд математических величин могут быть выражены через число Пи. В XX веке число Пи уже использовалось во многих математических областях, таких как теория чисел, теория вероятности и хаоса.
Знаменитая пирамида Хеопса является воплощением значения числа Пи, через соотношение её высоты к периметру основания пирамиды.
Так же число пи можно встретить при различных вычислениях.

Интересные факты числа пи

В штате Индиана в 1897 году был выпущен Билль о числе пи, законодательно устанавливающий его значение равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью.
«Число Пи для гренландских китов равно трём» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.
14 марта 2019 года компания Google представила данное число с 31,4 триллионами знаков после запятой. Вычислить его с такой точностью сумела сотрудница Google в Японии Эмма Харука-Ивао
В зеркальном отображении числа 3.14 читается слово «pie». Которое с английского переводится «пирог».

Рекорды

21-летний индийский студент Раджвиру Мина в марте 2015 года воспроизвёл 70 000 знаков после запятой за 9ч 27мин. До этого, на протяжении почти 10 лет, рекорд держался за китайцем Лю Чао, который в 2006 году в течение 24ч и 4мин воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки.
В России рекорд по запоминанию принадлежит Владимиру Кондрякову (13 183 знака).
Мировой рекорд по запоминанию знаков числа π после запятой установил выходец из Японии Акира Харагучи. Он запомнил число до100000 знака после запятой почти за 16часов.

Открытые проблемы

Неизвестна точная мера иррациональности для чисел π и π2 (но известно, что для π она не превышает 7,6063).
Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: π + e , π − e , π ⋅ e , π e , π e , π 2 , ln ⁡ π , π π , e π 2 Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Следовательно, неизвестно, являются ли числа π и e алгебраически независимыми.
Неизвестно, является ли n π целым числом при каком-либо положительном целом n.
До сих пор ничего неизвестно о нормальности числа π; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.

Содержание

Титульный лист
Цель
Причина выбора темы
Задачи
План
Теория
Информационные ресурсы
Вывод
Заключение

Вывод

Число пи было известно ещё до нашей эры .
На протяжении долгих лет число пи не перестают изучать и находить новые цифры после запятой.
Имеется много разных способов вычисления числа, известных как с древних времён, так и появившихся недавно.
В современной математике число пи-это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул. В десятичной части числа нет повторений, как в обычной периодической дроби.

Список использованных источников:

Словарь С. И. Ожегова
Интернет - источники:
https://ru.wikipedia.org
https://calculator888.ru/encyclopedia/maths/chislo-pi
http://amazing-facts.ru/science/fakty_o_chisle_pi.html

Заключение:

Моей целью в проекте являлось узнать что такое число π.
Используя дополнительные источники, я узнала что такое число π, узнала его историю. По-моему мнению число пи делает точную науку-математику загадочней, но в то же время интересней, разнообразнее и с помощью него, в некотором роде, можно развивать память.
Выполняя проект на данную тему, я узнала много нового, познавательного и полезного материала для себя.