Проектная работа по математике " Математические софизмы"

Ленинский район
МБОУ СОШ №210
Секция математики
 
 
 
 
 
 




 
Дорошенко Юлия Викторовна
Осинных Елена Вячеславовна
Шевцова Анна Владимировна
10 класс

руководитель
Долгушина Ольга Викторовна
учитель математики высшей квалификационной категории
 
Новосибирск

История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов.

И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.
Необходимо различать между собой парадоксы и софизмы.
Парадоксы - это справедливые, хотя и неожиданные утверждения.

Удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

(от греч. Sophisma-уловка, выдумка, головоломка)- мнимое доказательство, в котором обоснованность заключения кажущаяся, порождается чисто субъективным впечатлением, вызванным недостаточностью логического или семантического анализа.

И.П.Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка-это путь к открытию».
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 вв. до н.э., достигших большого искусства в логике.


Пример: если равны половины, то равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит полное – то же самое, что пустое.

Чем же полезны софизмы?

Разбор софизмов развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления.
Анализ софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала.
Разбор софизмов увлекателен.

Софизмы можно условно разделить на группы:

РАВЕНСТВО НЕРАВНЫХ ВЕЛИЧИН

НЕРАВЕНСТВО ОДИНАКОВЫХ ВЕЛИЧИН

МЕНЬШЕЕ ПРЕВЫШАЕТ БОЛЬШЕЕ

ВСЕ ЛИ УТВЕРЖДЕНИЯ МАТЕМАТИКИ ВЕРНЫ

Равенство неравных величин

Единица равна двум.
1-3=4-6;
1-3+9/4=4-6+9/4;
1²-2*1*3/2+(3/2)²=2²-2*2*3/2+(3/2)²;
(1-3/2)²=(2-3/2)²;
1-3/2=2-3/2;
1-3/2+3/2=2-3/2+3/2;
1=2.

Четыре рубля равны сорока тысячам копеек.
2 рубля=200 копеек;
(2 рубля)²=(200 копеек)²;
4 рубля=40000 копеек.

64 см²=65 см².
Возьмём квадрат со стороной 8 см и разрежем его на четыре части: две трапеции и два прямоугольных треугольника, как показано на рисунке.
Его площадь равна 8*8=64 см².

Укладывая эти части в другом порядке, а именно так, как показано на этом рисунке, получим прямоугольник с основанием 13 см и высотой 5 см. Его площадь равна 13*5=65 см².
64 см²=65 см².

Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.
Пусть а - длина спички (дм) и в –в длина столба (дм). Разность между ними обозначим через с(дм).
в-а=с, в=а+с; перемножим равенства
(в-а)в=с(а+с);
в²-ав=са-с²;
в²-ав-вс=са-с²-вс;
в(в-а-с)=-с(в-а-с);
в=-с; но с=в-а
в=а-в;
в+в=а;
а=2в.

Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса. Когда он пробежит эти 100м, черепаха будет впереди него на10 м. Пробежит Ахиллес эти 10м, черепаха окажется впереди него на1 м. Расстояние между ними всё время будет сокращаться, но никогда не будет равным нулю. Значит Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Чётное и нечётное
«5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!»
Не знаешь то, что знаешь
«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».
Лекарства
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
Вор
«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Те ошибки, которые совершаются непреднамеренно, называются паралогизмами, а те, которые совершаются предна­меренно, для того чтобы ввести кого-либо в заблуждение, назы­ваются софизмами. Приведём несколько примеров софизмов, идущих к нам из древности.
1. Софизм «лгун». Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возмож­но, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
2. Софизм «рогатый». То, чего ты не потерял, ты име­ешь; ты не потерял рогов. Следовательно, ты имеешь рога. (Ка­кая ошибка?)
3. Софизм «куча». Будет ли куча песку, из которой мы взяли одну песчинку, считаться кучей? Да, будет. А если взять ещё одну песчинку? Будет. Так как при последовательном отня­тии по одной песчинке куча не перестаёт быть кучей, то одна песчинка должна называться кучей. (Какая ошибка?)

4. Софизм Эватла. Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик по­сле обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: «Судьи или при­судят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора». На это Эватл отвечал: «Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гоно­рара, то я не заплачу в силу приговора суда». (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.)

Песенка английских студентов.

Чем больше учишься, тем больше знаешь.Чем больше знаешь, тем больше забываешь.Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!