1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 

Рабочая программа факультативному курса по математике составлена в соответствии с требованиями

•              Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, 

•              примерной программы изучения дисциплины, рекомендованной Министерством образования и науки Российской Федерации, является ключевым компонентом учебнометодического комплекта по математике для основной школы (автор Н. Я. Виленкин). Данный факультативный курс предназначен для учащихся 5-х классов и имеет практикоориентированную направленность. «Математический олимп» включает в себя задания, как углубляющего, так и развивающего характера. Углубление реализуется на базе изучения некоторых тем, учитывающих перспективы создания новых стандартов школьного математического образования. В рамках данного курса учащимся предлагаются различные задания на составление выражений, отыскивание чисел, разрезание фигур на части, разгадывание головоломок, числовых ребусов, решение нестандартных задач на движение и логических задач. Большое количество времени отводится для изучения пропедевтического курса геометрии, благодаря которому учащиеся будут иметь представление о свойствах разных фигур на плоскости, что позволит им избежать трудностей при изучении геометрии в седьмом классе. Курс «Математический олимп» — это нетрадиционная форма работы с учащимися, где используются конкурсы, практические задания, математические стенгазеты, дидактические игры. Игра – форма познавательной деятельности, способствующая развитию и укреплению интереса к математике. Кроме этого, наряду с изучением математических фактов, проводится работа по формированию интеллектуальных умений и навыков. В преподавании данного курса важным является выбор рациональной системы методов и приемов обучения. Учебный процесс ориентирован на рациональное сочетание устных и письменных видов работы. 

Обязательным элементом будет являться работа со справочным материалом, дополнительной литературой. 

1.1. Цели реализации программы: 

•              развития мышления, мотивации, освоения методов и формирования системного опыта решения олимпиадных математических задач;

•              приобретении учащимися опыта самостоятельного решения задач в ситуации, когда им заранее об этом решении нечего не известно и когда каждая задача допускает различные решения. 

1.2. Задачами реализации программы учебного предмета являются: 

1)                 создать творческую, доброжелательную, безопасную (с позиций права на ошибку) образовательную среду, ориентированную на поддержку успеха каждого ученика относительно себя;

2)                 вовлечь учащихся на основе системно-деятельностного подхода (система «Учусь учиться») в математическую деятельность, создать возможность самостоятельного открытия ключевых методов и приемов решения математических олимпиадных задач, тренировать умение их применять;

3)                 снять у детей неуверенность и страх при решении нестандартных задач, создать возможность для каждого ученика системно переживать ситуацию успеха, радость победы, получать удовольствие от интеллектуальной математической деятельности; 

4)                 сформировать у школьников умение решать нестандартные задачи на основе метода рефлексивной самоорганизации; 

5)                 тренировать мыслительные операции, навыки парной и групповой работы, коммуникативные умения в позициях «автора», «понимающего», «критика»,

«организатора»; 

6)                 создать качественное содержание олимпиадной подготовки по математике, связанное как с содержанием школьного курса математики (за основу взят курс математики «Учусь учиться»), так и с содержанием школьных математических олимпиад разных уровней (вплоть до Всероссийской олимпиады школьников). 

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА

Программа факультативного курса по математике для учащихся 5-6 классов направлена на расширение и углубление знаний по предмету. Темы программы непосредственно примыкают к основному курсу математики 5 класса. Однако в результате занятий учащиеся должны приобрести навыки и умения решать более трудные и разнообразные задачи, а также задачи олимпиадного уровня. 

Включенные в программу вопросы дают возможность учащимся готовиться к олимпиадам и различным математическим конкурсам. Занятия могут проходить в форме бесед, лекций, экскурсий, игр. Особое внимание уделяется решению задач повышенной сложности. В ходе освоения содержания курса математики в 5 классе учащиеся получают возможность развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру. Курс строится на индуктивной основе с привлечением элементов дедуктивных рассуждений. Теоретический материал курса излагается на наглядно-интуитивном уровне, математические методы и законы формулируются в виде правил. 

В основе учебно-воспитательного процесса лежат следующие ценности математики:

•              понимание математических отношений является средством познания закономерностей существования окружающего мира, фактов, процессов и явлений, происходящих в природе и в обществе (хронология событий, протяженность по времени, образование целого из частей и др.);

•              математические представления о числах, величинах, геометрических фигурах являются условием целостного восприятия творений природы и человека; 

•              владение математическим языком, алгоритмами, элементами математической логики позволяет учащемуся совершенствовать коммуникативную деятельность.

На каждом занятии учащимся предлагается последовательность задач, решение которых может проводиться различными способами и не предлагает никакого иного умения, кроме счета. Их особенностью должна быть возможность различного подхода к решению и, в том числе, возможность бесхитростного решения с помощью прямого подсчета. Задачи должны быть достаточно разнообразны, но при этом так взаимосвязаны друг с другом, чтобы при решении последующей задачи можно было использовать идею решения или же результаты предыдущих.

3. МЕСТО ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ 

Согласно федеральному базисному учебному плану на изучение факультативного курса «Математика для любознательных» в 5 классе отводится 68 часов из расчета 2 ч в неделю.

4. ЛИЧНОСТНЫЕ, МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ И ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА 

4.1. Личностные и метапредметные результаты.

4.1.1. Личностным результатом изучения предмета является формирование следующих умений и качеств.

 У учащегося будут сформированы: 

•              внутренняя позиция школьника на уровне положительного отношения к урокам математики; 

•              понимание роли математических действий в жизни человека; 

•              интерес к различным видам учебной деятельности, включая элементы предметноисследовательской деятельности;

•              ориентация на понимание предложений и оценок учителей и одноклассников; 

•              понимание причин успеха в учебе;

•              понимание нравственного содержания поступков окружающих людей. 

4.1.2. Метапредметным результатом изучения предмета является формирование универсальных учебных действий (УУД). 

Регулятивные:

 Ученик научится:

•              принимать учебную задачу и следовать инструкции учителя; 

•              планировать свои действия в соответствии с учебными задачами и инструкцией учителя;

•              выполнять действия в устной форме; 

•              учитывать выделенные учителем ориентиры действия в учебном материале;   в сотрудничестве с учителем находить несколько вариантов решения учебной задачи, представленной на наглядно-образном уровне; 

•              вносить необходимые коррективы в действия на основе принятых правил; 

•              выполнять учебные действия в устной и письменной речи; 

•              принимать установленные правила в планировании и контроле способа решения;   осуществлять пошаговый контроль под руководством учителя в доступных видах учебно-познавательной деятельности.

 Познавательные: Ученик научится:

•              осуществлять поиск нужной информации, используя материал учебника и сведения, полученные от взрослых;

•              использовать рисуночные и символические варианты математической записи; кодировать информацию в знаковосимволической форме;

•              на основе кодирования строить несложные модели математических понятий, задачных ситуаций;

•              строить небольшие математические сообщения в устной форме; 

•              проводить сравнение (по одному или нескольким основаниям, наглядное и по представлению, сопоставление и противопоставление), понимать выводы, сделанные на основе сравнения; 

•              выделять в явлениях существенные и несущественные, необходимые и достаточные признаки; 

•              проводить аналогию и на ее основе строить выводы; 

•              в сотрудничестве с учителем проводить классификацию изучаемых объектов;   строить простые индуктивные и дедуктивные рассуждения.

Коммуникативные:  Ученик научится:

•              принимать активное участие в работе парами и группами, используя речевые коммуникативные средства; 

•              допускать существование различных точек зрения; 

•              стремиться к координации различных мнений о математических явлениях в сотрудничестве; договариваться, приходить к общему решению; 

•              использовать в общении правила вежливости; 

•              использовать простые речевые средства для передачи своего мнения; 

•              контролировать свои действия в коллективной работе;

•              понимать содержание вопросов и воспроизводить вопросы; 

•              следить за действиями других участников в процессе коллективной познавательной деятельности. 4.2.Предметные результаты. 

Ученик научится:

•              находить наиболее рациональные способы решения логических задач, используя при решении таблицы и «графы»; 

•              оценивать логическую правильность рассуждений; 

•              решать простейшие комбинаторные задачи путём систематического перебора возможных вариантов; 

•              уметь составлять занимательные задачи; 

•              применять некоторые приёмы быстрых устных вычислений при решении задач; 

•              применять полученные знания, умения и навыки на уроках математики.

5. СОДЕРЖАНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА

Составлен целостный курс на 2 года обучения 5-6 класс

5.1.  АРИФМЕТИКА

5.1.1. Суммы: 

Приемы упрощения устного счета (сложение, вычитание): разбиение на пары. Метод дополнения до целого в клетчатых задачах. Использование связи между числовыми и геометрическими задачами для упрощения счета. 

Приемы решения задач о разделении чисел на группы с равной суммой. Составление магических квадратов. Изменение суммы при изменении каждого слагаемого на некоторое число. Метод подсчета двумя способами на примере чисел с известными попарными суммами.

 Прием разбиения на пары для подсчета сумм чисел, идущих через равные промежутки. Определение четности количества чисел в ряду. Формула суммы чисел от 1 до n. Разбиение на пары групп чисел с равной суммой. 

Метод подсчета двумя способами в арифметических задачах. Использование подсчета двумя способами в доказательствах «от противного», при решении задач с арифметическими таблицами, геометрических задач. Введение переменной для дальнейшего двойного подсчета. 

Среднее арифметическое, его свойства (изменение при увеличении всех чисел набора на некоторое число и в некоторое число раз; оценка среднего арифметического сверху и снизу наибольшим и наименьшим числами набора; неизменность среднего арифметического при добавлении числа, равного среднему арифметическому чисел набора).

5.1.2. Числа и их свойства:

 Способы решения числовых и буквенных ребусов. Организация перебора с учетом принципа узких мест. Приемы решения задач на восстановление знаков действий, расстановку скобок, нахождение чисел с указанными свойствами. 

Понятие решения буквенного ребуса. Метод перебора для поиска всех решений ребуса. Ограничение полного перебора с учетом принципа узких мест, свойств четности. Доказательство отсутствия решения у ребуса с помощью метода перебора, числовых оценок.

 Конструкции с обыкновенными и десятичными дробями. Представление чисел в виде обыкновенных дробей с числителем 1 и разными знаменателями. Применение арифметических свойств дробей, правила сокращения дробей. Уменьшение чисел на интервале (0; 1) при возведении в степень. Приемы решения задач на равномерное распределение частей между несколькими людьми. 

Использование отрицательных чисел в конструкциях как метод устранения мнимых противоречий. Зависимость знака произведения от знаков множителей. Приемы решения задач на оценку и пример, связанные с отрицательными числами. Использование отрицательных чисел в задачах с числовыми оценками. 

5.1.3. Закономерности: 

Поиск циклов в арифметических задачах. Анализ задач с повторяющимися числами, вычисление длины цикла. Определение и использование порядкового номера внутри цикла в задачах с «большими» числами.

Эффект «плюс-минус один». Использование схемы для его преодоления. Вывод формулы для определения количества натуральных чисел в промежутке с помощью интерпретации на числовой оси. Метода масштабирования для проверки формул. Использование эффекта «плюс-минус один» для устранения противоречий при решении задач. Конструкции с предварительным анализом. 

Конструирование путем разбиения на аналогичные подзадачи в задачах на разрезание, составление числовых конструкций. 

Последовательное конструирование (конструирование путем рассмотрения более простых задач и дальнейшего обобщения на исходную задачу). Бесконечные процессы. Понятие базовой конструкции, шага. Прием разбиения процесса на последовательность этапов, на каждом из которых изменяются свойства только одного элемента. 

5.1.4. Время и движение: 

Приемы решения арифметических задач о промежутках времени. Учет разницы часовых поясов. Идея о задачах на движение по реке на примере задач про отстающие и спешащие часы. Конструкции в задачах про время. 

Задачи на относительное движение (движение навстречу, в противоположных направлениях, вдогонку, с отставанием) с неполными данными. Разбор случаев в задачах на движение. Использование нестандартных чертежей при решении задач на движение. Изображение скоростей движения в частях (единичных отрезках). Масштабирование скорости. Использование более крупных единиц времени для уравнивания расстояний. 

Недельная и годовая цикличность. День недели как остаток от деления на 7. Способы построения конструкций и доказательства невозможности построения конструкций в задачах про календарь. 

Движение по кругу. Изображение скоростей движения в условных единицах (дугах). Движение стрелок часов, исследование количества их пересечений. Понятие градусной меры дуги на примере углов между часовой, минутной, секундной стрелками.

5.2. ГЕОМЕТРИЯ

5.2.1. Геометрическое мышление:

 Повороты клетчатой фигуры на прямой угол, связь с симметрией. Понятие о зеркальных (но несимметричных) фигурах. Использование симметрии и поворотов фигур при решении задач на разрезание. Метод «пропеллера» для построения примеров. 

Задачи на разрезание пространственных фигур. Вычисление объемов фигур, составленных из кубиков. Изменение объема фигуры, составленной из кубиков, при увеличении каждого измерения в 2 раза. Составление фигур из объемных частей.

 Понятие развертки. Нахождение различных разверток куба. Способы изображения «склеивающихся» граней при изображении развертки куба. Изображение фигур, состоящих из кубиков. Три вида объемной фигуры. Восстановление объемной фигуры по трем ее видам. 

Изображение многогранников по заданному количеству вершин, ребер и граней (тетраэдр, пирамида, октаэдр, усеченная пирамида). Развертки многогранников.

Оклеивание объемных фигур. Пути на поверхности объемных фигур.

 5.2.2. Площади: 

Разрезание фигур на равные части по линиям сетки и составление фигур из частей. Приемы поиска разных способов разрезания. Метод перебора, использование симметрии при поиске как можно большего количества различных разрезаний одной и той же фигуры на равные части. Фигуры тетрамино, их нахождение с помощью метода перебора.

Использование множества делителей числа для вычисления возможного количества частей, на которые можно разрезать фигуру. 

Разрезания по линиям сетки и диагоналям клеток. Свойство аддитивности площади. Метод разбиения на элементарные части (прямоугольники, прямоугольные треугольники) и метод дополнения для вычисления площадей фигур, границы которых идут не по линиям сетки. Использование площадей фигур для определения форм частей в случае разрезания клетчатых фигур не по линиям сетки (диагоналям клеток). 

Пентамино. Получение фигур пентамино из тетрамино с помощью геометрического метода перебора. Использование симметрии при решении задач на разрезание. 

Введение дополнительной сетки (укрупнение или уменьшение клеток, наклонная сетка). Первичные представления о движениях плоскости (параллельный перенос, поворот). Перпендикулярность на клетчатой бумаге. 

Приемы решения задач на перекраивание фигур («разрежь и составь»). Равносоставленные фигуры. Разрезание неклетчатых фигур.

 Введение вспомогательной сетки. Разрезание фигур на подобные. Использование вспомогательной раскраски при решении задач на разрезание. Задачи на разрезание с оценкой и примером.

5.2.3. Геометрические неравенства:

 Конструкции с отрезками и ломаными. Вычисление периметров фигур. Связь между длинами отрезков на прямой.

 Приближенное вычисление длин ломаных и кривых с помощью нити. Подсчет количества кратчайших путей в графе. Задача о нахождении диагонали кирпича. Кратчайшие пути по граням куба, параллелепипеда. 

Варианты расположения точек на прямой. Координата середины отрезка числовой прямой. Расстояние между серединами отрезков. 

Неравенство треугольника. Доказательство неравенства треугольника с использованием построений. Оценка суммы длин диагоналей четырехугольника через его периметр.

5.3. АЛГЕБРА

5.3.1. От чисел к буквам:

 Метод уравнивания при решении задач с опорой на вспомогательные схемы. Метод «анализ с конца». 

Прием «учти лишнее». Метод подсчета двумя способами. Связь с теорией множеств. 

Выбор удобной переменной в текстовых задачах. Сравнение метода введения переменных с методом доказательства единственности решения задачи с помощью числовых оценок. 

Десятичная запись (представление натурального числа в виде a + 10b + 100c + …). Признаки делимости, связанные с десятичной записью числа. Использование десятичной записи при решении буквенных ребусов и для доказательств «от противного». Сведение задачи к простейшим уравнениям в цифрах с дальнейшим перебором вариантов, использованием свойств делимости.  5.3.2. Функциональные зависимости: 

Использование формул при решении нестандартных текстовых задач. Формулы площади прямоугольника, объема и площади поверхности куба, прямоугольного параллелепипеда.

 Доказательство        формул          перевода        единиц           измерения      площади, объема. Нестандартные единицы измерения. 

Понятие взаимно однозначного соответствия между множествами. Разбиение объектов на пары как пример взаимно однозначного соответствия. Использование взаимно однозначного соответствия для сравнения мощностей множеств. Примеры соответствий, не являющихся взаимно однозначными. Взаимно однозначное соответствие в простых комбинаторных задачах. 

Прямая и обратная пропорциональность. Использование пропорций при решении нестандартных текстовых задач.

Свойство суммы и среднего арифметического пропорционально изменяемых чисел. 

5.3.3. Неравенства и оценки: 

Сравнение многозначных чисел. Нахождение наибольшего или наименьшего многозначного числа с определенными свойствами. Использование правил сравнения чисел для доказательства минимальности и максимальности. 

Метод перебора в арифметических задачах. Перебор по количеству объектов одного из двух типов. Задачи про «ноги и головы». Оценки, основанные на изменении количества объектов одного типа на единицу. Четность как инструмент упрощения перебора и доказательства невозможности. 

Оценки величины «сверху» и «снизу». Ограничение перебора с помощью оценок. Двусторонние оценки как метод доказательства единственности ответа. Простейшие действия с неравенствами. Оценки, связанные с делимостью. Решение двойных неравенств с натуральными числами. 

Транзитивность неравенств. Использование промежуточного числа (посредника) для доказательства числовых неравенств. Использование нескольких посредников. Уменьшение чисел на интервале (0; 1) при возведении в степень.

 5.4.  ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 5.4.1. Делимость: 

Вывод признака делимости на 2 с помощью числового луча и зацикливания последней цифры. Изменение последней цифры числа при сложении, вычитании, умножении. Доказательство четности и нечетности суммы и разности двух чисел. 

Четность или нечетность суммы нескольких чисел. Доказательство с помощью разбиения на пары. Использование соображений четности при решении задач на доказательство для упрощения перебора вариантов. Делимость и ее свойства. 

Доказательство признаков делимости на 2, 4, 8, 5, 25, 10, 3, 9, их обобщение. Отсутствие обобщения признака делимости на 9 на признак делимости на 27. 

Разложение натурального числа на простые множители. НОД и НОК. Простые числа. Делимость как инвариант. Другие признаки делимости, связанные с десятичной записью числа (на 7, 11, 13 и др.).

 Задачи на оценку и пример, связанные с признаками делимости: на нахождение минимального числа с указанными свойствами делимости, числа с наименьшей суммой цифр.

Каноническое разложение натурального числа. Степень вхождения простого делителя. Четность степеней вхождения простых множителей в каноническое разложение точного квадрата.

5.3.2. Остатки: 

Признак делимости на 10. Последняя цифра как остаток от деления на 10. Правила изменения последней цифры при арифметических операциях (сложение, вычитание, умножение). 

Повторяемость на числовом луче чисел, делящихся на n. Повторяемость чисел, дающих определенный остаток при делении на n. 

Способ определения остатка числа, связанный с соответствующим признаком делимости. Делимость на n разности числа и его остатка от деления на n. Сумма цифр. Делимость разности числа и его суммы цифр на 3 и 9. Раскладывание числа на разное количество частей с данным остатком. 

Остатки от деления целых чисел на натуральные. Общий вид числа с определенным остатком при делении на число. Арифметические свойства остатков. Задачи на остатки с доказательством по принципу Дирихле. Зацикливание остатков степеней.

5.5. ЛОГИКА

5.5.1. Математическая логика: 

Понятие об истинном и ложном высказывании. Составление высказываний и вопросов с определенными свойствами. Перебор двух вариантов в логических задачах. 

Рыцари и лжецы. Отрицания элементарных высказываний. Перебор вариантов по роли (рыцарь/лжец). Представление перебора в виде таблицы, дерева вариантов. Высказывания о логическом следовании.

 Логические задачи с неединственным ответом. Перебор, использующий высказывания о существовании и всеобщности. Отрицание высказываний о существовании и всеобщности. Отрицание высказываний с «больше», «меньше», «больше или равно», «меньше или равно».

 Метод «от противного». Логические таблицы. Отрицание высказываний с «и», «или», более сложных высказываний. Логические задачи на оценку и пример. 

Доказательства, использующие чередование объектов. Расположение объектов по кругу. 

5.5.2. Принципы решения задач: 

Представление условия задачи в виде нестандартного чертежа. Геометрические интерпретации логических и арифметических задач.

Малые случаи. Разделение задачи на эквивалентные подзадачи. Составление блоков из элементов разбиения. Задачи с повторяющимися объектами. Метод проверки ответа (закономерности) на малых случаях. 

Анализ задачи с конца (обратный ход) в арифметических и логических задачах. Сравнение с методом введения переменной. Табличное представление анализа с конца. Рассмотрение последнего шага процесса, его использование для доказательств в логических задачах.

 Задачи           с          вопросом       «сколько        нужно             взять?».          Использование отрицаний элементарных высказываний при решении задач. 

Формальное введение принципа Дирихле. Связь с доказательством «от противного». Обобщения принципа Дирихле. Принцип Дирихле в геометрических задачах. Остатки и принцип Дирихле. 

5.5.3. Алгоритмы и конструкции: 

Переливания (задачи на отмеривание определенного количества жидкости с помощью двух или более емкостей и источника воды). Табличная форма записи шагов алгоритма. Укрупнение шагов алгоритма при наличии повторяющихся групп действий (идея алгоритмических циклов). 

Переправы. Организация перебора в задачах на переправы, удобная форма записи решения. Идея промежуточных обратных действий для работы алгоритма (перевоз объекта обратно).

 Составление алгоритмов угадывания с помощью вопросов, на которые можно ответить только «да» или «нет». Доказательство несостоятельности алгоритма, позволяющего при одинаковых начальных данных получить различные ответы. 

Взвешивания. Составление алгоритмов определения фальшивых монет с помощью взвешиваний. Прямая и косвенная информация. Понятие о количестве информации. Доказательство невозможности построения алгоритма при недостаточном количестве взвешиваний. Задачи на испытания с другими сюжетами. 

5.5.4. Игры и стратегии:

 Понятие математической игры для двух игроков на примере игр с шахматными фигурами на досках. Игры-шутки, в которых победитель зависит только от количества раундов. Формирование представления о выигрышных позициях. 

Понятие выигрышной стратегии. Математические игры с полной информацией. Использование дерева перебора для доказательства верного выбора стратегии.

Симметричная стратегия в играх. Доказательство симметричной стратегии. Симметричная стратегия с «центром». Примеры неверного использования симметричной стратегии.

 Выигрышные позиции как метод конструирования стратегии. Игры на опережение.  Игры, в которых один игрок может гарантировать себе «ничью». 

5.6. КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

5.6.1. Комбинаторика:

 Использование схем (графов) для удобства подсчета количества связей (дорог, рукопожатий). Доказательства невозможности построения графа с определенным количеством связей. Подсчет общего количества игр в однокруговом турнире. Связь между прямым подсчетом числа связей по схеме и двойным подсчетом через суммарное количество выходящих «связей».

 Дерево вариантов для решения комбинаторных задач. Переход от дерева вариантов к правилу произведения (правилу «И»). Подсчет количества чисел с определенными свойствами. 

Правило суммы (правило «ИЛИ») и правило произведения (правило «И»), определение ситуаций для использования каждого правила. Задачи, требующие использования комбинации этих правил.

 Перестановки без повторений и с повторениями на примере анаграмм слова. Вывод формулы для числа перестановок из правила произведения. Факториал и его свойства.

Перестановки с повторениями. Вывод формулы.

5.6.2. Теория множеств:

 Диаграмма Эйлера — Венна для двух, трех и более множеств. Пересечение и объединение множеств, различные методы подсчета количества элементов в пересечении и объединении на готовых диаграммах. 

Введение вспомогательной диаграммы для решения задачи. Работа с множествами с неизвестным количеством элементов. Логические задачи на множества, связанные с долями и дробями.

 Метод дополнения в задачах. Использование кругов Эйлера и метода дополнения в комбинаторных задачах, в том числе для вычисления количества чисел в диапазоне, делящихся или не делящихся на какие-то числа.

 Метод введения переменной при решении задач про множества.

5.7. КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

5.7.1. Раскраски и разбиения:

Раскраски досок. Конструирование примера раскраски доски с указанными свойствами. Задачи-соревнования на раскраску досок в наибольшее и наименьшее количество цветов. «Правильная» раскраска. Раскраска географической карты как пример «правильной» раскраски. Чередование объектов как частный случай «шахматной» раскраски. 

Чередование объектов в ряду, по кругу. Относительное количество чередующихся объектов. Четность суммы чисел в промежутке. Связь чередования и разбиения на пары. Разрезания шахматной доски. Идея использования заданной шахматной раскраски в доказательствах.

 Шахматная раскраска досок, ее использование для оценок и доказательств. Обобщение шахматной раскраски на другие объекты. Шахматная раскраска ребер и граней куба. Принцип Дирихле в задачах с раскраской. Использование раскраски для нахождения и доказательства единственности примера. 

Виды раскрасок клетчатых досок в два и более цвета. Раскраска полосами, диагональная раскраска в несколько цветов, «крупная» шахматная раскраска.

Доказательство невозможности разрезания на основе раскраски. 

5.7.2. Теория графов: 

Изображение графов. Граф как способ удобного представления связей между объектами. Изоморфизм графов. Различные способы изображения связей.

Неориентированные и ориентированные связи.

 Исследование возможности нарисовать фигуру одним росчерком. Теорема Эйлера как формальный способ проверить, можно ли нарисовать фигуру одним росчерком. Нечетность степеней вершин как способ выявления концов пути. 

Полный граф. Количество ребер в полном графе. Графы шахматных фигур и количество ребер в них. Двудольный граф как модель связей между объектами двух типов. Представление турнира в виде графа. 

Формальное определение графа. Вершины, ребра, степени вершин. Лемма о рукопожатиях как способ подсчета количества ребер в графе через сумму степеней вершин.

Свойство четности количества вершин нечетной степени в графе. Лемма о хороводах. 

5.7.3. Комбинаторная геометрия: 

Взаимное расположение точек и отрезков на плоскости. Точки и отрезки, лежащие на одной прямой. Идея об увеличении количества частей при разрезании невыпуклых фигур.

Разрезание фигур на части с определенным числом сторон. Разрезание на части, не образующие прямоугольники. Задачи на объединение фигур. 

Покрытие плоскости одинаковыми фигурами (паркеты). Понятие о многоугольнике. Паркеты в форме правильных многоугольников (треугольники, квадраты, шестиугольники). Замощение клетчатыми фигурами. Замощение многоугольниками неправильной формы. Замощение невыпуклыми многоугольниками. Задачи о наиболее плотной укладке. 

Невыпуклые фигуры как средство преодоления мнимых противоречий. Задачи о пересечении фигур.

6. ПОУРОЧНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

5  класс

6  класс

7.         УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ     ОБЕСПЕЧЕНИЕ    И МАТЕРИАЛЬНОТЕХНИЧЕСКОЕ КУРСА

7.1. Учебно-методическое обеспечение курса

1.  http://www.fipi.ru   

2.  http://www.infourok.ru  

3.  http://www.Interneturok.ru

4.  http://www.uchportal.ru/  

7.2. Материально-техническое обеспечение курса

1.  Компьютер с соответствующим программным обеспечением 

2.  Мультимедийный проектор 

3.  Экран (монитор, интерактивная доска)

8. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА

5 КЛАСС

К концу обучения в пятом классе обучающийся научится:  8.1. АРИФМЕТИКА

8.1.1.Суммы:

•  вычислять суммы чисел, идущих через равные промежутки, с помощью разбиения на пары; 

•  применять формулу суммы всех натуральных чисел от 1 до n;

•  использовать подсчет суммы чисел в задачах о разбиении на пары групп чисел с равной суммой.

 8.1.2. Числа и их свойства:

•  конструировать примеры с дробями; 

•  применять арифметические свойства дробей, правила сокращения дробей в задачахконструктивах;

•  решать задачи о равномерном распределении частей между несколькими людьми.

 8.1.3. Закономерности: 

•  проводить предварительный анализ в задачах-конструктивах; 

•  использовать разбиение на подзадачи при построении геометрических и числовых конструкций.

8.1.4. Время и движение:

•  строить и применять нестандартные схемы (чертежи) к задачам на движение;

•  изображать скорости движения в частях (единичных отрезках);

•  использовать более крупные единицы времени, НОД и НОК для уравнивания расстояний.

8.2. ГОМТРИЯ

 8.2.1. Геометрическое мышление:

•  изображать развертки простых пространственных фигур (куб, параллелепипед, пирамида); 

•  подбирать подходящие разные развертки куба и прямоугольного параллелепипеда для решения задач;

•  изображать три вида объемной фигуры;

•  восстанавливать возможную форму пространственной фигуры по ее трем видам.

 8.2.2. Площади: 

•  применять метод перебора в геометрических задачах, соображения симметрии для его упрощения; 

•  использовать фигуры пентамино при решении задач на разрезание;

•  вводить вспомогательную сетку (с укрупненными или уменьшенными клетками, наклонную сетку) для вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге;

•  применять параллельный перенос на клетчатой бумаге для упрощения вычисления площадей фигур;

•  проводить предварительный анализ в задачах о перекраивании фигур;

•  находить возможные способы разрезания и составления фигур в задачах о перекраивании фигур с помощью метода «проб и ошибок», принципа «узких мест».

8.2.3. Геометрические неравенства:

•  рассматривать все неэквивалентные варианты взаимного расположения нескольких точек на прямой; 

•  вычислять координату середины отрезка на числовой прямой;

•  находить расстояние между серединами отрезков на числовой прямой по координатам вершин этих отрезков.

8.3. АЛГЕБРА

8.3.1. От чисел к буквам:

•  вводить удобную переменную в нестандартных текстовых задачах; • составлять и решать уравнение с одной переменной. 8.3.2. Функциональные зависимости: 

•  устанавливать взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств; • использовать взаимно однозначное соответствие (разбиение на пары) для сравнения количества элементов в двух множествах; • применять метод разбиения на пары при решении комбинаторных задач. 

8.3.3. Неравенства и оценки:

•  доказывать оценки значения величины «сверху» и «снизу»;

•  использовать оценки «сверху» и «снизу» для ограничения перебора числовых значений величины;

•  применять двусторонние оценки для доказательства единственности возможного значения неизвестной. 

8.4. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

8.4.1. Делимость:

•                     применять свойства делимости, признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 25, 10, 3, 9 при решении нестандартных задач;

•                     доказывать обобщения признаков делимости (признаки делимости на степени двойки, степени пятерки);

•                     использовать разложение натурального числа на простые множители в задачахконструктивах и задачах на доказательство;

•                     фиксировать и применять инвариантность свойства делимости некоторой величины в процессах. 

8.4.2. Остатки:

•                     определять остаток от деления числа на 2, 4, 8, 5, 10, 3, 9 с помощью соответствующего признака делимости;

•                     использовать свойство делимости на n разности числа и его остатка от деления на n при решении задач. 

8.5. ЛОГИКА

 8.5.1. Математическая логика:

•  находить с помощью метода перебора все варианты ответа в логических задачах;

•  анализировать высказывания о существовании и всеобщности, использовать их отрицания при решении логических задач; 

•  строить отрицания высказываний со связками «больше», «меньше», «больше или равно», «меньше или равно».

8.5.2. Принципы решения задач: 

•  применять метод «анализ с конца» (метод обратного хода) при решении текстовых и логических задач; 

•  использовать табличную форму записи решения текстовой задачи с помощью «анализа с конца»;

•  использовать идею доказательства «от противного» при решении задач о наибольшем или наименьшем возможном значении величины (задачи с вопросом «сколько нужно взять»). 

8.5.3. Алгоритмы и конструкции:

•  составлять алгоритмы угадывания с помощью вопросов, на которые можно отвечать только «да» и «нет»; 

•  использовать табличную форму записи шагов алгоритма угадывания.

 8.5.4. Игры и стратегии:

•  строить и обосновывать симметричную стратегию, симметричную стратегию «с центром» в математических играх для двух игроков; 

•  приводить примеры неверного использования симметричной стратегии;

•  конструировать выигрышную стратегию на основе анализа выигрышных и проигрышных позиций в игре.

8.6. КОМБИТОРИКА И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

8.6.1. Комбинаторика:

•  применять правила суммы (правило «ИЛИ») и произведения (правило «И») в комбинаторных задачах;

•  решать задачи, требующие комбинации этих двух правил.

 8.6.2. Теория множеств:

•  применять метод дополнения, теоретико-множественные модели для решения задач о подсчетах;

•  вычислять количество натуральных чисел в диапазоне, делящихся или не делящихся на некоторое n.

8.7. КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

 8.7.1. Раскраски и разбиения:

•  использовать шахматную раскраску доски, других объектов для проведения оценок и доказательств;

•  использовать шахматную раскраску для конструирования примеров.

 8.7.2. Теория графов:

•  строить более сложные интерпретации задач в терминах теории графов (графы шахматных фигур);

•  вычислять количество ребер в полном графе, графе шахматной фигуры;  • представлять турнир в виде графа;

•  изображать двудольный граф.

 8.7.3. Комбинаторная геометрия:

•  строить регулярные покрытия плоскости равными фигурами (паркеты); 

•  использовать для замощения правильные многоугольники, выпуклые и невыпуклые фигуры.

Обучающийся получит возможность научиться при решении олимпиадных задач самостоятельно:

•  анализировать текст задачи, внетекстовую информацию;

•  анализировать вопрос (требование) задачи;

•  находить взаимосвязи между условиями задачи и использовать их для построения модели и хода решения;

•  строить модели на основе уже известных (числовой луч, схема, таблица, диаграмма Эйлера — Венна, граф, дерево вариантов);

•  составлять алгоритм решения задачи;

•  находить «узкие места» задачи и использовать их при конструировании примеров;

•  применять метод перебора; 

•  строить логические рассуждения в устной и письменной форме;

•  описывать устно «путь к решению», то есть логическое рассуждение, которое позволило прийти к решению (конструкции, доказательству);

•  преодолевать кажущиеся противоречия, связанные с недостаточным анализом условия задачи; 

•  проверять ответ (пример) на соответствие всем условиям задачи;

•  проверять ход доказательства на отсутствие противоречий и необоснованных выводов;  • делать краткую (схематичную) запись решения задачи, логического рассуждения;

•  формулировать в письменном виде полный текст логического рассуждения.

6 КЛАСС

К концу обучения в шестом классе обучающийся научится: 

8.1. АРИФМЕТИКА

8.1.1. Суммы:

•  определять неизвестную, значение которой можно выразить двумя способами, и вычислять ее значения (применять метод подсчета двумя способами);

•  использовать метод подсчета двумя способами в доказательствах «от противного», при решении задач с арифметическими таблицами, геометрических задач;  • составлять уравнения на основе подсчета неизвестной двумя способами; 

•  доказывать и применять при решении задач свойства среднего арифметического набора чисел (изменение при увеличении всех чисел набора на некоторое число и в некоторое число раз; 

•  оценка среднего арифметического сверху и снизу наибольшим и наименьшим числами набора; неизменность среднего арифметического при добавлении числа, равного среднему арифметическому чисел набора). 8.1.2. Числа и их свойства:

Числа и их свойства 

•  строить конструкции с отрицательными числами; 

•  использовать отрицательные числа в задачах с числовыми оценками. 

8.1.3. Закономерности: 

•  конструировать сложные арифметические, геометрические примеры с помощью метода последовательного конструирования; 

•  доказывать возможность существования конструкции методом последовательного конструирования; 

•  определять необходимое количество базовых конструкций в задачах с последовательным конструированием.

8.1.4. Время и движение:

•  составлять схемы к задачам про движение по кругу, в том числе схем с единичными дугами; 

•  решать задачи о количестве пересечений стрелок часов, их взаимном расположении; 

•  вычислять градусные меры дуг между часовой, минутной, секундной стрелками. 

8.2. ГОМТРИЯ

8.2.1. Геометрическое мышление:

•          изображать пространственные фигуры по набору свойств (количество вершин, ребер, граней);

•          строить    развертки       более сложных        многогранников,      восстанавливать       вид

пространственной фигуры по ее развертке;

•          решать задачи об оклеивании объемных фигур, построении путей на поверхности таких фигур.

  8.2.2. Площади: 

•          строить разрезания неклетчатых фигур на равные части;

•          использовать вспомогательную сетку для разрезания неклетчатых фигур.

8.2.3. Геометрические неравенства:

•          применять неравенство треугольника при решении простых геометрических и текстовых задач;

•          доказывать неравенство треугольника с помощью построений циркулем и линейкой. 8.3. АЛГЕБРА

8.3.1. От чисел к буквам:

•          применять запись числа в виде суммы разрядных слагаемых (a + 10b + 100c + …) для сведения задачи к уравнению в цифрах;

•          решать уравнения в цифрах с помощью метода перебора и использования свойств делимости.

8.3.2. Функциональные зависимости: 

•          использовать пропорции и их свойства при решении нестандартных текстовых задач. 

8.3.3. Неравенства и оценки:

•          подбирать промежуточное число (посредника) для доказательства числовых неравенств, сравнения чисел; 

•          использовать метод введения переменной для доказательства числовых неравенств, сравнения чисел.

8.4. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

8.4.1. Делимость:

•  доказывать и применять в задачах признаки делимости, связанные с десятичной записью числа; 

•  решать задачи на оценку и пример, связанные с делимостью (на нахождение наименьшего числа с указанными свойствами делимости, наименьшей возможной суммой цифр). 

8.4.2. Остатки:

•  записывать в общем виде целое число с определенным остатком от деления на n; 

•  использовать арифметические свойства остатков при решении задач; 

•  применять свойство зацикливания остатков при возведении числа в степень, определять остаток данной степени числа.

8.5. ЛОГИКА

 8.5.1. Математическая логика:

•  применять метод «от противного»; 

•  строить отрицания высказываний с логическими связками «и», «или», сложных высказываний, применять эти отрицания в доказательствах «от противного»; 

•  решать логические задачи на оценку и пример;  • решать задачи о расположении объектов по кругу.

8.5.2. Принципы решения задач: 

•  применять принцип Дирихле (избыток, недостаток) для решения задач;

•  использовать доказательство «от противного» для решения задач, требующих обобщения принципа Дирихле; 

•  решать геометрические задачи с помощью принципа Дирихле.

8.5.3. Алгоритмы и конструкции:

•  составлять алгоритмы взвешиваний; 

•  использовать представление результатов взвешиваний с помощью дерева вариантов;  • доказывать невозможность построения алгоритма взвешиваний при недостаточном количестве доступных взвешиваний. 

8.5.4. Игры и стратегии: • строить стратегии в играх «на опережение»;  • доказывать, что один из игроков может обеспечить себе ничью.

8.6. КОМБИТОРИКА И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

8.6.1. Комбинаторика:

•  вычислять количество анаграмм данного слова с различными и повторяющимися буквами;

•  выводить формулы для числа перестановок с помощью правила произведения. 

8.6.2. Теория множеств:

•  использовать метод введения переменной в задачах про множества. 

8.7. КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

 8.7.1. Раскраски и разбиения:

•    использовать различные виду раскрасок досок для доказательства невозможности разрезания доски на определенные части. 

8.7.2. Теория графов:

•    формулировать условие задачи в терминах теории графов; 

•    применять лемму о рукопожатиях для подсчета количества ребер в графе;

•    использовать свойство четности количества вершин нечетной степени в графе в доказательствах; 

•    доказывать лемму о хороводах. 

8.7.3. Комбинаторная геометрия:

•    применять невыпуклые фигуры при конструировании; 

•    определять все       возможные    значения        количества     сторон            при      пересечении многоугольников.

 Обучающийся получит возможность научиться при решении олимпиадных задач самостоятельно:

•    анализировать текст задачи, внетекстовую информацию; 

•    анализировать вопрос (требование) задачи; 

•    находить взаимосвязи между условиями задачи и использовать их для построения модели и хода решения;

•    строить модели на основе уже известных (числовой луч, схема, таблица, диаграмма

Эйлера — Венна, граф, дерево вариантов); 

•    составлять алгоритм решения задачи; 

•    строить отрицания сложных высказываний и использовать метод «от противного» для доказательства вспомогательных утверждений;

•    находить «узкие места» задачи и использовать их при конструировании примеров; 

•    применять метод перебора;

•    строить логические рассуждения в устной и письменной форме; 

•    формулировать и доказывать необходимые вспомогательные свойства (леммы);

•    преодолевать кажущиеся противоречия, связанные с недостаточным анализом условия задачи; 

•    проверять ответ (пример) на соответствие всем условиям задачи; 

•    проверять ход доказательства на отсутствие противоречий и необоснованных выводов;  • фиксировать противоречия в ходе перебора случаев и делать выводы об их невозможности; 

•    формулировать в письменном виде полный текст решения задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1.      Рабочая концепция одаренности: Федеральная целевая программа «Одаренные дети» / Под ред. Д. Б. Богоявленской, В. Д. Шадрикова. — М.: Министерство образования РФ, 2003. (http://narfu. ru/school/deti_konchep.pdf) 

2.      Альхова З. Н., Макеева А. В. Внеклассная работа по математике. — Саратов: «Лицей»,

2001

(https://www.mathedu.ru/text/alhova_makeeva_vneklassnaya_rabota_po_matematike_2001/p0/?

query=математические%20олимпиады )

3.      Веретенников. А. В. Сост. Математические игры для 5–6-х классов: сборник материалов для уроков и внеклассных занятий по математике – Киров, 2012;

4.      Гингулис Э. Ж. Развитие математических способностей учащихся // Математика в школе. — 1990. — № 1. — С. 14–17. 11. Агаханов Н. Х. Средовой подход как условие развития математически одаренных школьников / Н. Х. Агаханов // Вестник ТГПУ. — 2013. — № 1 (129). — С. 120–124.

5.      Петерсон Л. Г., Агаханова О. Н. Примерная рабочая программа курса внеурочной деятельности «Олимпиадная математика. 1–9 классы» 

(https://peterson.institute/catalogs/materials/olimpiadnaya-matematika-vd/2115/ )

6.      Тестов В. А. Стратегия обучения математике. — М: Технологическая Школа

Бизнеса,1999

(https://www.mathedu.ru/text/testov_strategiya_obucheniya_matematike_1999/p2/?query=ма

тематические%20олимпиады )

7.      Фарков А.В. Математические олимпиады: методика подготовки: 5-8 классы – М: ВАКО, 2012;

8.      Чулков П. В. Математика. Школьные олимпиады, 5—6 классы. — М: Издательство НЦ

ЭНАС, 2004 (https://www.mathedu.ru/text/chulkov_matematika_shkolnye_olimpiady_56_klassy_2004/p0/ )